2023年12月2日发(作者：2018年滨州中数学试卷)

贵阳德为教育

整理人：嬴本德（老师） 高中数学解答题答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板

（文理通用） 嬴本德

题型一：解三角形

1、正弦定理：abc2R （R是ABC外接圆的半径）

sinAsinBsinCa2Rb 变式③：a:b:csinA:sinB:sinC

2Rc2R8、二倍角公式：①sin22sincos

②cos2cos2sin22cos2112sin2

降幂公式：cos2③tan22tan1tan21cos21cos2，sin2

22

8、和、差角公式：

①sin()sincoscossinsin()sincoscossin②

sinAa2RsinA变式①：b2RsinB 变式②：sinBc2RsinCsinCcoscossinsincos(）coscossinsincos(）

tantantan()1tantan③tan()tantan

1tantanab9、基本不等式：①ab2

b2c2a2cosA2222bcabc2bccosAa2c2b22222、余弦定理：bac2accosB 变式：cosB

2ac2ca2b22abcosCa2b2c2cosC2aba2b2ab(a,bR)②ab③ab(a,bR)(a,bR)22

2注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC面积的最大值时。

☞答题步骤：

①抄条件：先写出题目所给的条件；（但不要抄题目）

②写公式：写出要用的公式，如正弦定理或余弦定理；

③有过程：写出运算过程；

3、面积公式：SABC111absinCacsinBbcsinA

222abcosCccosB4、射影定理：bacosCccosA （少用，可以不记哦^o^）

cacosBbcosA④得结论：写出结论；（不会就猜一个结果）

⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式，如均值不等式或面积公式等。

5、三角形的内角和等于180，即ABC 6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

奇：2的奇数倍

偶：2的偶数倍

例1：(2016天津文)在ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知asin2B3bsinA.

(1)求B；

(2)若cosAsin(AB)sinC利用以上关系和诱导公式可得公式：sin(AC)sinB和

sin(BC)sinA

cos(AB)cosCcos(AC)cosB

cos(BC)cosA

1，求sinC的值.

37、平方关系和商的关系：①sin2cos21 ②tansin

cos解：已知asin2B3bsinA

……将题目的条件抄一遍

其实，兴趣才是最好的老师！☺abc2R

……写出要用的公式

由正弦定理sinAsinBsinC第 1 页 共 30 页

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

sin22sincos

……写出要用的公式

sinA2sinBcosB3sinBsinA 贵阳德为教育

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例2：(2013江西理)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＋c=1，求b的取值范围．

解：(1)已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B=0 ……将题目的条件抄一遍

其实，兴趣才是最好的老师！☺

第 2 页 共 30 页

cos(AB)cosAcosB3sinAcosB0

cosAcosBsinAsinBcosAosB3sinAcosB0

……写出必要的运算过程

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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10、不常用的三角函数公式（很少用，可以不记哦^o^）

（1）万能公式：

3、an与Sn的关系：anS1 , n1SnSn1 , n2注意：该公式适用于任何数列，常利用它来求数列的通项公式

4、求数列通项公式的方法

（1）公式法：

①若已知an1and和a1a，则用等差数列通项公式ana1(n1)d

②若已知an1anq和a1a，则用等比数列通项公式ana1qn1

2tan2①sin1tan2 ②cos21tan21tan2 ③tan22tan1tan222

2（2）an与Sn的关系：anS1 , n1

SS , n2n1n（2）三倍角公式：

①sin33sin4sin ②cos34cos3cos ③tan333

tan33tan3tan21

例3：数列{an}满足a13a232a33n1ann2，求an.

题型二：数列

1、等差数列 2、等比数列

①定义：an1and ①定义：an1q

an解：设Sna13a232a33n1an12

n2，则

（1）当n1时，a1S1

（2）当n2时，Sna13a232a33n2an13n1ann2 ①

②通项公式：ana1(n1)danam(nm)ddanam ②通项公式：ana1qn1anamqnm

nm

①-②，得

Sn1a13a232a33n2an1n12 ②

n(n1)a1(1qn)d（大题小题都常考） ③前n项和：Sn③前n项和：Snna1（常考）

21qn(a1an)aaq（小题常考）

Sn1n（可以不记哦^o^）

21q

n13n1an111ann1an与Sn的关系

223

(n2) ……利用了

12

Sna1④等差中项：若A,B,C成等差数列，则2BAC ④等比中项：若A,B,C成等比数列，则B2AC

an1123n1⑤性质：若mnpq，则amanapaq ⑤性质：若mnpq，则amanapaq

第 3 页 共 30 页

其实，兴趣才是最好的老师！☺ 说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！ 贵阳德为教育

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（3）构造法：形如an1panq（p，q为非零常数） 构造等比数列an1p(an)

构造an12(an)

……构造等比数列

an12an2an12an

例4：已知数列{an}满足an12an1，且a11，求an.

解：已知an12an1，且a11

bnan12nan2n1

……将假设出来的式子与原式比较，求出未知数

a1an112(an1)n12an1

bnan1b1a112

令

bn12q{bn}bnbnb1qn122n12ba

（5）累乘法：形如

anf(n)，且f(n)可用求积，可用累乘法

an1（4）累加法：形如anan1f(n)，且f(n)可用求和，可用累加法

例5：已知数列{an}中，a11，anan12n，求an.

例6：已知数列{an}中，a11，annan1n1，求an.

其实，兴趣才是最好的老师！☺解：已知anan12n

anan12n

解：已知

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

第 4 页 共 30 页

annan1n1

aa22a33a44n1ann,, 

n1,a13a24a35an2nan1n1 贵阳德为教育

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5、求数列前n项和Sn的方法

（1）公式法：除了用等差数列和等比数列前n项和的公式外，还应当记住以下求和公式

n(n1) ④2122232n2n12

2①123n1②135(2n1)n2 ⑤122232n2n(n1)(2n1)

61③2462nnn ⑥123nn(n1)

2233332

（6）取倒数法：形如an

其实，兴趣才是最好的老师！☺

Snna1an1（p，q为非零常数）则两边同时取倒数

pan1q

（2）裂项相消法：

①11111 ③(nkn)

n(n1)nn1nknk11111111() ④()

n(nk)knnk(2n1)(2n1)22n12n1an1an2an11且a11，求an. 例7：已知数列{an}满足an112an11122an11anan1an1 解：已知an

112anan1 ……等式两边同时取倒数

……满足等差数列的定义

②

例8：设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设

bn

1bnan1b11a1bnbn12d{bn1anan1，求数列{bn}的前n项和Tn.

bnb1(n1)d1(n1)22n

解：（1）已知S44S2，a2n2an1

……写出题目所给的条件

n(n1)d2，ana1(n1)d ……一定要先写出要用的公式，再带值

43S44a1d4a16d24a16d4(2a1d)21第 5 页 共 30 页

S22a1d2a1d 说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

2 ①

a2na1(2n1)d2a1(n1)d1 ② ……先写出公式，再带值 贵阳德为教育

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其实，兴趣才是最好的老师！☺

（3）错位相减法：形如“an等差×等比”的形式可用错位相减法

例9：设数列满足a12,an1an32n.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bnnan，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：（1）已知a12,an1an32n，则

……一定要先写出题目所给的条件

a2a132

a3a2322a4a3323

anan132n1

an1an32n

累加后，得

an1a13(222232n) 32(12n)

12a1(1qn 6(12nnS)n

)626 ……运用等比数列求和公式1q

an162n4an62n14.

……所有的n取n-1，得到an

（2）由（1）知：bnnan6n2n14n3n2n4n

Tnb1b2b3bn (312141)(322242)(332343)(3n2n4n)

3(121222323n2n)4(123n)

记Hn121222323(n1)2n1n2n第 6 页 共 30 页

①

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

2Hn122223324(n1)2nn2n1 ② ……等式两边同时乘以等比部分的公比

①-②，得 ……此处用错位相减法 贵阳德为教育

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（4）分组求和法：

{a

例10：已知等差数列n}满足a12,a2a48.

（1）若a1,a3,am成等比数列，求m的值；

其实，兴趣才是最好的老师！☺

第 7 页 共 30 页（2）设bnan2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：（1）已知a12,a2a48 ……写出题目所给的条件

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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①线线平行：（很简单，基本上不考）

②线线垂直：先证明线面垂直，从而得到线线垂直。（常考）

方法：（i）利用面与面垂直的性质，即一个平面内的一条直线垂直于两面交线必与另一平面垂直；

9、基本不等式：

ab(a,bR)①ab2（ii）利用线与面垂直的性质，即直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例11：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，a2b2ab②ab(a,bR)(a,bR)③ab22

20

且平面PAD垂直于底面ABCD，求证：ADPB.

注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题的时候用到，有时还用于证明数列不等式。

☞答题步骤：

①抄条件：先抄题目所给的条件；（但不要抄题目）

②写公式：写出要用的公式，如等差数列的通项公式或前n项和；

证明：取AD的中点为G，连接PG，BG，如图所示： ……作辅助线一定要有说明

PAD是等边三角形PGAD ① ……将条件圈出来

③有过程：写出运算过程；

④得结论：写出结论；（不会就一个结果）

⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式。

^o^

数列题型比较难的是放缩法

1aAGAD22AGBGADBGDAB60，ABaPB面

题型三：空间立体几何

1、线线关系

AD面AD面

ADPB

第 8 页 共 30 页

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2、线面关系

①线面平行：只需证明直线与平面内的一条直线平行即可。方法：将直线平移到平面中，得到平面内的一条直线，只需证明它们互相平行即可。一般要用平行四边形或三角形中位线的性质证明。（最常考，一定要掌握鸭）

②线面垂直：只需证明直线与平面内的两条相交直线都互相垂直即可。（最常考，一定要掌握鸭）

方法：（i）利用面与面垂直的性质；

（ii）直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例12：如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．

（1）求证：DE⊥平面BCE；

（2）求证：AF∥平面BDE．

证明：（1）已知AA1=AD=a，AB=2a，E为C1D1的中点

DEEC2aDE2EC2CD2

DEEC ①

又BC面CDD1C1BCDE ②

BC,EC面BCE，且BCECC

而DE面BCEDE面BCE.

（2）连接EF，连接AC交BD于点M如图所示：

EF//1A1C12AM1ACEF//AM四边形AMEF为平行四边形2AC//A1C1其实，第 9 页 共 30

兴趣才是最好的老师！

☺

页

AF//ME说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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其实，兴趣才是最好的老师！☺

第 10 页 共 30 页说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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M②面面垂直：只需证明有一条直线垂直于一个平面，而这条直线又恰好在另外一个平面内即可。（常考）

例13：如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点．求证：平面MOC⊥平面VAB．

证明：已知面VAB⊥面ABC

ACBC

CO面

CO面AOOB

面MOC面☞答题模板：

①作辅助：需要作辅助线的一定要在图中作出辅助线，如取AB的中点为E；

②有说明：需要在图上连线时一定要有说明，如连接AB两点如图所示；

③抄条件：写出证明过程，并将条件圈出；

④再说明：说明线与面的关系，如AB面ABC，而EF面ABC；

3、面面关系

①面面平行：只需证明第一个平面的两条相交直线与第二个平面的两条相交直线互相平行即可（很少考哦）。

⑤得结论：得出结论，证毕；

⑥写多分：第二问不要不写，能写多少写多少，哪怕是抄题目的条件。

第 11 页 共 30 页

其实，兴趣才是最好的老师！☺ 说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！ 贵阳德为教育

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文科常考锥体体积公式：V锥体1Sh

3

理科常考二面角的余弦值：cosnm|n||m| 其中n和m为两个平面的法向量

点到平面的距离公式(理科)：设平面的法向量为n，A为该平面内任意一点，则点P到平面的距离为：d|APn|

|n|

^o^ 总之第二问一定要多写，多写多得分

例14：(2018全国Ⅱ卷文)如图所示，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，且四棱锥P−ABCD的体积为8

3，求该四棱锥的侧面积．

证明：（1）BAPCDP90 ……写出题目的已知条件

ABAP

CDPD ①

M

又AB//CDABPD ② ……将证明的条件圈出来

AP,PD面PAD,且ADPDD而AB面PAD

AB面PAD ……说明清楚线与面的关系

其实，面PAB面PAB面PAD第 12 页 共 30 页又兴趣才是最好的老师！AB☺

. ……根据线面垂直的性质，得出结论

（2）过P点作PMAD，垂足为点M，如图所示： ……作辅助线一定要有说明

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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例15：(2018全国Ⅲ卷理)如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD

上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD平面BMC；

（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

z

M

证明：（1）既然M为圆弧CD上的动点，不妨假设M在圆弧CD的中点M处，建立空间直角坐标系D-xyz

如图所示：

A(2,0,0) B(2,2,0) C(0,2,0) D(0,0,0)

M(0,1,1)y

……将所有点的坐标一一写出

设面ADM的法向量为n(x1,y1,z1)，则 ……法向量一般要先假设出来

x

2,0,0)(0,1,1)

DA(，DM

DAn02x1000x10

由DMn00y1z10y1z10 取n(0,1,1) ……平面有无数多法向量，任取一个即可

BCM设面的法向量为m(x2,y2,z2)，则

M(2,1,1),1,1)

B，CM(0

AM(2,1,1)，BM(2,1.1)

其实，BMm02x

2y2z202x2y2z20第 13 页 共 30 页由C兴趣才是最好的老师！Mm00y2z2☺

0y2z20k

AM02xyz0 取m(0,1,1)

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

由kBM02xyz0 取k(1,0,2)

nmx1x2y1y2z1z20011(1)1而面CDM的法向量取为DA(2,0,0)

第一章生产第二章生产（3）根据（贵阳德为教育

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题型四：概率与统计

1、茎叶图

①平均数：x1n(x1x2x3xn)

②极差=最大值-最小值 注：极差越小，数据越集中

③方差：s21(x1x)2(x2x)2n(xnx)2 注：方差越小，数据波动越小，越稳定

④标准差：s1

n(x1x)2(x2x)2(xnx)2

例

16：(2018全国Ⅲ卷理)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的

生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取

40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如

下茎叶图：

其实，兴趣才是最好的老师！第一种生产方式☺

第二种生产方式

第 14 页 共 30 页 8 6 5 5 6 8 9

9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8

9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

贵阳德为教育

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其实，兴趣才是最好的老师！☺

2、频率分布直方图

①众数：最高小长方形的中间值

②中位数：小长方形面积之和为0.5的值

③频率=概率=组距×频率组距=小长方形的面积

④所有小长方形的面积之和等于1

⑤平均数：每个小长方形的中间值×相应小长方形的面积，然后将所得的数相加

例17：(2019全国Ⅲ卷文)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机

分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的

溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分析得到如下直方图：

第 15 页 共

记30

C页为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于

5.5”，根据直方图得到说明：P(C)颜色加深的是重点记忆的公式哦！的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）. 贵阳德为教育

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其实，兴趣才是最好的老师！☺

3、线性回归方程

☞答题模板：

（1）设方程：先假设回归方程为yˆbˆxaˆ；

nxiyinxy（2）抄公式：写出公式bˆi1n，aˆybˆx （不管题目有没有给，都要写出来哦^o^）

xi2nx2i1（3）求各值：求出①x1n(xx112x3xn)，②yn(y1y2y3yn)……没时间计算就把式子列出来

③nnxiyix1y1x2y2x3y3xnyn ，④x1x2x3xn ……没时间计算就把式子列出来

i1xi2222ni1（4）得ba：代入公式求出bˆ和aˆ；

（5）写方程：写出回归方程；

（6）写多分：第二问也不难，一般给你x让你估计y的值，直接带公式OK！^o^

例18：(2014全国Ⅱ卷理)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

年份代号t

1 2 3 4 5 6 7

人均纯收入y

2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农民居民家庭人均纯收入.

附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

第 16 页 共 30

ˆ页n(tit)(yiy)bi

1n说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

(tit)2i1，aˆybˆt

ˆ贵阳德为教育

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t1(1234567)3.867

题型五：圆锥曲线

1、椭圆（以焦点在x轴上的为例）

a2①定义：PF1PF22a ⑥准线：x

c2b2②标准方程：221 ⑦通径：AB

aabx2y2y1(2.93.33.64.44.85.25.9)4.307

③离心率：ec ⑧长轴长：A1A22a

atyi1nii12.923.333.644.454.865.275.9134.4④固定关系：a2b2c2 ⑨短轴长：B1B22b

⑤焦距：F1F22c

ti1n2i12223242526272140

x2ˆ134.473.864.3018.21400.51bˆt4.300.513.862.33ˆyba35.702814073.862 ，

例20：(2018北京卷文)已知椭圆M:a与椭圆M有不同的交点A，B.

2y2b21(ab0)6的离心率为3，焦距为22，斜率为k的直线l（1）求椭圆M的方程；

第 17 页 共 30 页

ˆ

ˆ0.☺y51t2.33其实，兴趣才是最好的老师！说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

故线性回归方程为：.

（2）若k=1，求|AB|的最大值；

由回归方程知：该地区农村居民人均纯收入是逐年提高的.

（3）设P(-2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和71(,)贵阳德为教育

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x22

解：（1）已知椭圆的标准方程为a2yb21 ……首先假设椭圆的方程

ec6a3，F1F22c22 ……先写公式再带数值

c2,a3

a2b2c2ba2c21 ……先写公式再带数值

x2

故椭圆的方程为3y21.

（2）由题意，设AB所在的直线方程为ykxb，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 ……一定要假设出直线方程

yxb

2422

xy21x6bx3b30

3 ……将直线与椭圆联立方程

b3bc3b2

xa2,x31x21x2a4 ……韦达定理

b24ac(6b)244(3b23)12b24800b24 ……保证直线与椭圆有两个交点

其实，兴趣才是最好的老师！☺

2第 18 页 共 30 页

AB1k2(x1x2)24x3b1x22(2)243b3342b26 ……弦长公式

因此当且仅当b20即b0时，AB的值最大，且ABmax6.

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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2、双曲线（以焦点在x轴上的为例）

b①定义：PF1PF22a ⑥渐进线：yx

a2b2②标准方程：221 ⑦通径：AB

aabx2y2kCQkDQ

7x12y1C(1,)4x74x711

D(7x212y2,)4x274x27

x22例21：已知C：ay2b21(a0,b0)的两个焦点F1(2,0)、F2(2,0)，点A(3,7)在双曲线上.

（1）求双曲线C的方程；

（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，若EOF的面积为22，求

（2）设直线l的方程为y0k(x2)，即ykx2，则E(x1,y1),F(x2,y2)

x2y212232a2(7)2b21同理可得，又Q、C、D在同一直线上，因此

y1y2114x1744x2744y14x174y24x27y1y2x1x27x11277x21274x1744x274直线l的方程.

x22 解：（1）已知双曲线的标准方程为ay2b21，则 ……先写出标准方程的原始式子

yy2k11x1x2 由题意得，c=2，点A(3,7)在双曲线上

c2a2b24a2ba22,b2③离心率：ec ⑧实轴长：A1A22a

a④固定关系：c2a2b2 ⑨虚轴长：B1B22b

ykx22(1k2)x24kx60xy21

22

x1x2⑤焦距：F1F22c

b4kc6 , xx12a1k2a1k2

b24ac(4k)24(1k2)(6)16k224(1k2)0

第 19 页 共 30 页

其实，兴趣才是最好的老师！☺ 说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

k23且k21k(3,1)(1,1)(1,3)

2dAx0By0C002贵阳德为教育

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其实，兴趣才是最好的老师！☺

3、抛物线（以开口向右的为例）

①标准方程：y22px

②焦点坐标：F(p2,0)

③准线方程：xp2

④定义：平面内到一个定点与到定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.（常考，很重要的哦^o^）

⑤通径：过焦点F且垂直于x轴的直线与抛物线相交于A，B两点，则AB2p.

⑥过焦点的弦长：CDx1x2p

x1，x2分别为C，D两点的横坐标

例22：(2017年全国Ⅱ卷文)设A，B为曲线C：2yx4上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1

）求直线AB的斜率；

第 20 页 共 30

（页2）设

M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM说明：BM颜色加深的是重点记忆的公式哦！，求直线AB的方程．

解：（1）设AB所在直线方程为y=kx+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 贵阳德为教育

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其实，兴趣才是最好的老师！☺

AM(2x1,1y1),BM(2x2,1y2)

AMBMAMBM0(2x1)(2x2)(1y1)(1y2)0

42(x1x2)x1x21(y1y2)y1y20b26b70(b7)(b1)0

解得

b7或b1

☞答题步骤：

①设方程：假设出曲线的标准方程；（不管题目有没有，都要假设哦^o^）

②抄条件：写出题目所给的条件，该带公式就带公式，如已知离心率为12，在试卷上要写出ec1a2；

③画图形：根据题意，画出图形；

④写过程：写出必要的解方程过程；

⑤得结论：写出结论（写出曲线方程，不会就猜一个）

⑥猜公式：第二问一定要写，要写什么参考以下第4点。嘻嘻^o^

4、圆锥曲线大题第二问常考公式：

①直线方程：yy0k(xx0) 或

ykxb

……题目说直线过某个定点时用第一个，只说直线时用第二个

方法：把直线假设出来后一般都要和曲线联立方程：

第 21 页 共 30 页

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！ 贵阳德为教育

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ykxbF(x,y)0ax2bxc0 ……大部分题目都要将直线与曲线联立方程，而且要写出根与系数的关系

注：为保证方程有两个实根，必须满足b24ac0

……这是很多同学容易漏写的一点，很重要

②韦达定理：x1x2ba，xxc12a（根与系数的关系式）

……联立方程后一般都要写出根与系数的关系

③弦长公式：AB1k2(x

1x2)24x1x2

……一般在计算三角形的面积或两点之间的距离时要用到

④圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2 圆心：(a,b)

半径：r

Ax

⑤点到直线的距离公式：已知点P(x0By0C0,y0)和直线l:AxByC0，则d……计算三角形的高

A2B2

⑥斜率公式：ky2y1

x

2x1

⑦看到直线与曲线相交于两点A，B时，要假设两点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)

xx1x2⑧中点坐标公式：A(x两点的中点记为M(x0

1,y1)，B(x2,y2)0,y0)，则

2y

yy0122

x2y2

例23：（2014全国Ⅰ卷文）（本小题满分12分）已知点A(0，-2)，椭圆E：a2b21(ab0)的离心

323

率为2，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为3，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.

x2

解：（1）已知椭圆的方程为a2y2b21，则

0(2) 由题意，设F(c,0)，则

kAFc02c233c3 ①

其实，兴趣才是最好的老师！☺

第 22 页 共 30 页

eca32a2 ②

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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2例24：(2017天津卷理)设椭圆:x2

a2yb21(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线

y22px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为1

2.

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（2）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点

D.若APD的面积为6，求直线AP的方程.

2

x2y2

解：（1）已知椭圆和抛物线的方程分别为a2b1，y222px，则

设F(c,0)，A(a,0)，则

由题意知：ec

a12，p2a，ac12a1，c12，p2

c212(1)23

a2b2c2b2a224

因此椭圆的方程为x24y231，抛物线的方程为y24x.

（2）设AP所在直线方程为yk(x1)，则P(1,2k)，Q(1,2k)

yk(x1)2(34k2)x28k2x4k230(34k2)x(2x24y34k)(x1)

31

其实，兴趣才是最好的老师！x11y10第 23 页 共 30 页☺

x4k23y6k

24k2324k23B(4k236k4k23，4k23)

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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②如果在x0附近的左侧有f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)为极小值.

7、利用导数求切线方程的方法：

①假设函数在点P(x0,f(x0))处的切线方程为yf(x0)k(xx0)；

题型六：导数

1、常考求导公式：

11nn1322①(C)0 C为常数 ②(x)nx 例如：(x)3x

(x)2x

x1

2

xx②求f(x)；

③kf(x0)；

④得出切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).

☞答题步骤：

mnmn1m③(lnx)④(mn)mnmn

⑤

x

n2n①定义域：写出函数的定义域：一般看到lnx的定义域为(0,)，其他都是R

②求导数：求导：f(x)

③令导零：令f(x)0，得出方程的根 ……一般要分类讨论

④判单调：f(x)0函数单调递增

2、曲线的切线方程：yy0k(xx0)

3、导数的意义：曲线在xx0处的切线的斜率，即kf(x0)

4、性质：函数在极值点处的导数为零，即如果xx0为函数的极值点（不管是极大值还是极小值），必有f(x0)0

5、如图所示：

f(x)0函数单调递减

⑤得结论：写出函数的单调区间

⑥画图形：画出函数图像，判断极值点

①x1，x3为极大值点，x2为极小值点；

②f(x1)，f(x3)为极大值，f(x2)为极小值；

③f(x1)0，f(x2)0，f(x3)0.

注意：①极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值；

②如果奇函数在原点处有定义，必有f(0)0.

6、利用导数求极值的方法：解方程f(x)0

①如果在x0附近的左侧有f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)为极大值；

例25：(2017北京卷文)已知函数f(x)excosxx．

（1）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（2）求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值．

2x解：（1）已知f(x)ecosxx，定义域为R ……将题中的原函数抄上来后，写出函数的定义域

f(x)(ex)cosxex(cosx)1excosxexsinx1 ……求导，这是必做的一步

f(0)e0cos0e0sin010

其实，兴趣才是最好的老师！☺

kf(0)0 ……利用导数的几何意义，即kf(x0)

第 24 页 共 30 页

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

0又f(0)ecos001 贵阳德为教育

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例26：(2017年全国Ⅰ卷理)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.

其实，兴趣才是最好的老师！☺

第 25 页 共 30 页（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

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（4）抛物线的参数方程：（少考，可以不记哦^o^）

x2pt2①普通方程：y2px ②参数方程： 其中t为参数

y2pt23、由参数方程转化为普通方程的方法：

（1）直线方程消参：①代入法 ②消元法 ^o^目的都是为了消去参数t

（2）椭圆和圆消参：①公式法 ②利用公式sin2cos21 ^o^目的都是为了消去参数

②点到直线的距离公式：已知点P(x0,y0)和直线l:AxByC0，则d4、极坐标与参数方程大题常考公式

①平方关系：sin2cos21

……如果记不住曲线的参数方程，用该公式进行消参

Ax0By0CAB22

题型七：极坐标与参数方程

1、坐标与直角坐标的互相转化：

2x2y2xcos①极坐标化为直角坐标： ②直角坐标化为极坐标：

yysintanx③辅助角公式：f(x)asinxbcosxa2b2sin(x) 其中tanb……用来求点到直线的距离或面积的最大值

a

④弦长公式：（i）已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB(x2x1)2(y2y1)21k2(x1x2)24x1x2

（ii）已知A，B两点对应的极径分别为1，2，则AB12(12)2412

注：若点P的直角坐标为(x，y)，则极坐标为(，)

2、参数方程

（iii）已知A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则ABt1t2(t1t2)24t1t2

⑤韦达定理：x1x2bc，x1x2

aa（1）椭圆的参数方程：①普通方程：x2a2xacos ②参数方程： 其中为参数

1b2ybsiny2

☞答题步骤：

①先消参：不论题目给的曲线是极坐标方程还是参数方程，都先化为普通方程（直角坐标方程）；

②写公式：需要用到哪些公式的一定要先写出公式的原始表达式；

③有过程：要有一定的解题过程，适当的文字描述，过程不能太少；

（2）圆的参数方程：①普通方程：(xa)2(yb)2r2 ②参数方程：xarcos 其中为参数

ybrsin（3）过定点P(x0,y0)，倾角为的直线的参数方程为：xx0tcosyy0tsin其中t为参数

第 26 页 共 30 页

其实，兴趣才是最好的老师！☺ 说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！ 贵阳德为教育

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④得结果：写出消参并化简后的曲线方程；

④猜公式：第二问常考公式参考以上第4点。

……先写出题目所给的原始方程，再消参

例28：选修4-4：极坐标系与参数方程

(2017全国Ⅰ卷文)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极1

例27：选修4-4：极坐标系与参数方程

x3cos

ysinxOyC在直角坐标系中，曲线1的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极

sin()424轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．

解：（1）已知曲线C1：

(xx222y13y1

3. ……式子消去再化简后才算消参完成

2xcosx3cos3sinyysin2222由cossin1，得 ……记不住参数方程的情况下可用cossin1消参

cos4．

坐标方程为

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OMOP16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；已知曲线C2：sin(4)42(sincos4cossin4)42

2222sincos)42sincos4222222）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

（

3

点P在线段OM上，且OMOP16

22yx42yx822.

解：（1）已知曲线C1：cos4x4.

设P(x,y)，M(4,y1)，则

（2）设P(3cos,sin)，则 ……解题的技巧在于假设P点的坐标

dAx0By0C223cossin8222sin(23)80x4，kOPkOMy0y104yy1x040x

第 27 页 共 30 页

AB11其实，兴趣才是最好的老师！☺ 说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

24yOMOP42x2y216x42x2y2y416x2(x2y2)216x2x

sin()1323x2y24x(x2)2y24贵阳德为教育

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其实，兴趣才是最好的老师！☺

例29：(2017全国Ⅱ卷文)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x3cos

ysin（θ为参数），直线l的参数方程为xa4ty1t（t为参

数）．

（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．

x3coscosx

解：（1）已知曲线C：ysin3siny ……题目的曲线方程一定要先抄写一遍

2cos2sin21xy21

3. ……记不住公式时，就用cos2sin21消参

xa4tx14tx14(1y)x4y

当a=-1时，直线l:y1tt1y30.

x2

y21联立方程3x223x1252x4y3034x54x630

x212

(25x21)(x3)0x1325y24

y10或225

第 28 页 共 30

即曲线页

C与直线l的交点坐标为(3,0)和(2125,2425).

说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！

（2）设曲线C上的动点为P(3cos,sin)，则 ……利用参数假设动点P的坐标

xa4t 贵阳德为教育

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其实，兴趣才是最好的老师！☺

例30：(2017全国Ⅲ卷理)选修4-4：坐标系与参数方程

x

在直角坐标系xOy中，直线lx2t2m1的参数方程为ykt（t为参数），直线l2的参数方程为m（m为参yk

数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin)20，M为l3与C的交点，

求M的极径.

x2t

解：（1）已知直线l1为yktyk(x2). ……先写出题目所给的直线方程，再消参

x2mmyx2k直线l2为yk

. ……先写出题目所给的直线方程，再消参

设P(x,y)，则

yk(x2)x2x2y24yk

. ……将两直线联立方程得到点P的轨迹方程C

因此，C的普通方程为x2y24.

（2）设点M的极坐标为(,)，则

由（1）知C：x2y24(cos)2(sin)24 ①

l3

又：(cossin)2

联立方程，得

(cos)2(sin)242(cos2sin2)42(cossin)(cossin第 29 页 共 30 页

)4 ②(cossin)22(cossin)222(cossin说明：)22 ③颜色加深的是重点记忆的公式哦！

cossinsincossin21tan1tan2tan13coscostan贵阳德为教育

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第 30 页 共 30 页说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！


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