数学建模入门教程

2024年3月10日发(作者：滕州2022初一数学试卷)

数学建模入门教程

（一）数学模型概述

数学模型的历史可以追朔到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不

断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。真正开始提出并研究它是20世

纪70年代后，由于它的广泛性与实用性，于是迅速推广开来。大家可能记得，从20

世纪80年代起，我国科技界兴起一股不论对什么问题进行研究，都要建立数学模型的

风气。从此不论是经济、法律、医学、农业、交通、军事等领域，数学模型已不再是

陌生的名词。在工程领域，电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，以

便对控制装置做出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制。气象工作者为了得

到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等

资料建立数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间、空间变化的数学模

型，就可以分析药物的疗效，有效的指导临床用药。城市规划者需要建立一个包括人

口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科

学依据。厂长经理们应该能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮藏费用等信

息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型。就是在平时对大学生的综合素质测

评、对教师的工作业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学

模型，确立一个最佳方案。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评、对

教师的工作业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，

确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的

一座必不可少的桥梁。

（二） 数学模型概念

什么是数学模型？国外曾有人为它下了一个简单的定义：把实际问题中各变量之

间的关系用数学形式表示出来，叫数学模型。由于它的广泛性，这样的定义是难以真

正理解它的真实含义的。下面举例来说明。

1、各种应用题的解过程都是数学模型。小学的数学题可以分为文字题、码字题两

类，文字题较难，何况还可以有不同的方法、思路，这部分就是在建模。码字题是以

有算式，只需要求解可看作是模型的求解。有这样一道题：鸡兔同笼，头共46，足共

128，鸡兔各几只？用x,y分别表示鸡与兔，可以列出方程

x+y=46 ,2x+4y=128

实际上，这组方程就是上述鸡兔同笼问题的数学模型。列出方程，原问题已转化

为纯粹的数学问题。方程的解为x=28,y=18,这就是鸡兔同笼问题的答案。

2、九大行星的发现过程。太阳系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王

星、海王星和冥王星等九大行星。在人类发展的历史长河中，很早就通过观察注意到

了金、木、水、火、土五星与其他星不同，中国历史上的“五行”一说也来源于此。

在伽利略、哥白尼的太阳中心说确立后，到它们与地球一起是太阳系的行星，不久又

发现了天王星，之后就没有单纯依靠观测发现其它行星。微积分发展起来之后，人们

开始计算太阳系每颗行星的轨道。科学家发现除了天王星之外，其它行星的理论轨道

基本吻合，而天王星相差较大，仿佛受到变化的外力，估计有另外的行星通过万有引

力在影响着它的运动。于是根据天王星运动的差异，经过计算确定在天空的某一位置

应有一颗行星，这样在确定的区域里去寻找，终于发现了第八颗行星——海王星。后

来，有人又用同样方法发行了冥王星。用数学模型的方法找到海王星的事例，是人类

最初也是最重要的数学模型应用的范例。

3、美国总统竞选的模拟。总统竞选是西方国家政治上的头等大事。早在20世

纪30年代美国有人企图用模拟的方法去预测一下评选结果，于是国家出资成立一个专

门的预测机构。通过收集资料，设计不同的模拟方法，进行预测。开始没有使用计算

机，后来使用计算机，前后预测了十几届的总统选举，都收到非常好的效果。首先选

举结果没有预测错，其次票数也基本一致，这里主要是采用模拟模型。

4、到处都有数学模型的问题。不是只有那些大型、核心的问题才有数学模型问题。

在我们身边到处都是需解决的问题。20年前中央发下的售房的价格通知中，有这样一

个公式，根据房子成本价、使用年限以及工龄等可算出应售出的价格。公式中有一括

号，括号内是加减运算，其中一项是工龄，括号外是一乘法运算，因子是用房子使用

年限构成的“成新率”，含义是按使用年限对房屋进行折旧。但是有心人马上能看出

公式有毛病；工龄也被折旧了！本来对这样一个简单的公式，只要对大家都公平，没

有仔细推敲，也都知道这不是出于数学工作者之手，不必求全责备。可偏偏不是这样，

明显看出这种公式对工龄越长、住房越久的人越不公平。从这个问题更看出普及建模

能力的必要性。

从以上我们可以看出数学建模的威力，它正在渗透在科学研究、工、农业生产、

我们日常生活等各方面。那么数学建模的精确定义是什么呢？

数学建模是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据）加

以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预测、

决策或控制，再经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必须经受

实际的检验，完成实践——理论——实践这一循环，如果检验的结果是正确或基本正

确的，即可用来指导实际，否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型。

作为一种数学思考方法，数学模型是对现实的对象通过心智活动构造出的一种能

抓住其重要而且有用的（常常是形象化的或者是符号的）表示。更具体的，它是指对

于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，动用

适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预

测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。

数学模型的分类方法有多种，以下是常见的几种分类：

（1）按照建模所用的数学方法的不同，可分为：人口模型、运筹学模型、微分方

程模型、概率统计模型、控制论模型等。

（2）按照数学模型应用领域的不同，可分为：人口模型、交通模型、体育模型、

经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、企业管理模型等。