三维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法

2024年2月5日发(作者：数学试卷讲评评课稿)

第37卷第1期

(202丨年1月）福建师范大学学报（自然科学版）Journal of Fujian Normal University (Natural Science Edition)Vol. 37，No. 1

Jan. 2021DOI： 10. 12046/j. issn. 1000-5277. 2021. 01. 005

文章编号：1000-5277(2021)01-0041-08三维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法吴宇航，沈建和(福建师范大学数学与信息学院，福建福州350117)摘要：通过定义三维空间中的奇异按点、奇异稳定（不稳定）结点和奇异鞍结点，并基于隐函数定理

和线性化技巧等，证明了具有两个快变量和一个慢变量的三维奇异摄动系统的奇异平衡点在摄动之后保持

为该系统的鞍点和结点.最后，将该理论直接应用于Bazykin糢型平衡点类型和局部稳定性的的判断.关键词：奇异摄动系统；奇异鞍点；奇异结点；奇异鞍结点

中图分类号：0174.52

文献标志码：AA Slow-fast Approach for Analyzing Equilibria in

Three-dimensional Singularly Perturbed SystemsWU Yuhang, SHEN Jianhe{College of Mathematics and Informatics, Fujian formal University y Fuzhou 350117, China)Abstract

：

By defining singular saddle, singular stable

(unstable)

nodes and singular saddle-

node in the three-dimensional space, and based on the implicit function theorem as well as linear­ization technique, it is proved that the singular equilibria mentioned above of a three-dimensional

singularly perturbed system with two fast and one slow variables remain as the saddles and nodes of

the full system after perturbation. Finally, the theory is applied to judge the types and local stability

of the equilibria of the Bazykin words：

singular perturbation system；singular saddle；singular nodes;singular saddle-node奇异摄动系统的特点是其动力学在不同的尺度上演化.这类系统大量来自于生物学、化学和神经

生理学等领域奇异摄动系统的平衡点类型及其在临界流形上的位置，对于行波解、鸭振动和张

弛振荡等的产生有重要的影响.这可见Wang等[4]关于带广义Holling-DI功能响应的捕食和食饵模型鸭

解、同异宿轨和环性方面的工作，以及Zhou等[5]关于Bazykin模型具有扩散效应的分支研究.对于高

维奇异摄动系统，要判断其平衡点的类型已不存在理论上的困难.但是否可利用奇异摄动系统的多尺

度特征进行快慢分离、降维从而降低平衡点类型判断时的计算量？对于二维奇异摄动系统，Kuznetsov

等[6i通过快慢分离，证明了奇异鞍点经摄动后变为鞍点，Shen[7]证明了奇异结点、奇异鞍点和奇异

同宿环的保持性.对于具有两个快变量和一个慢变量的三维奇异摄动系统，是否可用快慢方法，迅速判断其平衡点

的类型和局部稳定性.考虑如下三维奇异摄动系统dxdtdy~dtdz~dt收稿日期：2020-09-01基金项目：国家自然科学基金面上项目（11771082)通信作者：沈建和（1980-)，男，教授，研究方向为应用微分方程.***************.cnf(x, y, z, A, s),g(x, y, z, A, e) , ( 1)e h(x, y, z,入，s).

42福建师范大学学报（自然科学版)2021 年系统（1)为快系统，这里U,

y,

2)

E

R3,其中X, 7为快变量，Z为慢变量，A

e

R4为系统的参

数，0 <

s《1为摄动参数，/，g,

h为光滑函数.针对三维奇异摄动系统（1)平衡点类型（含退化情

形）及其局部稳定性的判断，本文基于奇异摄动的快慢方法，将其降维分解为二维的层系统和一维的

退化系统来进行；同时将该方法应用至如下Bazykin生物模型d u d ^Tt=d^J.d vauv+

Pu( 1 _v).f3uvK(2)这里i)和K*，<)分别表示食饵和捕食者的密度，P,心办及《为模型正的参数，详见文[8

11].不失一般性，令< =1(若需要可引人尺度变换达到此目的），则模型（2)化为d u d 2 u / , zx、

—=—-+

p〇uu((

1 1

---—-))

d ,d ：Buv(3)K—=s{----：d t 1 + ud v auv通过本文的方法，可迅速判断得到模型（2)、（3)的平衡点的类型和局部稳定性.

引入慢时间尺度t =

e «，可得系统（1)对应的慢系统dxdyETr■f(x,

7,

z,

A , £：),y,A

,

e),

A,

s(4)dz—-h(x, y,

).当s —

0时，分别得（二维的）层系统dxdtdydtdzdtAx, y,

g(x, y,

,A, 〇),A, 0),(5)0.和（一维流形上的）退化系统0

=f(x, y, z

0 =

g(x, y,;,^ =

h(x, y,A, 〇),A, 0),(6)i, A, 0).其中

cA =

K»，y，z)

e

R3:/(*，mA，〇) =

o,#(m2，A，〇) =

o丨为（一维的）临界曲线•记yvA = |

(m

2)

E

R3:A(；c,y，z，A，o) = 〇丨，那么n

yvA的点，即为系统（1)、（4)的平衡点.:维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法记(ac。，y。，2，A)为层系统（5)的平衡点，其中A为参数.那么，层系统(5)的平衡点在双曲

情形下有结点、焦点和鞍点等3种类型，在退化的情形下有鞍结点等.定义 1

〇,则U若（x0,

y〇,

A0)满足A(x0,

y0,弋，A0, 0) = 0且/iz(a:0，y0,

A。，0) < ( >、=)，y。，〜，A。）为退化系统(6)的线性稳定（不稳定、退化）平衡点.若满足下述条件之一，则（xQ，yQA,A。）为系统（1)的奇异稳定（不稳定）结点（见图1):定义2

(1)若〇D,

y。，A。）为层系统（5)的稳定（不稳定）结点，且y。，A。，0) = 0及

第1期吴宇航，等：三维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法43h：(x〇, y〇,

2C,

A0, 0) < ( > ) 〇；(2)若(a:。，y。，A。）为层系统（5)的稳定（不稳定）焦点，且/i(x。，y。，A。，0) = 0及

h,(xo, 7〇,

A〇. °) < ( > ) 〇•在图1及下面所有的图中，标有双箭头和单箭头的轨道，分别代表快轨和慢轨.图1 奇异稳定（不稳定）结点Fig. 1 Singular stable (unstable) nodes定义3 若满足下述条件之一，则U。，九，为系统（1)的奇异鞍点（见图2):(1) 若（*。，y0, 2C, A0)为层系统（5)的鞍点，且 /i(At0，y。，2r, A0, 0) = 0 及 /i2(;«0，y0,

A0, 0) < ( >) 0；(2) 若(x。，y。，zr,

A。）为层系统（5)的稳定（不稳定）结点，且/i(%,

y。，A〇, 0) = 0及hXxo, J〇, 2C. Ao. °) > ( < )

°；(3)若 (*。，y。，A。）为层系统（5)的稳定（不稳定）焦点，且/K*。，y。，弋，A。，0) = 0及

hXx〇, y〇,

zc»

A〇. °) > ( <) 〇•注释l若层系统或退化系统的平衡点为退化平衡点，则类似地可定义系统（1)、（4)许多类

型的奇异退化平衡点.定义4

若u。，y。，A。）为层系统（5)的双曲平衡点，且满足/K*。，y。，A。，0)

=

0以及

&U。，y。，A。，〇) = 〇，则（*〇，y。，A,

A。）为系统（1)的退化平衡点.基于奇异摄动问题的快慢分解方法，接下来证明奇异鞍点、奇异结点和奇异鞍结分支点经过扰动

后仍然是系统（1)的鞍点和结点.定理1若A =AD时，S(AD) = (*D,

y。，A。）是系统（1)的奇异鞍点；见图2,则当0 <1,

A 时，S(A。）经过扰动后变为系统（1)的鞍点S(A).证明设临界曲线的鞍分支为;c =*(Z，A),

y =y(Z，A)，满足如下方程组A),

y(z,

A),

2,

A, 0) = 0,

[g{x{zy

A),

y(z9

A),

z,

A, 0) = 0.根据隐函数定理有dz

dxg\'T,+\' dz+

g： = 〇•zc,

44福建师范大学学报（自然科学版)2021 年Fig. 2 Singular saddles进一■步可得dx _

fy gdz

z - f2gyfxgydy _

gJtgxfy -忐 gjy ~Lgy在上述的鞍分支上，极限慢流的控制方程为:dz-j- = h(x(z,

A),

7(2,

A),

z,

A, 0).接下来以奇异鞍点为例进行证明.由定义hvhx(gjy - g/J +可知，在点S( A。）附近有+

hdzdxdzhy(gxf2 ~fxgz)

+<

、-SyL考虑层系统（5)的雅可比矩阵(L/,LJx =gxgygzl〇00其特征方程为- (/, +

gr)^ + (/,<?,

~fygx)) = 0-

由于S( A。）是层系统（5)的鞍点，因此〇,且两个特征值满足Ml > 〇，A < 〇，即=/名-/j, < 〇.从而有(/, + g v)2 - 4(Lgy ~fygj >

第1期吴宇航，等：=维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法45M=ht(gJy - gJJ

+

hyigj,^ ~fxgz)

+

hz(fxgy - gxfy) <

〇, (7)这里偏导数均在Uu,九，I，A8)取值•接下来考虑系统（1)的雅可比矩阵，LfyL、h =,s K其特征方程为M3 - (/, + gr + s h,)^2 + (/v<§-v -f,gx - Ef-.h, - E g：hy + + s - e ^ =

〇■ (8)记三个特征根分别为和Ay，那么根据盛金公式和特征值关于参数的连续性，当A—A。，0 < e《1时有M,.,

+^2.s + ^.e =L +

g, + I A - A0 I ) =^t, +^2 +

0(e, I A - A0 I ),=e(〇j + 0(1 A - A0 I ) ) <0,+

(Mi.£

+

^1,E)^.C =Lgy -fygx

+

〇(e,

I A

-

A0 I ) < 0

=：M1M2 +

,

I A - A〇 I ) <0,以上的偏导数亦在(h,/。，,A。）取值，0表示阶符，w如式（7)所示.综上可知：当A—A。时必有弘,.e—^=0(1) >0#〇—>/t2=0(l) <0，/x2.e=O(ff) >0.因此，奇异鞍点经过扰动后是系统（1)的鞍点（具有二维的不稳定流形和一维的稳定流形）.当奇异鞍点见图2/所示时（层系统的不稳定焦点+退化系统的线性稳定平衡点），设（％, 7|)，

A。）是层系统（5)的不稳定焦点，与先前关于层系统的类似分析有//_,=0和Re(Ai2) >0, Re(/x3)

> 0，且^2^3 =Lg, ~fygX > 0，^2 +M3 =fx + gy >

〇,从而有w >

0.当0 < e《1时，对特征方程（8)关于e在M 处做泰勒展开得:弘，d〇(s2),，2, 3.对式（8)两边关于s求导得尝 _ 2(乂 + _ e

/〇从尝 + /!_—弘：+ (/tgY +

«；〇

三dfJLde+A>x_w = 0’这里义=C/>: -/At) + (贫人 —-g:/iy)•将s =

o时；x =

o代人上式得(Lgy ~LgM-如I . 0ds)-〇)-0.又/#、.-/、.&> 〇，从而Mx..

ds<

0.因此Mi. £ < 〇■综上，系统（1)见图2/所示的奇异鞍点经过扰动后为系统（丨）鞍点（具有二维的不稳定流形和一维的

稳定流形）.其余情形同理可证，略.定理2 若A =A。时，S(AQ) = (*Q，y。，A。）是系统（1)的奇异稳定（不稳定）结点；见图1,

则当0<£《1, A ~A。时，S(AD)经过扰动后变为系统（1)的稳定（不稳疋）结点S( A).证明类似于定理1,略.注释2

从上述定理的证明过程可知：式（7)定义的w=«(A)是系统（1)的平衡点类型判断的重

46福建师范大学学报（自然科学版))2021 年要指标•然而，当〇；(人。）=0时，此时，见式（8可知系统（1)的平衡点为退化的.那么，如何用奇异摄动的快慢分解法判断确定情形下退化平衡点的类型，见定理3.记

Z/(2,

A) = \"(X(2T，A)，y(2，A)，2，A , 0)•定理3 若(X。，yn, z,

A)是层系统（5)的双曲平衡点；而（*。，y。，AQ)是退化系统（6)的

鞍结分支点，即满足H(zc, 0) = H!(zc,

A〇) = 0,

H,(zc,

A0) #0,

HJzc,

A0) = 0,即

A

=

A〇

时，S(A。）= (*fl,

y。，A。）是系统（1)

A ~A。时，S(A。）经过扰动后变为系统（1)的鞍点

的奇异鞍结平衡点，见图3,则当0 <

和结点S2(A).S丨（A)证明类似于定理1，通过确定扰动后式（7)

所示的w的符号，即可证明，略.2

Bazykin模型的多平衡点及其分支图3 奇异鞍结分支点引入行波变换T； =

X +

Ct，其中C >

0为波速，

则系统（3)化为如下三维的奇摄动系统duItFig. 3 Singular saddle-node pointdu)

dv

—-=cw -

pu( 1 - —) +

at

Kupuv(9)auvv).引人慢时间尺度则系统(9)的慢系统为e — - w,

dudrdw~drdvdr

一cw ~ pu{oluvu~Kfiuv(10)1 +

u令s = 分別得到层系统du~dtdw~dtdvdt=w,=cwU~K/3uv=0.和退化系统=M，，r〇 =0 = cw - pu(

1u~K(3uv—=----;一

1 +

u这里乙：二V, w)

I

M； =

0 ,u =

0!和

S:= |(W，t»，M〇l

M；=0，f =

P

dv auv1 +

a2) (

1 -

7)

I 为临界尺

第1期吴宇航，等：三维奇异摄动系统平衡点分析的快慢方法47曲线，其中z>(0,0，|)为次临界分支点，^(^0，〃,）和CU2,0，I；2)为非法向双曲点，见图4.令之二状2-12,则0〈尺<万、命题1种情况：(1) 若尺>71，a>2，系统（9)有两个正平衡

点，分别记为 £ (“,*，〇, 〇, F (u2*，0, <);(2) 若尺>VJ，a = 2,系统（9)有一个正平衡占.和a:>V5\"分

别对应临界曲线三种不同的拓扑.下设尺>71.对于系统（9)，其正平衡点有如下三

图4系统（11)的临界曲线(3)若尺 >7J,

a<2,系统（9)无正平衡点 _

Fig.

4

The

critical

curve

of

system (11)下面总假设久>万，《>2,即主要讨论临界曲线上有两个临界点的情况.命题2层系统（11)的平衡点有如下的分类：(1) 若c2&4 (p-决），L上满足ue (0，i)和us (i, +»)的点分别为层系统（11)的不

稳定结点和鞍点；(2) 若^的鞍点；(3) ^

c2+4pU (3；-~~2^+1)^〇,

S上满足UE (Ul,

u2)的点为层系统（11)的不稳定结点；K (+u)2+4pu_ (3u2-2Ku+l) <〇则$上满足ue (U|，K (1+u2)“（3广2巧+1)>〇,

s上满足(0, U|)

uue (“，，幻的点为层系统（11)K (1+u )的点为层系统（11)的不稳定焦点.下面分析退化系统的慢轨.临界直线L上都有慢流满足^ = -r<〇,因此，在正r轴上慢流向下.

在临界曲线S上的慢流满足dv v( au - u2 — )dr(12)根据式（12),令// =

au-u2-

1，可以判断临界曲线S上的慢流的方向，见图5.关于Bazykm模型平衡态的类型及其局部稳定性，根据以上的快慢方法，有如下结论.定理4

假设和a > 2,那么，(1) 若1^，

u2*

e (0，

u,)或u *

e (0,

u,)，

u2*

e (

u2,尺’）或

u,*，

it2*

e (

u2，尺）或

u*

e (0，u,)，u2*

e (

u,，u2)，且当

u 二

u,*，i =

1，2 时有

c2 +

P ( -----—----^ >

0，则（u,*，0, !；,•)和A\'(

1

+ u )(< ,0, < )均为系统(9)的鞍点•(2)

K(l«,•，i =

1，2 时有

c2 +

若“广，《2*

e (u,，u2)或

u,*

e (u,，“2)，u2*

e (u2，尺），且当

> 0,则（“f , 0, < )为系统(9)的不稳定结点，（< ,0, < )为系统（9)的鞍4pu(3uz -

2Ku +1)(3)若“,：

e (it,u2)或，e ( “,u2)，，“2*

e (

«2，尺），且当

，<，；=1，2 时有

c2 +

0,

< )为系统(9)的鞍4pu(3u2 - 2Ku + lK(1< 0,则（<，0,

< )为系统(9)的不稳定结点，（<

48福建师范大学学报（卩丨然科学版)2021 年图5系统（9)的快慢流和平衡点Fig. 5 The slow-fast flows and equilibriums of system (9)参考文献：[I] KEVORKIAN J, COLE J D. Perturbation methods in applied mathematics [Mj. New York： Springer-Verlag, 1981.[2 I MALLEY R E. Singular perturbation methods in ordinary differential equations [ M ]. New York： Springer-Verlag, 1991.[3] BUTUZOV V F, NEFEDOV N, SCHNEIDER K R. Singularly perturbed problems in cases of exchange of stabilities [ J].

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