2024年3月14日发(作者：张店区元旦竞赛数学试卷)
一道中考数学题的分析与思考
----- 中考数学第26题
2019年葫芦岛中考数学第26题是一道基于二次函数与一次函数为背景，
加入了几何中的动点问题，相似三角形的性质和等腰三角形的判定的综合性
试题。同时考查了数形结合思想，分类讨论思想和运动变化等数学思想。
这道题会给学生一种似曾相识的感觉，因为动点问题，等腰三角形分类
讨论问题在平时训练中都遇到过，所以要求学生能动中求静，分类讨论时能
从简单入手。此题有三个小问难度是逐渐增加，最后的三种情况分类讨论体
现了中考试卷的拔高功能。
现在我们逐问分析
分析：由已知直线表达式可以求出点B与点C坐标，再利用交点定义，运用待定系
数法可求出抛物线的解析式。
（1） 求抛物线的解析式；
【解】：（1）直线
y
＝﹣
x
+4中，令
x
＝0时，
y
＝4
∴
C
（0，4）
令
y
＝0时，解得：
x
＝4
∴
B
（4，0）
又∵抛物线
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c
经过
B
，
C
两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为
y
＝﹣
x
2
+3
x
+4
〖考点分析〗：此小题考查学生直线与两个坐标轴的交点求法和待定系数法求
解析式，所以学生是比较容易上手的。
（2） 如图①，过点
P
作
y
轴垂线交
y
轴于点
N
，连接
MN
交
BC
于点
Q
，当
分析：由MP∥CN，可知△MPQ∽△NCQ, 就可以把转化为
MP
，而MP和CN
CN
＝时，求
t
的值；
【解】：（2）∵
B
（4，0），
C
（0，4），∠
BOC
＝90°
∴
OB
＝
OC
＝4
∴∠
OBC
＝∠
OCB
＝45°
∵
ME
⊥
x
轴于点
E
，
PB
＝
∴∠
BEP
＝90°
∴Rt△
BEP
中，sin∠
PBE
＝
∴
BE
＝
PE
＝
t
PB
＝
t
∴
x
M
＝
x
P
＝
OE
＝
OB
﹣
BE
＝4﹣
t
，
y
P
＝
PE
＝
t
∵点
M
在抛物线上
∴
y
M
＝﹣（4﹣
t
）
2
+3（4﹣
t
）+4＝﹣
t
2
+5
t
∴
MP
＝
y
M
﹣
y
P
＝﹣
t
2
+4
t
又由题意可知四边形
ONPE
是矩形
∴
ON
＝
PE
＝
t
∴
NC
＝
OC
﹣
ON
＝4﹣
t
∵
MP
∥
CN
∴△
MPQ
∽△
NCQ
∴
∴
∴
t
的值为
〖考点分析〗：此小题表面上是动点问题，实际上是“动中有静”，不需要学
生动态思考点P，而是直接用图①静态图即可解决。
此题考查的知识点有：平行于Y轴的直线上的点横坐标相等，一组平行
中“八字形”相似及相似三角形性质。
解决此题的关键我觉得是点M和点P的坐标表示及线段MP的代数式表示。
，即
t
1
＝，
t
2
＝4（点
P
不与点
C
重合，故舍去）
因为点P沿线段BC方向
2
个单位的速度运动，需要学生将这个距离利用三
角函数分解到水平距离，这个距离也可能利用勾股定理求得，所以三角函数
不是这题考查知识点，只作为计算技巧出现。
（3） 如图②，连接
AM
交
BC
于点
D
，当△
PDM
是等腰三角形时，直接写出
t
分析：当等腰三角形中不确定腰与底边时，需要我们分类讨论：三个顶点依次可能
为两腰所夹顶点，即：①
QMQP
;②
MPQP
;③
MQPM
.
的值．
【解】：（3）∵∠
PEB
＝90°，
BE
＝
PE
∴∠
BPE
＝∠
PBE
＝45°
∴∠
MPD
＝∠
BPE
＝45°
①若
MD
＝
MP
，则∠
MDP
＝∠
MPD
＝45°
∴∠
DMP
＝90°，即A
M
∥
x
轴，此种情况不存在。
②若
DM
＝
DP
，则∠
DMP
＝∠
MPD
＝45°
∵∠
AEM
＝90°
∴
AE
＝
ME
∵抛物线与
x
轴交点为A，B，令y=0，得x=1或4
∴
A
（﹣1，0）
∵由（2）得，
x
M
＝4﹣
t
，
ME
＝
y
M
＝﹣
t
2
+5
t
∴
AE
＝4﹣
t
﹣（﹣1）＝5﹣
t
∴5﹣
t
＝﹣
t
2
+5
t
即：
t
1
＝1，
t
2
＝5（0＜
t
＜4，舍去）
③若
MP
＝
DP
，则∠
PMD
＝∠
PDM
（方法一）：如图，记
AM
与
y
轴交点为
F
，过点
D
作
DG
⊥
y
轴于点
G
∴∠
CFD
＝∠
PMD
＝∠
PDM
＝∠
CDF
∴
CF
＝
CD
2
∵
A
（﹣1，0），
M
（4﹣
t
，﹣
t
+5
t
），令直线
AM
解析式为
y
＝
ax
+
m
∴ 解得：
∴直线
AM
的解析为：
y
＝
tx
+
t
∴
F
（0，
t
）
∴
CF
＝
OC
﹣
OF
＝4﹣
t
∵
tx
+
t
＝﹣
x
+4，即
x
＝
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