中美四本微积分教材的比较及启示

2024年4月17日发(作者：兴化二模数学试卷分析报告)

西南科技大学《高教研究》２０２０年第２期（总第１３５期）

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中美四本微积分教材的比较及启示

刘　琼

（宁夏大学数学统计学院　宁夏银川　７５００２１）

　　摘　要：通过对国内两本高等数学教材—同济七版《高等数学》和中国科技大学

ａｌｃｕｌｕｓ》做《微积分学导论》，与美国两本微积分教材—《托马斯微积分》与《微积分Ｃ

对比，深入探讨了国内高等数学教材与美国微积分教材的差异，讨论了各自教材的特

点，分析了几种教材的适用范围和长处，对本校高等数学教材的编写有启迪作用。同

时对学生和教师选择教材自学或作参考，起到一定的指导作用。

　　关键词：高等数学；微积分；教材；比较

许多高校学生推崇的中国科技大学主编

［２］

《微积分学导论》（第二版），以下简称

一、引言

高等数学作为中国高等院校理工科学

生的公共基础课，主要研究单变量微积

分、多变量微积分以及空间解析几何与无

穷级数。通过高等数学的学习，对培养学

生的逻辑思维能力、空间想象能力及利用

数学解决实际问题的能力都具有重要的作

用。中国从

１９６０年以后，逐步开始自编

高等数学教材，经过几十年来的不断努力

和教材改革，已经形成了一批高质量的高

等数学教材。比如目前各高校采用最多的

［１］

同济大学主编《高等数学》（目前已出版

中科大微积分。而随着中国教育改革的推

进，越来越多的国外优秀教材也在不断引

入、出版。如高等教育出版社出版的《托马

［３］

斯微积分》（目前英文最新第十三版，中

文最新第十版）；机械工业出版社出版的

［４］

《微积分Ｃａｌｃｕｌｕｓ》（翻译自原书第九

版），该书英文版是在华南理工大学计算机

学院自２００４年以来采用高等数学双语教学

的教材，后经该校刘深泉教授２０１３年翻译

出版的中文版。这些教材各自有特色和优

点，并且不断在之前的基础上传承、更新，对

高等数学的教学起到了极大的推动作用。第七版），以下简称同济七版。在知乎被

　　基金项目：宁夏高等学校本科教学质量与教学改革项目：“非数学专业本科生公共基础课课程改革”

ＮＸＪＧ２０１７０１５）。（项目编号：

３９

对美国微积分教材的研究分析，国内已

５］

有一些研究成果，卢小瑞

［

在对《托马斯微

随着国内外各类高等数学教材的不断出

版，对于教师来说，如何选择一本合适的教材

来进行教学，学生如何选择一本适合自己的

教材自学或者辅助课堂教学，都需要在深入

了解各类教材的内容、结构、习题设置之后才

能更好的选择，文章在文献［８］、［９］的基础

上，选择了更多的对比教材，同时针对教与学

两方面，分别给出了教学方面和学生自学方

面的建议。希望通过阅读论文的研究内容，

能全面了解四本教材的内容，从而做出更适

合自己的选择。

积分》一书的内容研究之后，又探讨了该教

６］

材对中国高职教育的启示。赵燕

［

深入探

讨了美国微积分教材对中国理工科高等数学

７］

教材改革的启发。刘玉波

［

对美国微积分

教材改革进行了思考，认为精英型教育和大

众教育的不同是选择教材编写方式，和使用

教材的关键。对于中美微积分教材的比较，

８］

王远

［

将同济版高等数学与《托马斯微积

分》与另一本美国微积分教材做了对比研

究，给出了教学方面使用的一些建议。田仕

琴

［９］

通过对同济七版和美国宾夕法尼亚九

二、中美四本教材的比较

首先通过表１来了解四本教材各自的章

节安排。

版的定性、定量分析，给出了使用教材及编写

教材方面的建议。

表１　中美高等数学教材章节内容

同济七版（中）托马斯微积分（美）

１直线

２函数和图形

３指数函数

４反函数与对数函数

５三角函数及其反函数

６参数方程

７对变化进行建模

１函数与极限

２导数与微分

３微分中值定理及导数的

应用

４不定积分

５定积分

６定积分的应用

７微分方程

９多元函数微分法及其

应用

１０重积分

１１曲线积分与曲面积分

８向量代数与空间解析

几何

１２无穷级数

１极限和连续

２导数

３导数的应用

４积分

５积分的应用

６超越函数和微分方程

７积分方法１’Ｈｏｐｉｔａｌ法则和反常

积分

１１多元函数及其导数

１２重积分

１３向量场中的积分

中科大微积分（中）

１有理数与无理数

２确界原理

３不等式

４函数的定义

５函数的运算

６函数的表示方法

２极限理论

３单变量函数的微分学

４单变量函数的积分学

５微分方程

微积分Ｃａｌｃｕｌｕｓ（美）

１实数、估算、逻辑

２不等式与绝对值

３直角坐标系

４方程的图形

５函数及其图像

６函数的运算

７三角函数

１极限

２导数

３导数的应用

４定积分

５积分的应用

６超越函数

７积分技巧

８不定型的极限和反常

积分

１１多元函数的微分

１２多重积分

１３向量微积分

预

备

知

识

单

变

量

微

积

分

多变

量微

积分

其

他

６多变量函数的微分学

７多变量函数的积分学

９含参变量积分

８无穷级数

９平面向量和极坐标函数

１０空间中的向量和运动

８无穷级数

１０傅里叶分祈

９无穷级数

１０圆锥曲线与极坐标

４０

　　通过表１可以分析四本教材的内容。

（一）教材编排

（１）在预备知识方面，除了同济七版，其

他三本教材都单开一章，单独在极限之前介

绍了一些基础知识。两本美国微积分教材都

明确将该部分内容标为预备知识，中科大微

积分导论第一章是基础知识，不涉及其他。

而同济七版仅在第一章第一节中简单介绍了

函数的相关概念及图像，并且相对于前面的

五版和六版，七版中还删减了以前版本中涉

及的有关集合、邻域、区间等内容。

（２）对于微分方程部分的处理上，两本美

国微积分教材，都将微分方程部分紧随单变量

积分学之后给出，并单独加入超越函数。不同

的是《微积分Ｃａｌｃｕｌｕｓ》一书中，把微分方程列

入第六章超越函数中，章目录中没有列出。在

新版本中删减掉微分方程主要内容，只保留了

微分方程数值解的内容，如梯度场和欧拉法。

而两本国内教材均有一章论述微分方程的内

容，从微分方程的定义到分类，将微分方程的

全部基础知识都做了详细介绍。

（３）关于曲线、曲面积分部分，两本美国微

积分教材用一章的篇幅，讲解向量场的相关内

容，并把曲线积分和曲面积分插入其中介绍。

中科大的教材则是在第七章多变量函数的积

分学中，将重积分、曲线、曲面积分内容编排在

一起，第七节涉及到场论初步，数量场的梯度，

向量场的散度旋度，保守场与势函数，无源场

与向量势及哈密顿算符。同济七版将曲线、曲

面积分与重积分分开，用一章介绍曲线、曲面

积分，在该章最后简单介绍了向量场的散度、

旋度概念。两国教材的编排思路完全不同。

（４）对其他部分知识来说，四本教材中都

包含无穷级数，及空间解析几何的知识，不同

的是两本美国微积分教材都同时加入了对极

坐标的内容，微积分Ｃａｌｃｕｌｕｓ中甚至对我们在

高中阶段就已经深入学习的抛物线、椭圆及双

曲线也有介绍。而国内两本教材中，中科大仅

在第六章最后一节中简单讨论了关于空间曲

线、曲面的内容，但单独对傅里叶级数在第十

章中详细介绍。同济大学则在第八章详细介

绍了向量知识、空间直线、空间平面及二次曲

面等知识，这部分知识对于学习接下来的多元

函数来说，做了极好的铺垫。同时，对于傅里

叶级数部分，同济七版中在第十二章无穷级数

的最后部分，用了两个小节的的内容，列出了

傅里叶级数的基础知识。

（二）内容阐述表现形式

（１）图形的使用：之所以以此章为例分

析，主要是基于该章中图形对于学习内容的

重要程度，相较于其他知识来说更为明显。

从表中可知，《托马斯微积分》利用图形的频

率更高，而其他三本教材中相互差异不大，而

托马斯微积分三维图形的使用率远高于其他

教材，实际教学中，对重积分来说，三维图形

对学生的辅助作用更加明显。从其他各章内

容来看，美国微积分教材的内容表现形式上

来说，更为多样化，表现手段更丰富。具体体

现在图形，图像的使用，题目背景的多样性以

及辅助教学的使用上。

表２　图形的使用（仅以多元函数重积分为例）

同济中科大托马斯微积分

七版微积分微积分（Ｃａｌｃｕｌｕｓ）

平面图形２８１８３８２５

三维图形１７２４４６２１

４１

　　（２）知识点深度及广度：同济七版一贯坚

持知识的系统性和理论推导的逻辑严密性，上

册知识从单变量函数极限入手，一步步引出单

变量函数连续、可导的定义，对于重要的定理

都给予了严格的证明。同时，随着近些年来，

数学建模竞赛和实际问题的需要，同济七版的

习题中也开始加入一些实际应用问题的求解，

比如预测人口规模等题型。中科大微积分则

在理论体系方面比同济七版更为严谨，理论深

度更深。以一致连续性为例，两本国内教材均

有介绍，同济七版中仅给出定义及一个简单的

判定定理，并且该部分内容属于



号内容，是

超出基本要求的。中科大微积分在此部分的

论述则更为详细，并且属于必学内容。对上册

中的微分中值定理部分，中科大微积分还介绍

了达布定理，并在后续内容中，利用达布定理

证明了换元积分法和洛必达法则。从理论深

度来说，国内教材明显高于两本美国教材，只

是同济七版的教材更适合大多数理工院校学

生，而中科大版对学生的基础知识要求、学习

能力的要求更高。两本美国微积分教材，都不

侧重于介绍理论的推导，而是突出了知识点的

由来，发展和实际问题的求解需求。比如对基

本初等函数介绍中，托马斯微积分突出了此类

函数适用的实际问题，例如三角函数的周期、

重复性适用于研究地球大气的日温度浮动，乐

曲的波动形态，心脏血压等问题，银行复利问

题通常以指数函数来建模。而微积分Ｃａｌｃｕ

ｌｕｓ中问题的引入都较为简单，以极限为例，通

过在ｘ的趋近点附近取值代入函数，得到函数

值的一系列结果来得到极限，而不是像国内教

材一样，一开始就给出极限的精确定义，采用

４２

这样的方式，对学生来说，更易于接受和理解。

（３）习题及辅助教学工具：在课后习题配

置方面，同济七版每一小节后都有针对该节内

容的习题，以纯计算为主，少部分证明题，同时

有极少部分的应用问题，超纲部分以



号标

出，总数一般不超过１５道大题。同时每一章

后还有总习题，题型较为丰富，有填空、选择等

不同形式，同时难度略高于每一小节习题，习

题量一般控制在２０道大题以内。中科大版每

一小节后习题量较大，习题总数最多能达到

４０道大题左右，且难度高。每章最后都有一

个复习主题，列出该章主要内容。此外还有复

习思考题引导学生复习思考该章知识点，指引

学生将数学与其他自然科学及日常生活紧密

联系起来，这对于学生理解知识点起到了重要

的作用。最后的复习题难度要高于同济七版，

综合性较强，其中不乏近年来的考研试题。托

马斯微积分全书习题总量约为６０００道

［１］

，每

一小节后的题目大多需要借助计算机辅助计

算，有一小部分还需借助图形计算器做回归分

析，在一章结束后有一个总习题，分为：指导你

们复习的问题，实践问题以及附加习题：理论、

例子、应用。微积分Ｃａｌｃｕｌｕｓ中，每一小节后

都有一个概念复习部分，一般设置４道题目，

之后是每节习题，题量较大，一般在６０道大题

左右，且题目会表示不同符号，以提示需要用

哪种辅助工具，如Ｃ表示计算器，ＣＣ表示需

要有图形功能的计算器，ＣＡＳ表示需要计算

软件来辅助。总体来看，美版的教材更注重数

学的实际应用能力，这一点对学生后续进行数

学建模的学习是有利的，而国内教材注重理论

的完整性和逻辑性，对学生的计算能力、逻辑

思维过程、推导能力更为看重，近些年教材在

新编过程中也不断开始引导学生进行数学建

模相关知识的储备。辅助教学工具上，同济七

版每一版都有配套的习题全解指南及《高等

数学附册　学习辅导与习题选解》，后者对因

教材篇幅限制不能编入的一些理论证明编入

副册供学生课外学习。托马斯微积分配有教

学光盘，光盘中的Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ和Ｍａｐｌｅ教学

单元可以用于课堂演示以帮助学生形象化的

看到作为微积分基础的基本概念。除此之外，

还有６个能为微积分基本概念提供可视化的

Ｊａｖａ小型可视化应用软件，光盘里还有有关数

学的发展历史和数学家的传记及历史短文，用

于学生可以从多方面了解数学及数学家，某种

程度上说，这比纯粹的理论教学更易让学生产

生学习兴趣。

（三）附录及其他细节内容

从表３可以明确看出，同济七版将一部

分预备知识放在了文末给出，对于极坐标和

参数方程中一些重要的图形也单列出来，这

同济七版

１二阶和三阶行列式

２基本初等函数图形

３几种常用的曲线

４积分表

附

录

内

容

中科大微积分

１实数的构造

２外微分形式

对于学生学习定积分的几何意义，求解平面

图形面积及曲线弧长时，有很大帮助。积分

表则是对不定积分公式做了总结。中科大的

教材在附录中的外微分形式部分，利用外微

分，给出了梯度、旋度与散度的数学意义，同

时利用外微分这一工具，指出格林公式、高斯

公式和斯克托斯公式就是三维空间中的牛顿

－莱布尼兹公式，这对于学生深入理解几种

公式间的关系应用方面十分重要，对选用这

本教材的学生来说，需要具备较高的基础知

识水平。托马斯微积分正文内容重视对数学

的应用，而对一些重要的理论证明在文末以

附录形式给出，只是提供给需要了解的学生，

中英文名词对照，方便学生了解微积分专有

名词英文形式。同时三角函数及反三角函数

的知识和图形，对三角知识薄弱的同学来说，

可以及时通过教材来补充学习。两本美版教

材都同时在附录中列出数学归纳法，而这对

中国学生来说是在高中阶段就已经完全掌握

的知识，理论上的难易从中可见一斑。

托马斯微积分

１数学归纳法

２极限定理证明

３链式法则证明

４复数

５Ｓｉｍｐｓｏｎ三分之一法则

６柯西中值定理和洛必达法则的

较强形式

７常见的几个极限

８泰勒定理的证明

９向量叉积的分配律

１０行列式与克拉默法则

１１混合导数定理和增量定理

１２平行四边形在平面上的投影

中英文名词对照

积分简表

三角函数反三角函数图形

微积分（Ｃａｌｃｕｌｕｓ）

１数学归纳法

２几个定理的证明

表３　中美高等数学教材附录及其他内容

其

他

索引公式卡

４３

三、四本教材的各自特点

（一）同济七版《高等数学》

同济版的《高等数学》一贯以其结构严

谨、逻辑清晰、叙述详细、通俗易懂、例题经典

被国内理工院校奉为权威教材。这本教材的

内容循序渐进，讲解仔细，配有专门的习题与

详细的习题全解指南，对学生的起点要求也

并不高，高中数学基础扎实的学生，完全能够

通过这套教材自学高等数学的内容。虽然当

下很多高校学生对此套看法不一，但不可否

认的是，历经多年改版、编写，这套教材更加

适合大多数工科学生学习。宁夏大学自

２００５年左右，工科类专业学生开始使用该教

材第五版，至今到七版，教学效果和成绩还是

令人满意的。而同样对于很多考研一族来

说，使用该教材作为前期的基础知识准备，也

是首选。

（二）中科大《微积分学教程》

这套教材的理论深度更深，难度也更大

一些，对学生的基础功底要求较高，但书中力

求将深奥的数学概念通过多种方法，尽量易

于被学生理解。同时，例题和习题的难度也

比同济七版更高，对于数学功底不是很高的

学生来说，在学习过程中会比较吃力。这本

教材更适用于数学功底好，对数学理论方面

要求更深入了解的学生。通过这本书的学

习，能够完全掌握微积分中理论知识的严谨

证明。习题中加入的历年考研试题，提升了

题目的难度，但对有考研打算的学生来说，是

很好的选择。同时，教材中单独设置的复习

思考题，能够推动学生进行自主思考，一些有

４４

应用背景的题目，可以作为数学建模的简单

模型来研究，可见编者的良苦用心。

（三）《托马斯微积分》

美国微积分教材的共同特点就是更重视

应用，所以托马斯微积分从内容到习题设置

及配套光盘，都力求让学生从解决问题入手

来理解数学思想，同时借助各类辅助设备，比

如图形计算器。通过该教材的学习，学生可

以更好地将常规的数学知识与实际生活中的

问题联系起来，这对于学生建立数学建模的

思想和方法有极大的好处。对于工科学生来

说，如果需要从一本教材中最快获得有关数

学建模基础知识，这本教材一定是首选。同

时，这本书的配套光盘内容丰富，既可以通过

多媒体手段激发学生的学习兴趣，又可以作

为拓展学生课外数学知识，普及基础数学史

的素材。表现内容丰富，与实际生活，实际问

题联系紧密，是此书的最大特点。

（四）《微积分Ｃａｌｃｕｌｕｓ》

这本教材和《托马斯微积分》一样，重视

数学思想在实际中的应用，也和前者一样需

要借用图形计算器或数学软件来辅助研究，

习题量没有《托马斯微积分》那么大，表现形

式也不如前者丰富，但对于定理的证明是在

美国教材中比较严谨和重视的，书中大多数

定理都给予了证明，证明过于复杂时也会给

出直观解释，或者给出证明的轮廓，使学生更

易于掌握。同时通过特别设置的四个概念复

习题，来鼓励学生理解阅读教材，加强学生对

于概念的理解。对既需要了解微积分中的基

础理论证明，又需要了解实际生活中微积分

应用的学生来说，这本教材足够满足两方面

的需求。不需要高起点，又可以轻松读懂基

本理论知识的证明。

四、总结

通过上面的对比分析，学生在自学过程

中的教材选择，应先考虑到个人的实际需求，

如果是为了未来考研做准备，那么中科大微

积分可以作为自学教材来深入学习；如果只

是想了解高等数学中基础的知识理论，并且

掌握基础题型的计算求解，那么同济七版可

以满足；如果关注高等数学在实际问题中的

应用或者对数学建模感兴趣，那么托马斯微

积分和微积分Ｃａｌｃｕｌｕｓ都可以一读。应该

说，没有一本教材是完美无缺的，但是编者一

定是在既定目标上，有自己的编排想法和整

体布局，对于读者来说，学习目标的确立对于

选择教材，是最重要的一步。

而对于高等数学教材的编写来说，应当

充分考虑到学生的特点，如果可能，甚至应考

虑不同专业学生的实际需求，除了必修知识

点，在选修内容上，根据专业来调整所涉及的

难度和知识。对于强调数学知识应用的专

业，应吸收两本美国微积分教材中的长处，适

当增加应用类题目，引入多媒体课件和先进

的技术手段，来引导学生自主解决实际问题。

随着近些年高考的改革，教材的进一步修订，

很多以前高中学生学习的知识点被弱化，比

如三角函数、极坐标，而同时，以前在大学阶

段才会学习的求导，概率等内容被加入到高

中教材中，这些变化也应该体现在高等数学

教材中，以保证学生从高中到大学知识的连

贯性，而对于未来高等数学的教材，如何满足

人才培养的需求，更好的为教师和学生服务，

是应该长期需要思考的问题。

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４５