2023年12月7日发(作者：天一2016数学试卷)

《高等数学》练习测试题库及答案

一．选择题

1 是（ ）

x21A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数

x2.设f(sin)=cosx+1,则f(x)为（ ）

21.函数y=A 2x2－2 B 2－2x2 C 1＋x2 D 1－x2

3．下列数列为单调递增数列的有（ ）

A．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B．2543，，，

2345n1n,n为奇数2n1C．{f(n)},其中f(n)= D. {n}

n2，n为偶数1n4.数列有界是数列收敛的（ ）

A．充分条件 B. 必要条件

C.充要条件 D 既非充分也非必要

5．下列命题正确的是（ ）

A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界

C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛

sin(x21)（ ） 6．limx1x1A.1 B.0 C.2 D.1/2

k7．设lim(1)xe6 则k=( )

xxA.1 B.2 C.6 D.1/6

8.当x1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）

A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 (x-1)

9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（ ）

A.必要条件 B.充分条件

C.充分必要条件 D.无关条件

10、当|x|<1时，y= （ ）

A、是连续的 B、无界函数

C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（ ）

A、 B、e C、-e D、-e-1

12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ）

A、 xarctan1/x B、arctan1/x

C、tan1/x D、cos1/x

13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（ ）

A、f(x)+g(x)在点x0 必不连续

B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有

C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续

D、 在点 x

0必不连续

在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=

（ ）

A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0

C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0

15、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（ ）

A、 B、

C、tan[f(x)] D、f[f(x)]

16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）

A、[0,л] B、（0,л）

C、[-л/4,л/4] D、（-л/4,л/4）

17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（ ）

A、充分条件 B、必要条件

C、充要条件 D、无关条件

18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（ ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件

19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）

A、f(x)=x+1 B、f(x)=x-1

C、f(x)=x2-1 D、f(x)=5x4-4x+1

20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（ ）

A、k=0 B、k=1 C、k=2 D、-1/2

21、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（ ）

A、e B、1/e C、e

D、e

x1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（ ）

A、x-y-1=0 B、x-y+3e-2=0 C、x-y-3e-2=0 D、-x-y+3e-2=0

23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（ ）

A、±1 B、±л/2 C、±(л/2+1)

D、±(л/2-1)

24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a， 则f`(-x0)=（ ）

A、a B、-a C、|a|

D、0

25、设y=㏑ ，则y’|x=0=（ ）

A、-1/2 B、1/2 C、-1 D、0

26、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（ ）

A、-1 B、0 C、1 D、 不存在

27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（ ）

A、0 B、1/ ㏑2 C、1 D、 ㏑2

28、已知y=sinx，则y(10)=（ ）

A、sinx B、cosx C、-sinx D、-cosx

29、已知y=x㏑x，则y(10)=（ ）

A、-1/x B、1/ x C、8.1/x D、 -8.1/x

30、若函数f(x)=xsin|x|，则（ ）

A、f``(0)不存在 B、f``(0)=0 C、f``(0) =∞ D、 f``(0)= л

31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（ ）

9999A、-1 B、0 C、л/2 D、 2

32、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）

A、-1 B、0 C、1 D、 2

33、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的（ ）

A、充分条件 B、必要条件

C、充要条件 D、无关条件

34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x0可微的（ ）

A、充分条件 B、必要条件

C、充要条件 D、无关条件

35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）

A、0 B、-dx C、dx D、 不存在

x136、极限lim()的未定式类型是（ ）

x11xlnx

A、0/0型 B、∞/∞型 C、∞ -∞ D、∞型

sinxx2)的未定式类型是（ ） 37、极限

lim(xx01A、00型 B、0/0型 C、1型 D、∞0型

∞x2sin38、极限

limx0sinx1x=（ ）

A、0 B、1 C、2 D、不存在

39、xx0时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx0 的（ ）

A、（n+1）阶无穷小 B、n阶无穷小

C、同阶无穷小 D、高阶无穷小

40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）

A、唯一的零点 B、至少存在有一个零点

C、没有零点 D、不能确定有无零点 41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）

A、2 B、1/2 C、1 D、0

42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（ ）

A、0 B、1/2 C、1 D、2

43、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（ ）

A、一个 B、两个 C、无穷多个 D、都不对

44、若∫f(x)dx=2ex/2+C=（ ）

A、2ex/2

B、4 ex/2

C、ex/2

+C D、ex/2

45、∫xe-dx =（ D ）

A、xe- -e- +C B、-xe-+e- +C

C、xe- +e- +C D、-xe- -e- +C

46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)dx（ ）

A、不含有对数函数 B、含有反三角函数

C、一定是初等函数 D、一定是有理函数

47、∫-1|3x+1|dx=（ ）

A、5/6 B、1/2 C、-1/2 D、1

48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（ ）

A、л B、2л C、4л D、6л

49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ ）

A、л B、6л/15 C、16л/15 D、32л/15

50、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ ）

A、 B、2 C、31/2 D、 21/2

51、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ ）

A、Z=4 B、Z=0 C、Z=-2 D、x=2

52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（ ）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、两相交直线

53、方程=0所表示的图形为（ ）

0xxxxxxxxx-nA、原点（0，0，0） B、三坐标轴

C、三坐标轴 D、曲面，但不可能为平面

54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）

A、X轴 B、Y轴 C、Z轴 D、任一条直线

55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（ ）

A、双叶双曲面 B、单叶双曲面 C、椭圆抛物面 D、圆锥曲面

56下列命题正确的是（ ）

A、发散数列必无界 B、两无界数列之和必无界

C、两发散数列之和必发散 D、两收敛数列之和必收敛

57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（ ）

A、.必要条件 B、充分条件

C、充分必要条件 D、无关条件

58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）

A、[0,л] B、（0,л）

C、[-л/4,л/4] D、（-л/4,л/4）

59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）

A、f(x)=x+1 B、f(x)=x-1

C、f(x)=x2-1 D、f(x)=5x4-4x+1

60设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（ ）

A、-1 B、0 C、1 D、 不存在

二、填空题

1、求极限lim (x2+2x+5)/(x2+1)=（ ）

x12、求极限

lim [(x-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）

x033、求极限limx-2/(x+2)1/2=（ ）

x24、求极限lim [x/(x+1)]=（ ）

xx5、求极限lim (1-x)= （ ）

x01/x6、已知y=sinx-cosx，求y`|x=л/6=（ ） 7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ|

ψ=л/6=（ ）

8、已知f(x)=3/5x+x2/5，求f`(0)=（ ）

9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（ ）

10、函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（ ）

11、函数y=2x3极小值与极大值分别是（ ）

12、函数y=x2-2x-1的最小值为（ ）

13、函数y=2x-5x2的最大值为（ ）

14、函数f(x)=x2e-x在[-1,1]上的最小值为（ ）

15、点（0，1）是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有b=（16、∫xx1/2dx= （ ）

17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ）

18、若∫f(x)dx=x2e2x+c，则f(x)= ( )

19、d/dx∫baarctantdt=（ ）

20、已知函数f(x)=1t2x2x0(e1)dt,x0 在点x=0连续，a,x021、∫220(x+1/x4)dx=（ ）

22、∫94 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）

23、∫031/2a dx/(a2+x2)=（ ）

24、∫10 dx/(4-x2)1/2=（ ）

25、∫лл/3sin(л/3+x)dx=（ ）

26、∫94 x1/2(1+x1/2)dx=( )

27、∫94 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）

28、∫94 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）

29、∫94 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）

30、∫94 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）

） c=（则a=（ ） ）

31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）

32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）

33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为 ( )

34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（ ）

35、函数Y=|sinx|的周期是 （ ）

36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是 （ ）

37、 y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是 （ ）

38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为 （ ）

39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为 （ ）

40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是

（ ）

41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（ ）

42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是 ( )

43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是 （ ）

44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是 （ ）

45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（ ）

46求极限lim [x/(x+1)]x=（ ）

x47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（ ）

48∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）

49y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是 （ ）

50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（ ）

三、解答题

1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

2、求函数y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。

3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。 5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。

6、求y=ex，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。

7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。

11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。

12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。

13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面积。9/4

14、求对数螺线r=ea及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。

15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。

16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。

18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。

19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。

20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。

21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。

22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a＞0)旋转所得旋转体体积。

23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。

25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。

26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。

27、求对数螺线r=ea自θ=0到θ=ψ的一段弧长。

28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。

29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。

30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。

θθ31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点。

32、设U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。

33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。

34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。

35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。

38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。

39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。

40、求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。

41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方程。

43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。

44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

45、求过两点M（3，-2，1）和M（-1，0，2）的直线方程。

46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。

47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。

48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

49、求点P（3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。

51求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

52求y=ex，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。

53求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积

54求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。

四、证明题 1．证明不等式：21111x4dx8

31dx2．证明不等式2,(n2)

201xn63．设f(x)，g(x)区间a,a(a0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件

f(x)f(x)A(A为常数)。证明：aaf(x)g(x)dxAg(x)dx

0a4．设n为正整数，证明

201cosxsinxdxn2nn20cosnxdx

5．设(t)是正值连续函数，f(x)xt(t)dt,axa(a0),则曲线aayf(x)在a,a上是凹的。

dxdxx6.证明：11x2

x1x2117．设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则

aTaf(x)dxf(x)dx

0T

8．若f(x)是连续函数，则

9．设f(x)，g(x)在a,b上连续，证明至少存在一个(a,b)使得

f()g(x)dxg()f(x)dx

abx0uf(t)dtdux(xu)f(u)du

00

bb10．设f(x)在a,b上连续，证明：f(x)dx(ba)f2(x)dx

aa2

11．设f(x)在a,b上可导，且f(x)M，f(a)0证明：

baf(x)dxM(ba)2

2《高等数学》练习测试题库参考答案

一． 选择题

1——10 ABABD CCDAA

11——20 ABABB CAADC

21——30 DCDAA BCCCA

31——40 BABDD CCAAD

41——50

51——55

56------60

二． 填空题

1．2

2．3/4

3．0

4．e-1

5．e-1

6．(31/2+1)/2

7．24（1+2）8．9/25

9．2-1或1-2

10．2

11．-1，0

12．-2

13．1/5

14．0

15．0，1

16. C＋ 2 x3/2/517. F(x)＋C

18. 2xe2x(1+x)

19.0

20.0

21.21/8

22.271/6

23.

/3a

24.

/6

25.0

26. 2(31/2-1)

27.

/2

ABCDD

DDCCA

DACDC

CACCA

28. 2/3

29. 4/3

30. 21/2

31. 0

32. 3/2

33. (1,3)

34. 14

35.

36. 7/6

37. 32/3

38. 8a

39. 等腰直角

40. 4x+4y+10z-63=0

41. 3x-7y+5z-4=0

42. (1,-1,3)

43. y+5=0

44. x+3y=0

45. 9x-2y-2=0

46. e-1

47.2

48. 21/2

49. 7/6

50. 3x-7y+5z-4=0

三． 解答题

1. 当X=1/5时，有最大值1/5

2. X=-3时，函数有最小值27

3. R=1/2

4. 在点(2ln2,-)处曲率半径有最小值3×31/2/2

225. 7/6

6. e+1/e-2

7. x-3y-2z=0

8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5

9. （-5/3，2/3，2/3）

10. 2(21/2-1)

11. 32/3

12. 4×21/2/3

13. 9/4

a22214.(a-e)

415. e/2

16. 8a2/3

17. 3л/10

18.a242aa2(e2e2)

19. 160л2

20. 2л2 a2b

21.1663

22. 7л2 a3

23. 1+1/2㏑3/2

24.23-4/3

25.8395212

2y2pyp2y22p2lnp27.1a2aea

3/2+5/12

29. 8a

30. 5×21/2

31. （0，1，-2）

32. 5a-11b+7c

33. 4x+4y+10z-63=0

34. y2+z2=5x

35. x+y2+z2=9

36. x轴： 4x2-9(y2+z2)=36

37. x2+y2(1-x)2=9 z=0

38. x2+y2+(1-x)2≤9 z=0

39. 3x-7y+5z-4=0

40. 2x+9y-6z-121=0

41. x-3y-2z=0

42. x+y-3z-4=0

43.

133

y轴：4(x2+z2)-9y2=36

x4y1z3==

215x3y2z145. ==

124y2z4x46. ==

31247. 8x-9y-22z-59=0

48. (-5/3,2/3,2/3)

44.

49.

32

250.

17x31y37z1170

4xyz1051. R=1/2

52. e+1/e-2

53. 4×21/2/3

54. 3л/10

四．证明题

1．证明不等式：2111x4dx8

3证明：令f(x)1x4,x1,1

则f(x)4x321x42x31x4，

令f(x)0,得x=0

f(-1)=f(1)=2,f(0)=1

则1f(x)2

上式两边对x在1,1上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有f(x)1x412x2x4(1x2)21x2,于是

11dx1x4dx(1x2)dx,故

11112

111x4dx8

31dx2．证明不等式2,(n2)

201xn611证明：显然当x0,时，（n>2）有

21111dxdx122arcsinx2

0201xn1xn1x21x206111dx即，2,(n2)

201xn6

3．设f(x)，g(x)区间a,a(a0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件

f(x)f(x)A(A为常数)。证明： 证明：1aaf(x)g(x)dxAg(x)dx

0aaaaf(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx

a00

0af(x)g(x)dx令xuf(u)g(u)duf(x)g(x)dx

a00af(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)f(x)g(x)dxAg(x)dxa0000aaaaa

14．设n为正整数，证明2cosxsinxdxn02nn20cosnxdx

证明：令t=2x,有

20cosxsinxdxnn12n120(sin2x)d2xn12n10sinntdt

12nn

n1sintdtsintdt,

202 又，sintdttusin(u)du2sinnudu，

220n0n所以，20cosxsinxdx2nn12n1n20(sintdt200n1sintdt)n2n201sintdtn2n2sinnxdx

又，sinxdxxn20tcostdt2cosnxdx

21因此，2cosxsinxdxn02nn20cosnxdx

aa5．设(t)是正值连续函数，f(x)xt(t)dt,axa(a0),则曲线yf(x)在a,a上是凹的。

证明：f(x)xaxa(xt)(t)dt(tx)(t)dt

xxxaaaxa

x(t)dtt(t)dtt(t)dtx(t)dt

f(x)(t)dt(t)dt(t)dt(t)dt

axaaxaxx

f(x)(x)(x)2(x)0

故，曲线yf(x)在a,a上是凹的。

dxdxx6.证明：11x2

x1x211dx证明：x1x21令x1u1dudxxx•(du)1x111u211x2

u212u11117．设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则

证明：

aTaf(x)dxf(x)dx

0TaTTaf(x)dxT令xuTa0f(uT)duf(xT)dx0af(x)以T为周期af(xT)f(x)0f(x)dx

0f(x)dxaTf(x)dx0

aTa在等式两端各加T0f(x)dx，于是得xf(x)dxf(x)dx

0T

8．若f(x)是连续函数，则0uf(t)dtdux(xu)f(u)du

00xuuxx证明：f(t)dtduuf(t)dtuf(u)du

00000

xf(t)dtuf(u)du

00xx

(xu)f(u)du

0x

9．设f(x)，g(x)在a,b上连续，证明至少存在一个(a,b)使得

f()g(x)dxg()f(x)dx

ab证明：作辅助函数F(x)f(t)dtg(t)dt，由于f(x),g(x)在a,b上连续，所以axxbF(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，并有F(a)F(b)0 由洛尔定理F()0,(a,b)

xb即f(t)dtg(t)dtxaxxbxf(x)g(t)dtf(t)dt•g(x)xabx

f()g(x)dxg()f(x)dx

a ＝0

亦即，f()g(x)dxg()f(x)dx

ab

bb210．设f(x)在a,b上连续，证明：af(x)dx(ba)af(x)dx

2xx 证明：令F(x)f(t)dt(xa)f2(t)dt

aa2

F(x)f(t)f(x)dt0

2ax 故f(x)是

a,b上的减函数，又F(a)0，F(b)F(a)0

bb故

f(x)dx(ba)f2(x)dx

aa2

11．设f(x)在a,b上可导，且f(x)M，f(a)0证明：

baf(x)dxM(ba)2

2 证明：由题设对xa,b,可知f(x)在a,b上满足拉氏微分中值定理，于是有

f(x)f(x)f(a)f()(xa),a,x

又f(x)M，因而，f(x)M(xa)

由定积分比较定理，有

baf(x)dxM(xa)dxabM(ba)2

2


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