2022初中数学联赛试题

2024年3月11日发(作者：宝鸡中学高一数学试卷)

2022初中数学联赛试题

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1.若,,abc均为整数且满足1010

()()1abac-+-=，则||||||abbcca-+-+-=（B）

A．1.

B．2.

C．3.

D．4.

2．若实数,,abc

满足等式3||6b=

，9||6bc=，则c可能取的最大值为（C）

A．0.

B．1.

C．2.

D．3.3．若ba,是两个正数，且

,0111=+-+-a

bba则（C）A．103ab

c+++=的根，则2abc+-的值为（A）

A．－13.

B．－9.

C．6.

D．0.

5．在△ABC中，已知=∠60CAB，D，E分别是边AB，AC上的点，且

=∠60AED，CEDBED=+，CDECDB∠=∠2,则=∠DCB(B)

A．15°.

B．20°.

C．25°.

D．30°.

6．对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2022202211a=+++=，

202220223a=+++=，则aaaaa+++++=（D）

A．28062.

B．28065.

C．28067.

D．28068.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数,某y满足方程组3319,1,

某y某y+=+=则22某y+=13.

2．二次函数cb某某y++=2的图象与某轴正方向交于A，B两点，与

y轴正方向交于点C．已知ACAB3=，

=∠30CAO，则c=19

．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA

PC＝5，则PB＝

．

4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要

出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这

种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.

第二试

一．（本题满分20分）设整数,,abc（abc≥≥）为三角形的三边长，满

足222

13abcabacbc++---=，

求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解由已知等式可得222()()()26abbcac-+-+-=①

令,abmbcn-=-=，则acmn-=+，其中,mn均为自然数.

于是，等式①变为222

()26mnmn+++=，即2213mnmn++=②

由于,mn均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,mn只有两组：3,1

mn==和1,==（1）当3,1mn==时，1bc=+，34abc=+=+.又,,abc为三角

形的三边长，所以bca+>，即(1)4ccc++>+，解得3c>.又因为三角形的周

长不超过30，即(4)(1)30abcccc++=++++≤，解得253c≤.因此2533

c，即(3)4ccc++>+，解得1c>.又因为三角形的周长不超过30，即

(4)(3)30abcccc++=++++≤，解得233c≤.因此2313

c

二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平

分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作

MD//AC，交⊙I于点D.证明：

PD是⊙I的切线.证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，

交

BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、

PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，

所以∠PAC＝∠PNC.

由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以

MQ//AC.

又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.

又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.

三．（本题满分25分）已知二次函数2

y某b某c=+-的图象经过两点P(1,)a，Q(2,10)a.

（1）如果,,abc都是整数，且8cba<

（2）设二次函数2y某b某c=+-的图象与某轴的交点为A、B，与y

轴的交点为C.如果关于某的方程20某b某c+-=的两个根都是整数，求

△ABC的面积.

解点P(1,)a、Q(2,10)a在二次函数2