3次数学危机极其影响

2024年2月26日发(作者：写数学试卷该听的歌曲简谱)

目 录

摘要 ······························································································· 1

关键词 ···························································································· 1

Abstract··························································································· 1

Keywords ························································································ 1

一、引言 ························································································· 2

二、什么是数学危机？ ······································································ 2

三、第一次数学危机·········································································· 3

四、第一次数学危机的影响 ································································ 3

五、第二次数学危机·········································································· 4

六、第二次数学危机的影响 ································································ 7

七、第三次数学危机·········································································· 7

八、第三次数学危机的影响 ································································ 8

九、数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 ····································· 8

后记 ······························································································· 9

参考文献 ························································································· 1

摘要：本文从空间跨度和时间跨度讲述了数学悖论、数学危机的产生及其对于数学的影响和推动作用。悖论的产生是指在作用的推理过程中：它看上去是合理的，但是结果却得出了矛盾，这样往往就会数学危机，在数学发展史上迄今为止出现了三次次这样的数学危机，每一次数学危机的产生都使得了数学出现跨时代的发展。

关键词：数学悖论 三次次数学危机 矛盾 发展

Abstract：This article from the space and time span of about mathematical

paradox、mathematics crisis and its impact on Mathematics and urge action.

Paradox refers to the role of the reasoning process: it seems reasonable,

but the results have had conflicting, so often crisis in mathematics, in

the mathematics history to date there have been 3 such mathematical

crisis, a crisis in mathematics have made mathematics appear across the

development of the times.

Key words: Mathematical paradox of the 3 mathematical crisis

contradiction development

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一、引言：

N.布尔巴基说过：“古往今来为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了粮食。”这充分说明了数学悖论在数学发展中队数学起到的影响及其推动作用。三次数学危机都是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译，都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。

二、什么是数学危机？

为了讲清楚三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。 数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。 矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

三、第一次数学危机：

发现了勾股定理的毕达哥拉斯学派认为任何俩都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。在几何上相当于这样说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。 希腊人称这样两条给定线段为“可公度量”，意即有公共的度量单位。然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。不过由于毕达哥拉斯学派有严密的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派的秘密。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派数学信仰然而毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰“掘墓人”毕达哥拉斯定理提出后其学派中成员希帕索斯考虑了问题：边长为1正方形其对角线长度第 - 2 - 页 共 12 页

是多少呢？他这一长度既用整数也用分数表示而只能用新数来表示希帕索斯导致了数学史上第无理数√2 诞生这却在当时数学界掀起了一场巨大风暴这一伟大不但对毕达哥拉斯学派致命打击也对于当时所有古希腊人观念这都是极大冲击更糟糕是面对这一荒谬人们竟然毫无办法这就在当时直接导致了人们认识上危机从而导致了西方数学史上一场大风波史称“第一次数学危机”。 二百年后欧多克索斯提出新比例理论暂时消除悖论一直到18世纪当数学家证明了圆周率是无理数时拥护无理数存在人才多起来到十九世纪下半叶现在意义上实数理论建立起来后无理数本质被彻底搞清无理数在数学中合法地位确立一使人类对数认识从有理数拓展到实数另一也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

四、第一次数学危机的影响：

毕达哥拉斯关于数的信条及以数为基础的宇宙模型的破产,导致了第一次数学危机.这一危机的影响是巨大的, 这次数学危机对希腊数学产生了决定性的影响。首先，希腊人得出直觉、经验都不是绝对可靠的，推理论明才是可靠的，因而希腊人此后更加重视逻辑，并在亚里士多德手中完成了古典逻辑学。其次，由于整数及其比不能包括一切几何量，但几何量却可以表示一切数，因此希腊人认为几何较之算术占着更重要的地位。在其后的希腊数学中，这种几何对算术的优势支配了希腊数学一千年。它不仅推动了数学及其相关学科的发展,使古希腊数学的基础发生了根本性的变化,而且推动了整个科学的发展.在古希腊,数学和哲学是结盟的,哲学使古希腊的数学趋于抽象和真理.正是由于古希腊的哲学背景,使其有可能建立世界上第一个数学公理系统,并最终导致了近代科学的诞生.

五、第二次数学危机：

希腊人在理性数学活动的早期，已经解除可无限性、连续性等深刻的概念，对这些概念的着意探讨，也是雅典时期希腊数学的特征之一。这方面最有代表性的任务是伊利亚学派的芝诺。芝诺提出了四个著名的悖论，将无限性概念所遭遇的困难揭示无遗，根据亚里士多德《物理学》记载，这四个悖论如下：

（1） 两分法：运动不存在，因为位移事物在达到目的地之前必先抵达一半处；在抵达一半处之前又必达四分之一处，······，依此类推可至无穷。

（2） 阿基里斯：阿基里斯永远追不上一只乌龟，因为若乌龟的起跑点领先一段第 - 3 - 页 共 12 页

距离，阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过一段距离，如此直至无穷。

（3） 飞箭：飞着的箭是静止的，因为任何事物当它是在一个和自己大小相同的空间里时，它是静止的，而飞箭在飞行过程中得每一“瞬间”都是如此。

（4） 运动场：空间和时间不能由不可分割的单元组成。假设不然，运动场跑道上三排队列A，B，C，令C往右移动，A往左移动，其移动相对于B而言都是每瞬间移动一个点。这样一来，A上的点就再每瞬间离开C两个点得距离，因而必存在一更小的时间单元。

芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分无限小量的思想。要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷几何等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰地解答。但芝诺悖论成为希腊数学家追求逻辑精确性的强力激素。

诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。

芝诺悖论直接导致了十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。

到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它第 - 4 - 页 共 12 页

被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。

18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

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第二次数学危机的解决一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。

六、第二次数学危机的影响：

第二次数学危机在数学史上有很深的影响。作为新生事物的微积分的出现，大大推进了数学的发展。当然，新生事物的不完备是必然的，但它却具有强大的生命力。在微积分发现的200多年后，经过无数数学家的努力，终于成功地建立起非常严格的实数理论和极限理论，不仅彻底解决了牛顿时期的论证问题，而且为微积分今后的发展奠定了牢固的理论基础。 数学大楼的地基再一次得到了稳固，集合论的诞生已成为整个现代数学的逻辑基础。但数学的严格性的目标是否已经达到？还有什么问题没有被发现？随着数学的深入发展，数学家们渐渐发现了一个更为严重的问题！一个悖论足以动摇整个数学体系，而这个问题最终带来了第三次数学危机。

七、第三次数学危机：

数学的严格基础，自古希腊以来就是数学家们追求的目标。这样的追求，在20世纪以前曾经经历过两次巨大的考验，即古希腊不可公度量的发现和17、18世纪关于微积分基础的争论，而19世纪未分析严格化的最高成就——集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。尽管集合论的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题，庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在我们说，完全的严格性已经达到了”！但就再第二年，英国数第 - 6 - 页 共 12 页

学家罗素却以一个简单明了的集合论“悖论”，打破了人们的上述希望，引起关于数学基础的新的争论。对数学肌醇的更深入的探讨即由此引起的数理逻辑的发展，是20世纪纯粹数学的又以重要趋势。

罗素的悖论是：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。然后问：集合N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N事它自身的成员。无论出现哪一种情况，都将导出矛盾的结论。

1919年罗素又给上述悖论以通俗的形式，即所谓“理发师悖论”：某乡村理发师宣布了一条原则，他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里这样的人刮脸。试问：理发师是否自己给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就不符合它提出的原则，因此他不应该给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那么根据他的原则它就应该给自己刮脸。

在罗素以前，实质上相同的悖论已经有人发现，如意大利数学家福尔蒂揭示了集合论中关于序数的一个悖论。康托尔本人在1899年也在给戴德金的一封信中提出过一个关于基数的悖论，它说人们要想不陷入矛盾的话就不能谈论一切集合的集合。由于福尔蒂和康托尔的悖论都涉及相当专门的术语和概念。在当时并没有引起重视。人们一般以为他们只是因某些推理环节上的失误所致。罗素的悖论却不同，罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第二卷末尾写道：\"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地\"。于是终结了近12年的刻苦钻研。 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

八、第三次数学危机的影响：

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第三次数学危机产生的背景：第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。

十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。

九、数学悖论、数学危机对数学的推动作用：

人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。

这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。

这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反第 - 8 - 页 共 12 页

映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。

人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。 方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。 这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。

编辑本段发展

这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有第 - 9 - 页 共 12 页

这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。

结论：

数学危机是数学在发展中种种矛盾， 数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。往往危机的解决，给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。

参考文献：

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[2].古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，1981.09

[3]林文林主编.数学珍宝[M].北京：科学出版社，1998.07

[4]梁宗巨.世界数学通史[M].沈阳：辽宁教育出版社，1996.04

[5]钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社，1964.03

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[6].数学史上的里程碑[M].北京科学技术出版社，1990

[7].数学史[M].高等教育出版社，1968

[8]李迪.中国数学通史[M].南京：江苏教育出版社，1999

[9].数学简史[M].上海教育出版社，1997

[10].希腊数学[M].北京：科学出版社，1981

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