高中数学椭圆的经典知识总结

2023年12月20日发(作者：往年职中数学试卷)

高中数学椭圆的经典知识总结

椭圆知识点总结

1.椭圆的定义：1,2

x2y2〔1椭圆：焦点在x轴上时221〔a2b2c2xacos〔参数方程,其中为参数,ybsinaby2x2焦点在y轴上时22＝1〔ab0。方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠ab0,且A,B,C同号,A≠B。

2. 椭圆的几何性质：

x2y2〔1椭圆〔以221〔ab0为例：①范围：axa,byb；②焦点：两个焦点ab(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0,一个对称中心〔0,0,四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴a2c长为2a,短轴长为2b；④准线：两条准线x；⑤离心率：e,椭圆0e1,e越小,ca2b2椭圆越圆；e越大,椭圆越扁。⑥通径

a22x0y02.点与椭圆的位置关系：〔1点P(x0,y0)在椭圆外221；

ab22x0y0〔2点P(x0,y0)在椭圆上22＝1；

ab22x0y0〔3点P(x0,y0)在椭圆内221

ab3．直线与圆锥曲线的位置关系：

〔1相交：0直线与椭圆相交；〔2相切：0直线与椭圆相切； 〔3相离：0直线与椭圆相离；

x2y21恒有公共点,则m的取值范围是_______如:直线y―kx―1=0与椭圆〔答：[1,5∪〔5,+5m∞；

4、焦半径〔圆锥曲线上的点P到焦点F的距离的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径redaex0,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

如〔1已知椭圆xy1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____〔答：22251610/3；

x2y2〔2椭圆1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使MP2MF之值最小,则4326点M的坐标为_______〔答：(,1)；

35、焦点三角形〔椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题：Sb2tan2c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc；

6、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则B的纵坐标,则AB＝1AB＝1k2x1x2,若y1,y2分别为A、1y1y2,若弦AB所在直线方2k程设为xkyb,则AB＝1k2y1y2。特别地,焦点弦〔过焦点的弦：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用\"韦达定理\"或\"点差法\"求解。在椭圆1 / 6

b2x0x2y221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；

2abay0x2y21弦被点〔如〔1如果椭圆A4,2平分,那么这条弦所在的直线方程是〔答：x2y80；369x2y2〔2已知直线y=－x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L：xab2x2y2－2y=0上,则此椭圆的离心率为_______〔答：；〔3试确定m的取值范围,使得椭圆1上243213213有不同的两点关于直线y4xm对称〔答：13,13；

特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0！

椭圆知识点

1．如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义

椭圆标准方程中,a,b,c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为：(ab0),(ac0),且(abc)。

可借助右图理解记忆：

显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c边。

为两条直角2223．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是：看x,y小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程AxByC(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件

22 椭圆的22的分母的大Ax2By2x2By21,即1,所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表方程AxByC可化为CCCCAB22示椭圆。当CCCC时,椭圆的焦点在x轴上；当时,椭圆的焦点在y轴上。

ABAB5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是\"先定型,再定量\"；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。

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x2y26．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,则c相同。与椭圆221(ab0)共焦点的椭圆方abx2y221(mb2),此类问题常用待定系数法求解。

程可设为2ambm7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：① 若把曲线方程中的x换成x,方程不变,则曲线关于y轴对称；

② 若把曲线方程中的y换成y,方程不变,则曲线关于x轴对称；

③ 若把曲线方程中的x、y同时换成x、y,方程不变,则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF1F2〔P为椭圆上的点有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理〔或勾股定理、三角形面积公式SPF1F21PF1PF2sinF1PF2相结合的方法进行计算解题。

2将有关线段PF1、PF2、F1F2,有关角F1PF2 <F1PF2F1BF2>结合起来,建立PF1PF2、PF1PF2之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率ec(0e1),因为c2a2b2,ac0,ab2用a、b表示为e1()(0e1)。

a显然：当圆。

bb越小时,e(0e1)越大,椭圆形状越扁；当越大,e(0e1)越小,椭圆形状越趋近于aa椭 圆

题型1:椭圆定义的运用

例1、已知F1,F2为椭圆x2y21的两个焦点,过F1的直线交椭圆于259A、B两点若F2AF2B12,则AB______。

例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球〔小球的半径不计,从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是

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例3、如果方程xky2表示焦点在x轴的椭圆,那么实数k的取值范围是____________.

21和圆x3y4上的点,2222x2y2x3y2M,N1上的一点,例4、已知P为椭圆分别为圆2516则PMPN的最小值为

题型2： 求椭圆的标准方程

例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)经过两点A(3,2)、B(23,1)；

229x4y36具有共同的焦点. <2>经过点<2,－3>且与椭圆〔3一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4.

题型3:求椭圆的离心率〔或范围

例1、ABC中,．A300,AB2,SABC3若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则椭圆的离心率为.

例2、过椭圆的一个焦点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P,若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为

题型4:椭圆的其他几何性质的运用〔范围、对称性等

x2y21,则x2y2x的范围为

例1、已知实数x,y满足42x2y2例2、已知P是椭圆221上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求PF1PF2的最大值与最小值

abx2y2例3、已知点A,B是椭圆221〔m0,n0上两点,且AOBO,则=

mnx2y21的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于例4、如上图,把椭圆2516F是椭圆的一个焦点,则P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,题型5：焦点三角形问题

PFP2FP13FP4FP5FP6FP7F_____

x2y21的两个焦点,p为椭圆上的一点,已知P,F1,F2为一个直角三角形的三个顶点,例1、已知F1,F2为椭圆94且PF1PF2,求PF1的值；

PF2x2y21的两个焦点,在C上满足PF1PF2的点的个数为

例2、已知F1,F2为椭圆C:84x2y21的两个焦点,p为椭圆上的一点,当F1PF2为钝角时,点P横坐标的取值范围为

例3、若F1,F2为椭圆944 / 6

例4、已知椭圆的焦点是F1(0,1),F2(0,1),且经过点〔1,3① 求椭圆的方程; ② 设点P在椭圆上,且2PF1PF21,求cosF1PF2.

题型6: 三角代换的应用

x2y21上的点到直线l:xy90的距离的最小值为___________．

例1、椭圆169x2y21的内接矩形的面积的最大值为

例2、椭圆169题型7：直线与椭圆的位置关系的判断

x2y21相交？相切？相离？

例1、当m为何值时,直线yxm与椭圆169x2y21恒有公共点,求实数m的取值范围； 例2、若直线ykx1(kR)与椭圆5m题型8：弦长问题

4x2y21所截得的弦长.

例3．求直线y2x4被椭圆99x2y21的左右焦点分别为F1,F2,若过点P〔0,-2及F1的直线交椭圆于A,B两点,求⊿ABF2的例4、已知椭圆2面积；

题型9：中点弦问题

x2y21内的点A〔2,-1为中点的弦所在的直线方程。

例5、求以椭圆85例6、中心在原点,一个焦点为F1(0,50)的椭圆截直线y3x2 所得弦的中点横坐标为例7、椭圆mxny1 ,与直线xy1 相交于221,求椭圆的方程．

2 、 两点, 是 的中点．若AB22 ,斜率为2 〔O为原点,求椭圆的方程．

2题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

例6、设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP2PA,且OQAB1,求P点的轨迹方程;

15. 如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=2。一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|2的值不变,直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

〔1建立适当的坐标系,求曲线E的方程；

〔2设直线l的斜率为k,若∠MBN为钝角,求k的取值范围。

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基础巩固训练

1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线AB1与BF交于D,且BDB1,则椭圆的离心率为

x2y21的两焦点,P在椭圆上,当F1PF2面积为1时,PF1PF22.设F1,F2为椭圆4的值为

x2y21的一条弦被A4,2平分,那么这条弦所在的直线方程是

3.椭圆3694.在△ABC中,A90,tanB3．若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e

45. 若F1,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若PF1F2:PF2F1:F1PF21:2:3, 则此椭圆的离心率为

x2y2a2a6.在平面直角坐标系中,椭圆221(ab0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点(,0)作圆的abc两切线互相垂直,则离心率e= ．

综合提高训练

x2y27、已知椭圆221(ab0)与过点A<2,0>,B<0,1>的直线l有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率abe3．求椭圆方程；

2x2y228.已知A、B分别是椭圆221(ab0)的左右两个焦点,O为坐标原点,点P1,在椭圆上,线段PBab2与y轴的交点M为线段PB的中点。

〔1求椭圆的标准方程； 〔2点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求sinAsinB的值。

sinC9.已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy.

<Ⅰ>求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;

<Ⅱ>过点P<0,2>的直线l交<Ⅰ>中椭圆于M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,y

l求出直线的方程;若不存在,说明理由.

D

C

A O

图8

B

x

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