数学:50个公式,50个快速解题方法

2023年12月7日发(作者：遵义中考第一题数学试卷)

1 . 适用条件

［直线过焦点 ］，必有 ecosA=(x-1)/(x+1，) 其中 A 为直线与焦点所在轴夹 角，是锐角。 x 为分离比，必须大于 1。

注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分 (指的是焦点在所截 线段上 )，用该公式 ;如果外分 (焦点在所截线段延长线上 )，右边为 (x+1)/(x-1)，其他不变。

2 . 函数的周期性问题 (记忆三个 )

(1) 若 f(x)=-f(x+k)，则 T=2k;

(2) 若 f(x)=m/(x+k)(m 不为 0)，则 T=2k;

(3) 若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则 T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期， 如： 常数函数。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如： y=sinxy=sin 派 x 相加不是周期函数。

3 . 关于对称问题 (无数人搞不懂的问题 ) 总结如下

(1) 若在 R上(下同)满足： f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为

x=(a+b)/2 (2) 函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图像关于 x=(b-a)/2 对称 ;

(3) 若 f(a+x)+f(a-x)=2b，则 f(x)图像关于 (a，b)中心对称

4 . 函数奇偶性

(1) 对于属于 R 上的奇函数有 f(0)=0;

(2) 对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项

(3) 奇偶性作用不大，一般用于选择填空

5 . 数列爆强定律

(1) 等差数列中： S奇=na中，例如 S13=13a7(13和 7为下角标 );

(2) 等差数列中： S(n)、 S(2n)-S(n、) S(3n)-S(2n成) 等差

(3) 等比数列中，上述 2 中各项在公比不为负一时成等比，

在 q=-1 时， 未必成立

(4) 等比数列爆强公式： S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求 q

6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于 an+1=pan+q(n+1为下角标， n 为下角标 )， a1 已知，那么特征根 x=q/(1-p)，则数列通项公式为

an=(a1-x)p2(n-1)+x， 这是一阶特征根方程的运用。

二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。 当然这种类型的数列可以构造 (两边同时加数 )

7 . 函数详解补充

1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外

2、复合函数单调性：同增异减

3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实 是中心对称图形。

它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为 0，根 x即为中心横坐标， 纵坐标可以用 x 带入原函数界定。 另外，必有唯一一条过该中心的直 线与两旁相切。

8 . 常用数列 bn=n×(22n)求和 Sn=(n-1)×(22(n+1))+2 记忆方法 前面减去一个 1，后面加一个，再整体加一个 2

9 . 适用于标准方程 (焦点在 x 轴 )爆强公式 k 椭 =-{(b2)xo}/{(a2)yo} k 双={(b2)xo} /{(a2)yo}k 抛

=p/yo

注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线

L1： a1x+b1y+c1=0直线 L2：a2x+b2y+c2=0

若它们垂直： (充要条件 )a1a2+b1b2=0;

若它们平行： (充要条件 )a1b2=a2b1 且 a1c2≠a2c1[

这个条件为了防止两直线重合 ) 注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀 !

11 . 经典中的经典

相信邻项相消大家都知道。

下面看隔项相消：

对 于 Sn=1/(1 × 3)+1/(2 × 4)+1/(3 ×

5)+ ⋯

+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)] 注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸 上，那样看起来会很清爽以及整洁 !

12 . 爆强△面积公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量 AB=(m，n)，向量 BC=(p， q)

注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题

13 . 你知道吗 ?空间立体几何中：以下命题均错

(1) 空间中不同三点确定一个平面

(2) 垂直同一直线的两直线平行

(3) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(4) 如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面

(5) 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

(6) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥

注：对初中生不适用。

14 . 一个小知识点 所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。 15 . 求 f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+⋯+∣x-n∣(n 为正整数 )的最小

答案当 n 为奇数，最小值为 (n2-1)/4，在 x=(n+1)/2

当 n 为偶数时，最小值为 n2/4，在 x=n/2 或 n/2+1 时取到。

16 . √〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b 为正数，是统 一定义域 )

17 . 椭圆中焦点三角形面积公式

S=b2tan(A/2) 在双曲线中： S=b2/tan(A/2)

说明：适用于焦点在 x 轴，且标准的圆锥曲线。 A 为两焦半径夹角。

18 . 爆强定理 空间向量三公式解决所有题目： cosA=|{向量 a.向量

b}/[ 向量 a 的模

×向量 b 的模 ]

(1) A为线线夹角 (2) A 为线面夹角 (但是公式中 cos 换成 sin)

(3) A为面面夹角注：以上角范围均为 [0，派/2] 。

19 . 爆强公式

12+22+32+ ⋯ +n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+

+n23=1/4(n2)(n+1)2

20 . 爆强切线方程记忆方法

写成对称形式，换一个 x，换一个 y

举例说明：对于 y2=2px 可以写成 y×y=px+px

再把 (xo，yo)带入其中一个得： y×yo=pxo+px

21 . 爆强定理

(a+b+c)2n的展开式 [合并之后 ]的项数为： Cn+22，在上

⋯

n+2在下， 2 22 . 转化思想 切线长 l=√(d2-r2)d 表示圆外一点到圆心得距离， r

为圆半径，而 d 最小为圆心到直线的距离。

23 . 对于 y2=2px

过焦点的互相垂直的两弦 AB、 CD，它们的和最小为 8p。 爆强定理的证明：对于 y2=2px，设过焦点的弦倾斜角为 A 那么弦长可表示为

2p/ 〔 (sinA)2〕，所以与之垂直的弦长为 2p/[(cosA) 2]

所以求和再据三角知识可知。 (题目的意思就是弦 AB过焦点， CD过焦点，且 AB 垂直于 CD)

24 . 关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强

∣|a|-|b| ∣≤∣ a± b∣≤∣ a∣+∣b∣

25 . 关于解决证明含 ln 的不等式的一种思路

举例说明：证明 1+1/2+1/3+⋯ +1/n>ln(n+1) 把左边看成是 1/n 求和，右边看成是 Sn。 解：令 an=1/n ，令 Sn=ln(n+1)，则

bn=ln(n+1)-lnn， 那么只需证 an>bn即可，根据定积分知识画出

y=1/x 的图。 an=1× 1/n=矩形面积 >曲线下面积 =bn。当然前面要证明 1>ln2 注：仅供有能力的童鞋参考 !! 另外对于这种方法可以推广，就是把左 边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前 提是含 ln。

26 . 爆强简洁公式

向量 a在向量 b上的射影是：〔向量 a×向量 b 的数量积〕 /［向量 b 的 模］。

记忆方法：在哪投影除以哪个的模

27 . 说明一个易错点

若 f(x+a)［a任意］为奇函数， 那么得到的结论是 f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右

边不是 -f(-x-a)〕

同理如果 f(x+a)为偶函数，可得 f(x+a)=f(-x+a) 牢记

28 . 离心率爆强公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注： P为椭圆上一点，其中 A为角 F1PF2，两腰角为 M，N

29 . 椭圆的参数方程也是一个很好的东西， 它可以解决一些最值问题 比如 x2/4+y2=1 求 z=x+y的最值。

解：令 x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去 =0 不知道快多少 倍!

30 . 仅供有能力的童鞋参考的爆强公式

和差化积

sin θ +sin φ

=2sin[( cos

θ+cos φ

θ θ

+φ-)φ/2])c/o2s]s[(in -+φ )/2-]φsin)sinθφ =2cos[( [/(2] θ

θ +φ )/-2φ]co)/s2[](cos -

θ +φ )/2]s-inφ[() θ

积化和差

α β =[c-α +β )]/2cos α cos β -sin

sin oβ

βs-)(coαβ+)]β/2s)+i=[sin( α +)+-sβ=[cos(

in()]/2αcos α sin β =[s-isni(n( -αβ+)β]/2)

31 . 爆强定理 直观图的面积是原图的√ 2/4 倍。

32 . 三角形垂心爆强定理

（1）向量 OH=向量 OA+向量 OB+向量 OC（O为三角形外心， H为垂心 ） （2）若三角形的三个顶点都在函数 y=1/x 的图象上， 则它的垂心也在这 个函数图象上。

33 . 维维安尼定理 （不是很重要 （仅供娱乐 ））

正三角形内 （或边界上 ）任一点到三边的距离之和为定值，这定值等于 该三角形的高。

34 . 爆强思路

如果出现两根之积 x1x2=m，两根之和 x1+x2=n 我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数

再利用△大于等于 0，可以得到 m、n 范围

35 . 常用结论

过(2p，0)的直线交抛物线 y2=2px于 A、B两点。

O 为原点，连接 。必有角 AOB=90 度

36 . 爆强公式 ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。

举例说明： ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+⋯+ln(1/(n2)+1)<1(n≥2)

证明如下：令 x=1/(n2)，根据 ln(x+1)≤ x 有左右累和右边 再放缩得：左和 <1-1/n<1 证毕!

37 . 函数 y=(sinx)/x 是偶函数

在(0，派)上它单调递减， (-派， 0)上单调递增。

利用上述性质可以比较大小。

38 . 函数 y=(lnx)/x 在 (0，e)上单调递增，在 (e，+无穷递减。

另外 y=x2(1/x) 与该函数的单调性一致。

39 . 几个数学易错点

(1) f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件

(2) 研究函数奇偶性时， 忽略最开始的也是最重要的一步：

域 是否关于原点对称

上单调 )考虑定义 (3) 不等式的运用过程中，千万要考虑 \"=\"号是否取到

(4) 研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，

所以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否需要分项 !

40 . 提高计算能力五步曲

(1) 扔掉计算器

(2) 仔细审题 (提倡看题慢，解题快 )，要知道没有看清楚题目，你算多 少都没用

(3) 熟记常用数据，掌握一些速算技

(4) 加强心算、估算能力

(5) 检验

41 . 一个美妙的公式

已知三角形中 AB=a，AC=b，O 为三角形的外心， 则向量 AO×向量

BC(即数量积 )=(1/2)[b2-a2] 证明：过 O作 BC垂线，转化到已知边上

42 . 函数 ①函数单调性的含义： 大多数同学都知道若函数在区间 D 上单调，则 函数值随着自变量的增大 (减小)而增大 (减小)，但有些意思可能有些 人还不是很清楚，若函数在 D 上单调，则函数必连续 (分段函数另当 别论 )这也说明了为什么不能说 y=tanx 在定义域内单调递增，因为它 的图像被无穷多条渐近线挡住，换而言之，不连续 .还有，如果函数 在 D 上单调，则函数在 D 上 y 与 x 一一对应 . 这个可以用来解一些方 程.至于例子不举了

②函数周期性：这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期设 f(x)

为 R 上的函数，对任意 x∈R

(1) f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加绝对值，下同 )

(2) f(a ± x)=-f(b ± x)T=2(b-a)

(3) f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

(4) 设 T≠0，有 f(x+T)=M[f(x)]其中 M(x)满足 M[M(x)]=x,且

M(x)≠x 则函 数的周期为 2

43 . 奇偶函数概念的推广

(1) 对于函数 f(x)，若存在常数 a，使得 f(a-x)=f(a+x)，则称 f(x)为广义 (Ⅰ) 型偶函数，且当有两个相异实数 a，b 满足时，f(x)为周期函数 T=2(b-a) (2) 若 f(a-x)=-f(a+x)，则 f(x)是广义 (Ⅰ)型奇函数，当有两个相异实数 a， b 满足时， f(x)为周期函数 T=2(b-a)

(3) 有两个实数 a，b满足广义奇偶函数的方程式时， 就称 f(x)是广义(Ⅱ) 型的奇，偶函数.且若 f(x)是广义(Ⅱ)型偶函数，那么当 f

在[a+b/2，∞) 上为增函数时，有 f(x1)

44 . 函数对称性

(1) 若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c则函数关于 (a+b/2 ，c/2) 成中心对称

(2) 若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线 x=a+b/2 成轴对称

柯西函数方程：若 f(x)连续或单调

(1)若 f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0)则, f(x)=㏒ ax

(2)若 f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),则 f(x)=x2u(u 由初值给出 )

(3) f(x+y)=f(x)f(y)则 f(x)=a2x

(4) 若 f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则 f(x)=ax2+bx(5)若 f(x+y)+f(x-y)=2f(x), 则 f(x)=ax+b特别的若 f(x)+f(y)=f(x+y)，则 f(x)=kx

45 . 与三角形有关的定理或结论中学数学平面几何最基本的图形就 是 三角形

①正切定理 ( 我自己取的，因为不知道名字 ) ：在非 Rt△中，有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

②任意三角形射影定理 (又称第一余弦定理 )：

在△ ABC中， a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA ③任意三角形内切圆半径 r=2S/a+b+c(S为面积 )，外接圆半径应该都 知道了吧

④梅涅劳斯定理：设 A1,B1，C1分别是△ ABC三边 BC，CA，AB 所在

直 线 的 上 的 点 ， 则 A1 ， B1， C1 共 线 的 充 要 条 件 是

CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1 44 . 易错点

(1)函数的各类性质综合运用不灵活， 比如奇偶性与单调性常用来配合 解决抽象函数不等式问题 ;

(2)三角函数恒等变换不清楚，诱导公式不迅捷。

45 . 易错点

(3) 忽略三角函数中的有界性， 三角形中角度的限定， 比如一个三角形 中，不可能同时出现两个角的正切值为负

(4) 三角的平移变换不清晰，说明：由 y=sinx变成 y=sinwx 的步骤是将 横坐标变成原来的 1/ ∣w∣倍

46 . 易错点

(5) 数列求和中，常常使用的错位相减总是粗心算错 规避方法：在写第二步时，提出公差，括号内等比数列求和，最后除 掉系数 ;

(6) 数列中常用变形公式不清楚，如： an=1/[n(n+2)] 的求和保留四项

47 . 易错点 (7) 数列未考虑 a1 是否符合根据 sn-sn-1求得的通项公式 ;

(8) 数列并不是简单的全体实数函数， 即注意求导研究数列的最值问题 过程中是否取到问题

48 . 易错点

(9) 向量的运算不完全等价于代数运算 ;

(10) 在求向量的模运算过程中平方之后，忘记开方。 比如这种选择题中常常出现 2，√ 2的答案⋯，基本就是选√ 2，选 2 的就是因为没有开方 ;

(11) 复数的几何意义不清晰

49 . 关于辅助角公式

asint+bcost=[√(a2+b2)]sin(t+m)其中 tanm=b/a[条件： a>0] 说明：一些的同学习惯去考虑 sinm 或者 cosm 来确定 m，个人觉得这

样太容易出错

最好的方法是根据 tanm 确定 m.(见上 )。 举例说明： sinx+√

3cosx=2sin(x+m，) 因为 tanm=√3，所以 m=60 度，所以原式

=2sin(x+60度 )

50 . A、B 为椭圆 x2/a2+y2/b2=1 上任意两点。若 OA垂直 OB，则有 1/∣OA∣2+1/∣OB∣2=1/a2+1/b2