2024年3月18日发(作者：2024高考数学试卷新高考二卷)

3.1.2复数的概念

教学设计

§3.1.1数系的扩充和复数的概念

教学目标：

1.知识与技能：理解并掌握虚数单位

i

；理解复数的基本概念及复数相等的充要条件；

2.过程与方法：在问题情境中了解数系的扩充过程及引入复数的必要性；

3.情感、态度与价值观：通过数系的扩充过程体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩

充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

教学重点：虚数单位

i

、复数及其相关概念、复数的分类(实数、虚数、纯虚数)、复数相等

的充要条件。

教学难点：虚数单位

i

的引进及复数概念的理解。

教学过程：

一、创设情景：方程

x10

在实数集中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你

能设想一种方法，使得这个方程有解吗？

（意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的

大致方向）

二、探究新知：

1.学生回顾从自然数系到实数系的扩充过程：

（教师可以通过提问的方式帮助学生回顾数系的扩充过程）

（意图：使学生能够通过从自然数系到实数系的扩充过程体会体会实际需求与数学内部

的矛盾在数系扩充中的作用。）

2.学生探究，引入虚数单位

i

：

2

问题1：类比引进

2

就可以解决方程

x20

在有理数集中无解的问题，怎么解决方程

2

x

2

10

在实数集中无解的问题？

（意图：通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始，引导学生引入虚数单位

i

）

3.对虚数单位

i

的理解：

（1）虚数单位

i

的平方等于-1，即

i1

；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

（3）

i

的周期性：

i

4.复数的引入：

问题2：把实数和新引入的虚数单位

i

像实数那样进行加法、乘法运算，并希望运算时

有关的加法、乘法算律仍然成立，你能得到怎样的数？

（意图：1.使学生感受为什么把集合

abi|a,bR

作为实数集扩充后的新数集）

（方法：由学生自己动手试做，然后讨论，最后统一认识）

（1）定义：把集合

C

abi|a,bR

中的数，即形如

abi(a,bR)

的数叫复数，

其中

i

叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集，用字母

C

表示。

（2）复数的代数形式: 复数通常用字母

z

表示，即

zabi(a,bR)

，这一表示形

式叫做复数的代数形式。其中

a

叫复数的实部，

b

叫复数的虚部。

练习：请说出复数

27

，

3i

，

392i

，

i

13

，

i

2

的实部和虚部。

2i1

，

5. 两个复数相等的充要条件：

问题3:你认为应该怎样定义两个复数相等？（由学生自己理解，试着给出定义）

（1）定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等

2

4n1

i

,

i

4n2

1

,

i

4n3

i

,

i

4n

1(nZ)



（2）充要条件：如果

a,b,c,dR

，那么

abicdiac且bd

（复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只

能说相等或不相等，而不能比较大小.如

35i

与

43i

不能比较大小。）

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，

就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

6.复数集

C

与实数集

R

的关系：

问题4：复数

zabi(a,bR)

在什么条件下是实数？

（意图：引出复数分类，并搞清复数集与实数集关系，）

（1）复数分类：对于复数

abi(a,bR)

，当且仅当

b0

时，复数

abi(a,bR)

是

实数；当

b0

时，复数

zabi(a,bR)

叫做虚数；当

a0

且

b0


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