2024年1月17日发(作者：崇左小学数学试卷答案高一)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1、答题前，先将自己的XX、XX号填写在试题卷和答题卡上，并将XX号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A{xx24x30}，B{x2x30}，则AB

（A）(3,)（B）(3,)（C）(1,)（D）(,3)

（2）设(1i)x1yi，其中x,y是实数，则xyi

（A）1（B）2（C）3（D）2

（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a108，则a100

（A）100（B）99（C）98（D）97

（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

32323232.

（A）（B）13123（C）（D）

234x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则（5）已知方程2mn3m2nn的

取值范围是

（A）(1,3)（B）(1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆与每个圆中

两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是表面积是

（A）17（B）18（C）20（D）28

（7）函数y2x2e在[2,2]的图像大致为

（A）（B）

（C）

2yyx28，则它的

31O12x2O2xyy1x（D）

21O

O22

（8）若ab1，0c1，则

2x（A）acbc（B）abcbac（C）alogbcblogac（D）logaclogbc

（9）执行右面的程序框图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x,y的值满足

（A）y2x（B）y3x（C）y4x（D）y5x

（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点，已知AB42,DE25，则C的焦点到准线的距离为

（A）2（B）4（C）6（D）8

平面ABCD （11）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，m，平面ABB1A1n，则m,n所成角的正弦值为

.

（A）3321（B）（C）（D）

2323（12）已知函数f(x)sin(x)(0,2)，x4为f(x)的零点，x4为

5yf(x)图像的对称轴，且f(x)在(,)单调，则的最大值为

1836（A）11（B）9（C）7（D）5

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m．

（14）(2xx)5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）

（15）设等比数列{an}满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为．

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2cosC(acosBbcosA)c．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c7，ABC的面积为33，求ABC的周长．

2

（18）（本小题满分12分）

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面

DCABEF为正方形，AF2FD,AFD90，且二面

角DAFE与二面角CBEF都是60．

（Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC；

.

EBAF

（Ⅱ）求二面角EBCA的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

频数

40

20

0891011更换的易损零件数

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

（20）（本小题满分12分）

设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

.

已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22．

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，OAB是等腰三角形，AOB120．以O为圆心，

1OA为半径作圆．

2（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，

证明：AB//CD．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

ADOCBxacost, 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)．在以y1asint,坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:4cos．

（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)x12x3．

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出yf(x)的图像；

（Ⅱ）求不等式f(x)1的解集．

.

y1O1x

数学答案

17、正确答案（评分标准与答案仅供参考）（12分）

解：(1) ∵ ab+b=nb ∴ n=1时 a1·b+b=b1

nn+1n+1n22∴ a1·

列

∴ a1=2 由已知{a}乘以2为首项，公差3的等差数n∴ a=a+(n-1)·d=2+3(n-1) ∴ an=3n-1

n1(2)由①知代入

中∴ (3n-1)b+b=nb

n+1n+1n ∴ (3n-1)bn+1+bn+1=nbn ∴ b=

n+1 (n∈n*)

∴ 设{b}构成以1为首项，公比为 的等比数列

n∴ 设{b}前n项和Sn，则Snn

18、正确答案（评分标准与答案仅供参考）（12分）

(1)证明

∵ PD 面ABC ∴ PDAB

∵ DE面PAB ∴ DEAB

又∵ PDDE ∴ AB平面PGD ∴ PGAB

∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点

.

(2）正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形

∴PAPB,PBPC,PCPA,∴ PB平面PAC

作EF//PB交PA于F 则EF面PAC ∴ F为E在平面PAC内正投影

正三棱锥P-ABC中，D 为三角形ABC的重心，PA=6 ∴ AB=∴DG=PG=∴PD=

中由摄影定理PD=PEPG ∴ PE=∵ 为等腰三角形，EFPA ∴EF=PF= D-PEF的高为DE.

RtPGD中 DE==2

∴四面体PDEF体积

19、（12分）

正确答案（评分标准与答案仅供参考）

解：当n=19时 x≤19 y=19×200=3800元

（1）x>19时 y=19×200+(x-19)·500=500x-5700(元)·

∵ y=

(2)由柱状图知，更换16个频率0.06；更换17件频率为0.16.

.

更换18件频率为0.24，更换19件频率为0.24 ∴ 更换易损零件不大于n〃的频率为不小于0.5的.则n≥19

∴ n的最小值为19件

(3)若每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为

=4000（元）

若每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为

=4050（元） 4000<4050

∴ 购买1台机器的同时应购买19台易损零件.

20、（12分）

正确答案（评分标准与答案仅供参考）

解：将直线l与抛物线联立∴ 解得

(1) ∵ M关于P的对称点为N ∴

∴ ON直线斜率则H点坐标∴解答 ∴ ON方程 ∴ ∴

即

∴(2)由①知=2

∴ MH直线程

.

与抛物线联立即y2-4ty=4t2

∴ 得

∴直线MH与抛物相切

∴ 直线MH与曲线C除点H外没有其它公共点

21、（12分）

正确答案（评分标准与答案仅供参考）

II）解：由①知

若a≥0 f(x)在(-∞,1)减，（1，+∞）增，且f(1)=-e<0.

x→+∞时，f(x) →+∞，x→-∞时，f(x)→+∞

∴一定有2个零点；

若a<- 时，f(x) 在（-∞，1）内递增，（1，ln(-2a)）内递减，（ln(-2a),+

∞）递增

且f(1)=-e<0 f(x)只有一个零点；

若a=- 时 f(x)在R上递增，则f(x)只有一个零点；

若0>a>时，f(x)在（-∞，ln(-2a)）增，（ln(-2a),1）减，（1，+∞）增

∵f(1)=-e<0 x→+∞时，f(x)→+∞，x→-∞时f(x) →-∞

∴f(x)在（1，+∞）内只有一个零点，f(x)若恰有2个零点，只能使f(ln(-2a)=0

而[ln(-2a)-2]·(-2a)+a[ln(-2a)-1]2=0

.

即须4-ln(-2a)+[ln(-2a)-1]2=0* ∵

∴4-ln(-2a)>0,[ln(-2a)-1]2>0 ∴*不可能为0

综上f(x)有2个零点 a的范围为[0,+ ∞]

22、（10分） 三选一

22.（1）取AB中点P，∵∴OP⊥AB

∵∠AOB=120°

∴∠AOP=∠BOP=60°

∴OP=OA=r

所以AB与⊙O相切

是等腰三角形

（2）设CD 中点为Q,四边形ABCD 外接圆圆心为O\'

连结 OC,OD,O\' C,O\' D.

由OC=OD 知OQ⊥CD

由O\'C=O\'D,知O\'Q⊥CD

∴O\',O,D三点共线

同理O,O\',P三点共线

.

∴Q.O,O\',P四点共线

即PQ过点O,且PQ⊥AB,PQ⊥CD

∴AB//CD

23.（1）1（t为参数） 消参后得

∴曲线C表示以（0，1）为圆心，半径为a的圆.

曲线 C为：1化为极坐标方程为：

（2）曲线 C化为普通方程：2

即12

①曲线方程为①-②得∵曲线

②曲线 C与C的公共弦所在直线即

∴曲线C的直角坐标方程3∴，∴a＞0，a=1.

24. （Ⅰ）令x+1=0，2x-3=0 ∴x=-12；∴f(x)=作出草图

.

（Ⅱ）令得（3,1） 得（1 ，1）

得（，1）

得（5 ，1）

由图像知 丨f（x）＞1丨的解集（1

3）∪（—

.

）∪（5，+ ）

， ，


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