2023年12月7日发(作者：初一买什么数学试卷)
绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考Ⅰ卷)注意事项：答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M={x|x<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N=A.{x|0≤x<2}1D.x3≤x<161B.x3≤x<2C.{x|3≤x<16}()2.若i(1-z)=1，则z+z=A.-2B.-1C.1D.2()3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n()4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)A.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m3()()5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为A.16B.13C.12D.236.记函数f(x)=sinωx+π2+b(ω>0)的最小正周期为T．若π0)上，过点B(0，-1)的直线交C于P，Q两点，则A.C的准线为y=-1C.|OP|⋅|OQ|>|OA|2B.直线AB与C相切D.|BP|⋅|BQ|>|BA|23-2x，g(2+2()()B.f(x)有三个零点()()12.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)．若fx)均为偶函数，则A.f(0)=0B.g-1=02C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1−y(x+y)8的展开式中x2y6的系数为x(用数字作答)．7914.写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程15.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．．y2x2116.已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为，2ab过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是．DE=6，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，(1)求{an}得通项公式；111(2)证明：++⋯+<2．a1a2anSn1是公差为的等差数列．an318.(12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2π，求B；3a2+b2(2)求的最小值．c2(1)若C=cosAsin2B=．1+cos2B1+sinA8019.(12分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．A1B1DC1AB20.(12分)C一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好病例组对照组40良好609010(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件P(B|A)P(B|A)“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风P(B|A)P(B|A)险程度的一项度量指标，记该指标为R．P(A|B)P(A|B)(i)证明：R=⋅；P(A|B)P(A|B)P(K2≥k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828(ii)利用该调査数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．n(ad-bc)2附：K=，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)28121.(12分)yx2已知点A2，1在双曲线C：2-2=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线aa-1AP，AQ的斜率之和为0．2(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积．22.(12分)已知函数f(x)=ex-ax和gx=ax-lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=fx和y=gx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．82绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考Ⅰ卷)注意事项：答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M={x|x<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N=A.{x|0≤x<2}1D.x3≤x<16【答案】D【解析】1B.x3≤x<2C.{x|3≤x<16}()013集合M={x|0≤x<16}，集合N={xx≥故选D．2.若i(1-z)=1，则z+z=A.-2【答案】DB.-1C.116x11，M∩N={x≤x<16．33(D.2)【解析】对原式两边同时乘以i得：z-1=i，即z=1+i，所以z=1-i，即z+z=2．故选D．3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=()83A.3m-2n【答案】B【解析】B.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3nCADB因为CB=CA+AB=CA+3AD，又因为AD=CD-CA，所以CB=-2CA+3CD，即CB=-2m+3n．故选B．4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)A.1.0×109m3【答案】C【解析】AB(D.1.6×109m3)B.1.2×109m3C.1.4×109m3CDCD13BA由题意S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，代入棱台体积V=(S1+S2+S1S2)h，公式可得：V≈1.4×109m3．故选C．5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为A.16B.137×6=21，2C.12D.23()【答案】D2【解析】总事件数共C7=第一个数取2时，第二个数可以是3，5，7；第一个数取3时，第二个数可以是4，5，7，8；第一个数取4时，第二个数可以是5，7；第一个数取5时，第二个数可以是6，7，8；第一个数取6时，第二个数可以是7；第一个数取7时，第二个数可以是8；所以P=3+4+2+3+1+1142==．21213846.记函数f(x)=sinωx+π2+b(ω>0)的最小正周期为T．若πa②a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，(1+x)(1-x)ex-11y\'=xe+e-=，1-x1-xxx令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1，所以k\'(x)=(1-x2-2x)ex>0，所以k(x)>k(0)>0，所以y\'>0，所以a-c>0，所以a>c．8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱雉体积的取值范围是81A.18，4【答案】C【解析】2781B.4，42764C.4，3D.[18，27]()lθh8532+l2-32记三棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，cosθ=2×3×ll13m6sinθcosθ=∈，，则l=6cosθ，m=l⋅sinθ=6sinθcosθ，h===262tanθsinθcosθ1116cos2θ，S底=×2m×2m=2m2，故V=S底⋅h=×2m2h=144(sinθcos2θ)2，令y=23313sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x，x=sinθ∈，221333y\'=-3x2+1，故x∈，，y\'<0，x∈，，y\'>0，即Vmax=144ymax2=1442332362264312227××，Vmin=144××=．=333224二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【答案】ABD【解析】()B1BA1OAD1C1DC在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角C1O1为∠C1BO，在直角△C1BO中，sin∠C1BO==，故∠C1BO=30°，故选项C错误；2BC1直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确．综上，答案选ABD．10.已知函数f(x)=x3-x+1，则A.f(x)有两个极值点C.点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【答案】ACB.f(x)有三个零点()86【解析】f(x)=3x2-1，所以f(x)有两个极值点-33323与，又f=1->0，3339所以f(x)只有一个零点；由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心；曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程为y=2x-1，所以答案选AC．11.已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，过点B(0，-1)的直线交C于P，Q两点，则A.C的准线为y=-1C.|OP|⋅|OQ|>|OA|2【答案】BCD【解析】yQ(B.直线AB与C相切D.|BP|⋅|BQ|>|BA|2)AOBPx由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x2=y，故C的准线为y=-1，故A不对；4由y=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，故直线AB与C相切，所以B正确；过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Qx2=y2(x2，y2)，联立直线与C方程可得所以有x1+x2=k，x1x2=y=kx-1⇒x-kx+1=0，1，且Δ=k2-4>0，即k2>4，进一步可得y1+y2=k2-2，y1y2=1，此时|OP|⋅|OQ|=22(x1+y12)(x2+y22)=(y1+y12)(y2+y22)=y1y2(y1y2+y1+y2+1)=k2>4又|OA|2=2，所以C正确；|BP|⋅|BQ|=BP⋅BQ=(x1，y1+1)⋅(x2，y2+1)=x1x2+y1y2+y1+y2+1=k2+1>5，又|BA|2=5，故D正确；综上，答案选BCD．12.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)．若fx)均为偶函数，则A.f(0)=0【答案】BC【解析】由f33-2x为偶函数可知f(x)关于直线x=对称，22B.g-1=02C.f(-1)=f(4)3-2x，g(2+2()D.g(-1)=g(2)由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，87结合g(x)=f(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，根据f(x)关于直线x=33对称可知：g(x)关于点，0对称，22综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确．g-13=g=0，g(-1)=g(1)，所以B正确；22又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，所以D不正确．故选BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1−y826(x+y)的展开式中xy的系数为x(用数字作答)．【答案】−28【解析】原式等于(x+y)8−=−28．14.写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程【答案】x=−1，或y=【解析】y654321-10-11234567y23(x+y)8，由二项式定理，其展开式中x2y6的系数为C8−C8x．72535x−，或y=−x+(答对其中之一即可)242444x由图可得，两圆外切，且均与直线l1：x=−1相切.另过两圆圆心的直线l的方程为y=44x，可得l与l1交点为P−1，−．由切线定理得，两圆另一公切线l2过点P，设l2：y33k−44773+=k(x+1)，由点到直线距离公式可得=1，解得k=，即l：y=x−232424k2+12535．另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线l3与l垂直，解得l3：y=−x+．244415.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是【答案】(-∞，-4)∪(0，+∞)【解析】易得曲线不过原点，设切点为x0，(x0+a)ex，则切线斜率为：0．f\'(x0)=(x0+a+1)ex．可得切线方程为y-(x0+a)ex=(x0+a+1)ex(x-x0)，又切线0002过原点，可得-(x0+a)ex=-x0(x0+a+1)ex，化简得x0+ax0−a=0(※)，又切线有两0088条，即※方程有两不等实根，由判别式Δ=a2+4a>0，得a<-4，或a>0．y2x2116.已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为，2ab过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是．DE=6，【答案】13【解析】yAODF2xEF1y21x2椭圆离心率为，不妨设C：2+2=1，且△AF1F2为正三角形，则直线DE斜率k=24c3c3．由等腰三角形性质可得，由椭圆性质得△ADE的周长AE=EF2，AD=DF2，33等价于DE+DF2+EF2=4a．另设直线DE方程为y=(x+c)，与椭圆方程联立3得13x2+8cx−32c2=0．由弦长公式DE=k2+1⋅x1−x2=k2+1⋅(x1+x2)2−4x1x2得DE=1+1⋅3138c2+128c2=48c=6，−即c=，4a=8c=13．1313138四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，(1)求{an}得通项公式；Sn1是公差为的等差数列．an3111(2)证明：++⋯+<2．a1a2ann(n+1)【答案】(1)an=;(2)见解析2S1【解析】(1)S1=a1=1，所以=1，a1Sn1所以是首项为1，公差为的等差数列，an3Sn1n+2n+2所以=1+(n-1)⋅=，所以Sn=an．an333n+2n+1当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-an-1，33ann+1所以(n-1)an=(n+1)an-1，即=(n≥2)；an-1n-1n(n+1)累积法可得：an=(n≥2)，又a1=1满足该式，289n(n+1)．2111111(2)++⋯+=2++⋯+a1a2an2×31×2n(n+1)11111=21-+-+⋯+-223nn+11=21-<2．n+1所以{an}得通项公式为an=18.(12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2π，求B；3a2+b2(2)求的最小值．c2π【答案】(1)B=;(2)42-56(1)若C=cosAsin2B=．1+cos2B1+sinA【解析】(1)由已知条件得：sin2B+sinAsin2B=cosA+cosAcos2Bsin2B=cosA+cosAcos2B-sinAsin2B=cosA+cos(A+2B)=cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B]=-cos(B+C)+cos[π+(B-C)]=-2cosBcosC所以2sinBcosB=-2cosBcosC，即(sinB+cosC)cosB=0，由已知条件：1+cos2B≠0，则B≠所以sinB=-cosC=1π，B=．26π，可得cosB≠0，2ππ，sinB=sinC-=-cosC，22(2)由(1)知sinB=-cosC>0，则B=C-sinA=sin(B+C)=sin2C-π=-cos2C，2a2+b2sin2A+sin2Bcos22C+cos2C由正弦定理==c2sin2Csin2C(1-2sin2C)2+(1-sin2C)=sin2C2+4sin4C-5sin2C2==+4sin2C-522sinCsinC2⋅4sin2C-5=42-5，≥2sin2C2当且仅当sin2C=时等号成立，2a2+b2所以的最小值为42-5．c219.(12分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C90的正弦值．A1B1DC1AB【答案】见解析【解析】(1)设A到平面A1BC的距离为h，C1114S△ABC⋅A1A=VABC-ABC=×4=，333311VA-ABC=S△ABC⋅h=×22⋅h，3314所以×22⋅h=，所以h=2，33VA-ABC=111111所以A到平面A1BC的距离为2．(2)取A1B的中点E，连接AE，因为AA1=AB，所以AE⊥A1B，因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，所以AE⊥平面A1BC，AE=2，则AA1=AB=2，所以AE⊥BC，因为直三棱柱ABC-A1B1C，所以A1A⊥BC，因为AE∩A1A=A，所以BC⊥平面ABB1A，所以BC⊥AB，由VABC-ABC=11111AB⋅BC⋅A1A=×2×BC×2=4，所以BC=2，22A1zB1EyABC1DCx以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(2，0，0)，A1(0，2，2)，E(0，1，1)，D(1，1，1)平面BDC的法向量设为n1=AE=(0，-1，1)，平面BDA的法向量设为n2=(x，y，z)，BA=(0，2，0)，BD=(1，1，1)，2y=0BA∙n2=0，所以所以y=0，x+y+z=0，BD∙n2=091设x=1，则z=-1，所以n2=(1，0，-1)，n1∙n21所以cos==-2，|n1|⋅|n2|设二面角A-BD-C的平面角为α，则sinα=1-cos2α=3，23．2所以二面角A-BD-C的正弦值为20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好病例组对照组40良好609010(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件P(B|A)P(B|A)“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风P(B|A)P(B|A)险程度的一项度量指标，记该指标为R．P(A|B)P(A|B)(i)证明：R=⋅；P(A|B)P(A|B)P(K2≥k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828(ii)利用该调査数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．n(ad-bc)2附：K=，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2【答案】(1)有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)见解析.【解析】(1)假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异，200(40×90-60×10)2则K==24>10.828，50×150×100×1002所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；92P(AB)P(AB)P(B|A)P(B|A)P(A)P(A)P(AB)P(AB)(2)(i)R=⋅==⋅⋅P(B|A)P(B|A)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(B)P(B)P(A|B)P(A|B)=⋅⋅⋅==，P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(A|B)P(A|B)P(B)P(B)得证；402101(ii)由调查数据可知P(A|B)==，PA|B)==，139510则P(A|B)=1-P(A|B)=，P(A|B)=，所以R=⋅=6．5103151021.(12分)yx2已知点A2，1在双曲线C：2-2=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线aa-1AP，AQ的斜率之和为0．2(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积．162941【解析】(1)将点A代入双曲线方程得2-2=1，aa-1x2化简得a4-4a2+4=0得a2=2，故双曲线方程为-y2=1．2【答案】(1)l的斜率为0；(2)△PAQ的面积为由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，222设Px1，y1，Qx2，y2，则联立直线与双曲线得：2k-1x+4kmx+2m+2=0，4km2m2+2，xx=，122k2-12k2-1y1-1y2-1kx1+m-1kx2+m-1kAP+kAQ=+=+=0，x1-2x2-2x1-2x2-2故x1+x2=-化简得：2kx1x2+m-1-2kx1+x2-4m-1=0，2k2m2+24km故+m-1-2k-2-4m-1=0，22k-12k-1即k+1m+2k-1=0，而直线l不过A点，故k=-1．(2)由tan∠PAQ=22，得tan∠PAQ2=，222，2不妨设直线AP的倾斜角为锐角且为α，1当P，Q均在双曲线的左支时，2α=∠PAQ，得到kAP=tanα=此时AP与渐近线平行，与双曲线左支无交点.2当P，Q均在双曲线的右支时，93由2α+∠PAQ=π，得kAP=tanα=2 ，即y1-1=2，x1-22y1-1x1x1+22联立=2及-y1=1得=22，进而解出：x1-22y1+110-4242-5x1=，y1=，3352068代入直线l得m=，故x1+x2=，x1x2=，339而AP=3x1-2，AQ=3x2-2，由tan∠PAQ=22，得sin∠PAQ=故S△PAQ=22.(12分)已知函数f(x)=ex-ax和gx=ax-lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=fx和y=gx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)a=1;(2)见解析【解析】(1)fx=ex-a，gx=a-1x22，31162．APAQsin∠PAQ=2x1x2-2x1+x2+4=29①a≤0时，fx>0恒成立，所以fx在R上单调递增，即fx没有最小值．该类情况应舍去．②a>0时，fx在-∞，lna上小于0，在lna，+∞上大于0，所以fx在-∞，lna上单调递减，在lna，+∞上单调递增，所以fx在x=lna处有最小值为flna=a-alna，11所以gx在0，上小于0，在，+∞上大于0，aa11所以gx在0，上单调递减，在，+∞上单调递增，aa11所以gx在x=处有最小值为g=1+lna，aa因为f(x)=ex-ax和gx=ax-lnx有相同的最小值．1=1+lna，即a-alna=1+lnaaa-1因为a>0，所以上式等价于lna-=0，a+1x-1令hx=lnx-x>0，x+1x2+1则hx=>0恒成立，所以hx在0，+∞上单调递增xx+12所以有flna=a-alna=g又因为h1=0=ha且a>0，所以a=1．(2)证明：由(1)fx=ex-x，gx=x-lnx，且fx在-∞，0上单调递减，在0，+∞上单调递增，94gx在0，1上单调递减，在1，+∞上单调递增，且fxmin=gxmin=1．①b<1时，此时fxmin=gxmin=1>b，显然y=b与两条曲线y=fx和y=gx共有0个交点，不符合题意；②b=1时，此时fxmin=gxmin=1=b，y=b与两条曲线y=fx和y=gx共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；③b>1时，首先，证明y=b与曲线y=fx有2个交点：即证明Fx=fx-b有2个零点，Fx=fx=ex-1，所以Fx在-∞，0上单调递减，在0，+∞上单调递增，又因为F-b=e-b>0，F0=1-b<0，Fb=eb-2b>0，(令tb=eb-2b，则tb=eb-2>0，tb>t1=e-2>0)所以明Fx=fx-b在-∞，0上存在且只存在1个零点，设为x1，在0，+∞上存在且只存在1个零点，设为x2．其次，证明y=b与曲线和有2个交点：即证明Gx=gx-b有2个零点，Gx=gx=1-1，x所以Gx在0，1上单调递减，在1，+∞上单调递增，又因为Ge-b=e-b>0，G0=1-b<0，G2b=b-ln2b>0，(令μb=b-ln2b，则μb=1-1>0，μb>μ1=1-ln2>0)b所以Fx=fx-b在0，1上存在且只存在1个零点，设为x3，在1，+∞上存在且只存在1个零点，设为x4．再次，证明存在b使得x2=x3：因为Fx2=Gx3=0，所以b=ex-x2=x3-lnx3，2若x2=x3，则ex-x2=x2-lnx2，即ex-2x2+lnx2=0，22所以只需证明ex-2x+lnx=0在0，1上有解即可，即φx=ex-2x+lnx在0，1上有零点，因为φ112e-=e-3<0，φ1=e-2>0，3ee3所以φx=ex-2x+lnx在0，1上存在零点，取一零点为x0，令x2=x3=x0即可，此时取b=ex-x00则此时存在直线y=b，其与两条曲线y=fx和y=gx共有三个不同的交点最后证明x1+x4=2x0，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列：因为Fx1=Fx2=Fx0=0=Gx3=Gx0=Gx4，所以Fx1=Gx0=Flnx0，95又因为Fx在-∞，0上单调递减，x1<0，00即ex>1，x1>1，所以x4=ex，00又因为ex-2x0+lnx0=0，所以x1+x4=ex+lnx0=2x0，00即直线y=b，与两条曲线y=fx和y=gx从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．96
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