人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题(附答案

2024年3月9日发(作者：数学试卷讲评课教案逐字稿)

2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题（附答案）

一、单选题（共18分）

1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．正五边形 D．正六边形

2．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）

A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1

3．若点P（2，n﹣1）与点Q（m+1，3）关于原点对称，则m+n的值为（ ）

A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5

4．电影《长津湖》一上映，第一天票房2.05亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达10.53亿元，平均增长率记作x，方程可以列为（ ）

A．2.05（1+2x）＝10.53

B．2.05（1+x）2＝10.53

C．2.05+2.05（1+x）2＝10.53

D．2.05+2.05（1+x）+2.05（1+x）2＝10.53

5．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（ ）

A．4 B．2 C． D．1

6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝14，M，N分别是直线BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEM沿EM翻折形成△FEM，连接NF，ND，则DN+NF的最小值为（ ）

A．14

B．16 C．18 D．20

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．一元二次方程（x﹣2）（x+1）＝0的根是 ．

8．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠BOC等于 ．

9．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，6）和B（5，3），如图所示，则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 ．

10．一个圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则这个圆锥的侧面积是 ．

11．如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60度得到正方形AEGF，连接EF，BF，点M，N分别为EF，BF的中点，连接MN，若MN的长度为1，则EF的长度为 ．

12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，下列结论中：

①abc＞0；

②4a+c＞0；

③若t为任意实数，则有a﹣bt≥at2+b；

④若函数图象经过点（2，1），则a+b+c＝；

⑤当函数图象经过（2，1）时，方程ax2+bx+c﹣1＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1﹣2x2＝﹣8．

其中正确的结论有 ．

三、解答题（共84分）

13．解方程：x2+2x＝0．

14．如图，已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且＝，求证：AC＝BD．

15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点C（0，﹣3），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．

（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；

（2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．

16．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．

（1）求证：△AEB≌△ADC；

（2）连接DE，若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．

17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1x2＝5，求k的值．

18．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆外．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图①中作弦EF，使EF∥BC；

（2）在图②中以BC为边作一个45°的圆周角．

19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的图形△AB1C1；

（2）请画出将△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；

（3）当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1时，点B对应旋转到点B1，请直接写出B1点的坐标．

20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．

（1）求证：直线DC是⊙O的切线；

（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

21．恰逢新余桔子成熟的时节，为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导某农户进行桔子种植和销售，已知桔子的种植成本为1元千克，经市场调查发现，今年销售期间桔子的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（1≤x≤12）满足的函数图象如图所示．

（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；

（2）请同学们求一下这位农户销售桔子获得的最大利润．

22．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P，使△PBC的面积最大？最大面积是多少？

23．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．

如图1，⊙O与△BC的三边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F则△ABC叫做⊙O的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．

如图2，⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，则四边形ABCD叫做⊙O的外切四边形．

（1）如图2，试探究圆外切四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，猜想：AB+CD AD+BC（横线上填“＞”，“＜”或“＝”）；

（2）利用图2证明你的猜想；

（3）若圆外切四边形的周长为36．相邻的三条边的比为2：6：7．求此四边形各边的长．

24．如图，已知二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+4a+4（a＞0）和二次函数L2：y＝﹣a（x+2）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

（1）函数y＝ax2﹣4ax+4a+4（a＞0）的最小值为 ，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ；

（2）当EF＝MN﹣1时，直接写出a的值；

（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+2）2+1＝0的解．

参考答案

一、单选题（共18分）

1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

2．解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，

再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．

故选：B．

3．解：∵点P（2，n﹣1）与点Q（m+1，3）关于原点对称称，

∴m+1＝﹣2，n﹣1＝﹣3，

∴m＝﹣3，n＝﹣2．

∴m+n＝﹣3﹣2＝﹣5．

故选：A．

4．解：∵第一天票房约2.05亿元，且以后每天票房的增长率为x，

∴第二天票房约2.05（1+x）亿元，第三天票房约2.05（1+x）2亿元．

依题意得：2.05+2.05（1+x）+2.05（1+x）2＝10.53．

故选：D．

5．解：连接OA，如图，

∵AB⊥CD，

∴AE＝BE＝AB＝4，

在Rt△OAE中，OE＝∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．

故选：B．

＝＝3，

6．解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接ND′，ED′．

在Rt△EDD′中，

∵DE＝12，DD′＝16，

∴ED′＝∵DN＝ND′，

∴DN+NF＝ND′+NF，

∵EF＝EA＝2是定值，

∴当E、F、N、D′共线时，NF+ND′定值最小，最小值＝20﹣2＝18，

∴DN+NF的最小值为18，

故选：C．

二、填空题（共18分）

7．解：（x﹣2）（x+1）＝0，

x﹣2＝0或x+1＝0，

所以x1＝2，x2＝﹣1．

故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．

8．解：∵∠D＝32°，

∴∠BOC＝2∠D＝64°，

故答案为：64°．

9．解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，

故答案为：﹣1＜x＜5．

10．解：圆锥的母线l＝＝＝10，

＝20，

∴圆锥的侧面积＝π•10•6＝60π．

11．解：如图所示，连接BE，

∵点M，N分别为EF，BF的中点，

∴MN是△BEF的中位线，

∴BE＝2MN＝2，

由旋转可得，AB＝AE，∠BAE＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE＝BE＝2＝AF，

又∵∠EAF＝90°，

∴EF＝故答案为：2．

＝＝2．

12．解：由抛物线开口向上，因此a＞0，

对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，因此a、b同号，所以b＞0，

抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，

所以abc＜0，故①不正确；

由对称轴x＝﹣＝﹣1可得b＝2a，

由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，即a+2a+c＞0，

∴3a+c＞0，

又∵a＞0，

∴4a+c＞0，

因此②正确；

当x＝﹣1时，y最小值＝a﹣b+c，

∴当x＝t（t≠﹣1）时，a﹣b+c＜at2+bt+c，

即a﹣bt＜at2+b，

∴x＝t（t为任意实数）时，有a﹣bt≤at2+b，

因此③不正确；

函数图象经过点（2，1），即4a+2b+c＝1，而b＝2a，

∴2a+3b+c＝1，

∴a+b+c＝，

因此④正确；

当函数图象经过（2，1）时，方程ax2+bx+c＝1的两根为x1，x2（x1＜x2），而对称轴为x＝﹣1，

∴x1＝﹣4，x2＝2，

∴x1﹣2x2＝﹣4﹣4＝﹣8，

因此⑤正确；

综上所述，正确的结论有：②④⑤，

故答案为：②④⑤．

三、解答题（共84分）

13．解：由原方程，得

x（x+2）＝0，

则x＝0或x+2＝0，

解得，x1＝0，x2＝﹣2．

14．证明：∵∴＝，

＝，

∴AC＝BD．

15．解：（1）将C（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c得，

c＝﹣3，

∴y＝x2﹣2x﹣3，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）令y＝0得x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴当y＞0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．

16．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝AC．

∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，

∴∠DAE＝60°，AE＝AD．

∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．

∴∠EAB＝∠DAC．

在△EAB和△DAC中，

，

∴△EAB≌△DAC（SAS）．

（2）解：如图，

∵∠DAE＝60°，AE＝AD，

∴△EAD为等边三角形．

∴∠AED＝60°，

∵△EAB≌△DAC，

∴∠AEB＝∠ADC＝110°．

∴∠BED＝50°．

17．解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，

解得k＞；

（2）根据题意得x1x2＝k2+1，

∵x1x2＝5，

∴k2+1＝5，

解得k1＝﹣2，k2＝2，

∵k＞，

∴k＝2．

18．解：（1）如图①，EF为所作；

（2）如图②，∠PBC为所作．

19．解：（1）如图，△AB1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；

（3）根据（1）的图可得B1的坐标（2，﹣2）．

20．（1）证明：连接OC，

∵直线l与⊙O相切于点A，

∴∠DAB＝90°，

∵DA＝DC，OA＝OC，

∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，

∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，

即∠DCO＝∠DAO＝90°，

∴OC⊥CD，

∴直线DC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠CAB＝30°，

∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，

∵OC＝OB，

∴△COB是等边三角形，

∴OC＝OB＝BC＝2，

∴CE＝OC＝2，

＝﹣＝2﹣． ∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB

21．解：（1）当1≤x≤9时，设y＝kx+b（k≠0），

则解得：，

，

∴当1≤x≤9时，y＝﹣300x+3300，

当9＜x≤12时，y＝600，

∴y＝（2）设利润为W，则：

当1≤x≤9时，W＝（x﹣1）y

＝（x﹣1）（﹣300x+3300）

＝﹣300x2+3600x﹣3300

＝﹣300（x﹣6）2+7500，

∵开口向下，对称轴为直线x＝6，

∴当1≤x≤9时，W随x的增大而增大，

∴x＝5时，W最大＝7500元，

当9＜x≤12时，W＝（x﹣1）y＝600（x﹣1）＝600x﹣600，

．

∵W随x的增大而增大，

∴x＝12时，W最大＝6600元，

∵7500＞6600，

∴最大利润为7500元．

22．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，A（﹣2，0），

∴B点坐标为（8，0），

设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），

把C（0，4）代入得4＝a×2×（﹣8），

解得a＝﹣，

∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣8），

即y＝﹣x2+x+4；

（2）存在．设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），

设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0）．

将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+m，

得：，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．

过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣

∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，

∵S△PBC＝S△PCD+S△PBD，

x+4），如图．

∴△PCD与△PBD可以看作成以PD为底，两高之和为OB的三角形，

∴S△PBC＝PD•OB＝×8×（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．

∵﹣1＜0，

∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．

此时P点的坐标为（4，6）．

23．解：（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，

∴猜想AB+CD＝AD+BC，

故答案为：＝；

（2）已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H，

求证：AD+BC＝AB+CD，

证明：∵AB，AD和⊙O相切，

∴AG＝AH，

同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，

∴AD+BC＝AH+DH+BF+CF＝AG+BG+CE+DE＝AB+CD，

即：圆外切四边形的对边和相等；

（3）∵相邻的三条边的比为2：6：7，

∴设此三边为2x，6x，7x，

根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x+7x﹣6x＝3x，

∵圆外切四边形的周长为36，

∴2x+6x+7x+3x＝18x＝36，

∴x＝2，

∴此四边形的四边的长为2x＝4，6x＝12，7x＝14，3x＝6．

即此四边形各边的长为：4，12，14，6．

24．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a+4＝a（x﹣2）2+4，a＞0，

∴ymin＝4，

∵时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小，

∴﹣2＜x＜2，

故答案为：4，﹣2＜x＜2；

（2）∵M（2，4），N（﹣2，1），

∴MN＝＝5，

∵E（0，4a+4），F（0，﹣4a+1），

∴EF＝8a+3，

∴8a+3＝5﹣1，

∴a＝；

（3）当AM＝MN时，

（m﹣2）2+42＝25，

∴m1＝5，m2＝﹣1，

当m＝5时，

﹣a（x+2）2+1＝0的解为：x＝5，x＝﹣9，

当m＝﹣1时，

﹣a（x+2）2+1＝0的解为：x＝﹣1或x＝﹣3，

当AN＝AM时，

（m﹣2）2+42＝（﹣2﹣m）2+12，

∴m＝，

或x＝，

∴﹣a（x+2）2+1＝0的解为：x＝当AN＝MN时，

（m+2）2+1＝25，

∴m＝﹣2﹣2（舍去），m＝﹣2+2，

，x＝﹣2﹣2，

或x＝；x＝﹣∴﹣a（x+2）2+1＝0的解为：x＝﹣2+2综上所述：方程﹣a（x+2）2+1＝0的解是：x＝﹣1或x＝﹣3；x＝2+2，或x＝﹣2﹣2．