控制系统的数学模型

2024年2月12日发(作者：数学试卷手绘模板图片高清)

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第二章 控制系统的数学模型

本章目录

2.1 列写系统微分方程式的一般方法

2.2 非线性数学模型的线性化

2.3 传递函数

2.4 框图和系统的传递函数

2.5 信号流程图与梅逊公式

2.6 状态空间模型简介

2.7 数学模型的MATLAB描述

小结

本章简介

概述：1. 数学模型 ------描述系统变量之间关系的数学表达式

2. 建模的基本方法: (1) 机理建模法(解析法)

(2) 实验辩识法

3. 控制系统数学模型的主要形式:

(1) 外部描述法: 输入--输出描述

(2) 内部描述法: 状态变量描述

系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等

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等，都可以用微分方程加以描述。如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。有三种比较常用的描述方法：一、是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或端部（外部）描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

建立系统数学模型的方法有：解析法和实验法。

本章所讨论的数学模型以传递函数和方块图为主，有关状态空间模型的说明本书仅进行简单介绍。

2.1 列写系统微分方程式的一般方法 回目录

本节应用解析法来建立系统的数学模型。

解析法是根据系统及元件各变量之交间所遵循的基本物理、化学等定律，列写出每一个元件的输入-输出的关系式，然后消去中间变量，从中求出系统输出与输入的数学表达式式。

列写系统微分方程式的一般步骤：

1、确定系统的输入量(给定量和扰动量)与输出量(被控制量,也称为系统的响应)

2、根据基本定律，列写系统中每个元件的输入与输出的微分方程式。

3、确定输入与输出量，消去中间变量，求出系统输入与输出的微分方程式。

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例 2—1 图2—1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以Ui(t)为输入量，以Uc(t)为输出量的网络微分方程。

图2—1 RCL无源网络

解：

设回路电流为i(t),则回路方程为

消去中间变量i(t)，得：

（2—1）

式2—1既为图2—1无源网络的时域数学模型

例 2—2 图2—2是弹簧—质量—阻尼器机械位移系统。试列出质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的位移方程。

解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为

。由牛顿运动定律有

式中F1(t)＝(t)/dt是阻尼器的阻尼力，其方

向与运动方向相反，其大小育运动速度成正比，f是阻尼系数；F2(t)=Kx(t)是弹簧弹性力，其方向亦与运动方向相反，其大小与位移成比例，K是弹性系数。将F1(t)和F2(t)代入上式中，经整理后即得该系统的微分方程为：

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注：一般微分方程写成标准形式，既与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程左端，变量的导数项按降幂排列。

（2—3）

2.2非线性数学模型的线性化 回目录

为了获得非线性系统的线性数学模型，假设变量对于某一工作状态的偏离很小。设系统的输入量为x(t)，输出为y(t)，y(t)和x(t)的关系是

y=f(x) （2-6）

如果系统的额定工作状态相应于 ，，那么方程（2-6）可以在该

点附近展开成泰勒级数：

式中都在x= 点进行计算。如果x- 很小，可以忽略x- 的高阶项。因此方程可以写成

方程（2-8）可以改写成

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上式说明y- 与x-成正比。方程（2-9）就是由方程（2-6）定义的非线性系统的线性数学模型。下面来研究另一种非线性系统，它的输出量y是两个输入量x1和x2的函数，因而

y=f(x1，x2) (2-10)

为了得到这一非线性系统的线性近似关系，将方程（2-10）在额定工作点 附近展开成泰勒级数。这时方程（2-10）可写成

式中偏导数都在 上进行计算。在额定工作点附近，近似

将高阶项忽略。于是在额定工作状态附近，这一非线性系统的线性数学模型可以写成

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这里介绍的线性化方法只有在工作状态附近才是正确的。当工作状态的变化范围很大时，线性化方程就不合适了，这时必须使用非线性方程。应当特别注意，在分析和设计中采用的具体数学模型，只有在一定的工作条件下才能精确表示实际系统的动态特性，在其他工作条件下它可能是不精确的。

2.3 传递函数 回目录

1.传递函数的定义 2.传递函数的基本性质 3.典型环节的传递函数的数学模型

拉氏变换简介：

连续时间函数f(t)的拉氏变换为

F(s) =

常用基本性质:

= L[f(t)]

(1)线性性质: 若f(t)=αf1(t)+βf2(t), 则

F(s) = αF1(s)+βF2(s)

(2)超前定理: 若F(s) = L[f(t)], 则

L[f(t)] = snF(s)-

一步超前为: L[ (3)终值定理:

f(t)] = sF(s)- f(0)

在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入-输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。传递函数的概念只适用于线性定常系统，在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。

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一、传递函数的定义：

线性定常系统的传递函数，定义初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。

系统微分方程的一般形式为

+ a1 +……+ an-1 + an·c（t）=

b0+ b1 +……+ bm-1 +bm·r(t)

设R(s) = L[r(t)], C(s) = L[c(t)], 当初始条件均为0时,有

(a0sn+a1sn-1 +…+ an-1s+an)C(s) =

(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)

即 C(s) = R(s)

令 G(s) = =(2-2)

称为系统的传递函数

结论: (1) 传递函数是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的

(2) 已知r(t)和G(s)时,

C(s) = G(s)·R(s) c(t) = L-1[C(s)]

传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统的输入量与输出量之间的关系式，它表达了系统本身的特性，而与输入量无关。传递函数包含着联系输入量与输出量所必需的单位，但它不能表明系统的物理结构（许多物理性质不同的系统，可以有相同的传递函数）。

传递函数分母中s的最高阶数，就是输出量最高阶导数的阶数。如果s的最高阶数等于n，这种系统就叫n阶系统。

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例2-1

图2-1所示为一弹簧阻尼系统，阻尼器是一种产生粘性磨擦或阻尼的装置。它由活塞和充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何相对运动，都将受到油液的阻滞，因为这时油液必须从活塞的一端，经过活塞周围的间隙（或通过活塞上的专用小孔），而流到活塞的另一端。阻尼器主要用来吸收系统的能量。被阻尼器吸收的能量转变为热量而散失掉，而阻尼器本身不贮藏任何动能或位能。

下面来推导这一系统的传递函数。设系统的输入量为外力x(t)，输出量为质量的位移y(t)，按下列步骤进行推导：

1． 写出系统的微分方程。

2． 假设全部初始条件等于零，取微分方程的拉普拉斯变换。

3． 求输出Y(s)与输入量X(s)之比。这一比值就是传递函数。

为了推导线性常系数微分方程，假设阻尼器的磨擦力与 成正比，并设弹簧为线性弹簧，即弹簧力与y成正比。在这个系统中，m表示质量，f表示粘性磨擦系数，而k表示弹簧刚度。

解 牛顿定律是机械系统中的基本定律。在平移系统中，牛顿定律可表示如下：

ma=ΣF=x-Fs-Ff

其中Fs=ky，

a表示加速度，f表示力。

把牛顿定律应用到这一系统可得

或

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（2-3）

对方程（2-3）中每一项取拉普拉斯变换，得出

如果设初始条件等于零，即y(0)=0， (0)=0，即可得出方程（2-3）的拉普拉斯变换：

取Y(s)与X(s)之比，即可得到系统的传递函数：

例2-2

机械转动系统 设有一系统，如图2-2所示。它由惯性负载和粘性磨擦阻尼器组成。J为转动惯量，f为粘性磨擦系数，ω为角速度，T为作用到系统上的转矩。

图2-2 机械转动系统

解 对于机械转动系统，其运动方程可写成：

其微分方程为：

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（2-4）

初始条件为零时，取方程（2-4）的拉普拉斯变换：

取

与T(s)之比，即可得到系统的传递函数：

例2-3

图2-3 L-R-C电路

图2-3所示为一由电感L、电阻R和电容C组成。

解 在理想条件下，可得到此电路的电压平衡方程式：

（2-5）

由于

式中，q为电荷量，C为电容。式（2-5）可改写为

初始条件为零时，取方程（2-5）的拉普拉斯变换：

取U(s)与Uc(s) 之比，即可得到系统的传递函数：

二、传递函数的基本性质 回目录

传递函数概念的适用范围限于线性常微分方程系统。当然，在这类系统的分析和设计中，传递函数方法的应用是很广泛的。下面是有关传递函数的一些重要说明（下列各项说明中涉及的均为线性常微分方程描述的系统）。

1. 系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法。

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2. 传递函数是系统本身的一种属性，它与输入量或驱动函数的大小和性质无关。

3. 传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息（许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数，称之为相似系统）。

4. 如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质。

5. 如果不知道系统的传递函数，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述，它不同于对系统的物理描述。

6. 用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型，说明如下

第一种表示方式为：

第二种表示方式也叫零极点增益模型，具体形式为：

这两种模型各有不同的适用范围，可以相互转换，在不同的场合需要用不同的模型。如：在根轨迹分析中，用零极点模型就比较合适。 相似系统 相似系统这一概念，在实践中是很有用的，因为一种系统可能比另一种系统更容易通过实验来处理。例如，可以通过建造和研究一个与机械系统相似的电模拟系统来代替对机械系统的制造和研究，因为一般来说，电的或电子的系统更容易通过实验进行研究。

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表2-1所示为相似系统的相似变量。

弹簧阻尼系统

力F

质量m

粘性磨擦系统f

弹簧系数k

位移x

速度v

机械系统

转矩T

转动惯量J

粘性磨擦系统f

扭转系数k

角位移θ

角速度ω

电系统

电压u

电感L

电阻R

电容的倒数1/C

电荷q

电流I

表2-1 相似系统中的相似变量

三、典型环节的传递函数的数学模型 回目录

1.比例环节

4.微分环节

自动控制系统是由若干环节组成的，环节具有各种各样的结构和功能。然而本节所讨论的典型环节并不是按照它们的作用原理和结构分类的，而是按照它们的动态特性或数字模型来区分。因为控制系统的运动情况只决定于所有各组成环节的动态特性及连接方式，而与这些环节具体结构和进行的物理过程不直接相关。从这一点出发，组成控制系统的环节可以抽象为几种典型环节，逐个研究和掌握这些典型环节的特性，就不难进一步综合研究整个系统的特性。

1.比例环节

比例环节又称放大环节，其传递函数为

2.惯性环节

5.振荡环节

3.积分环节

6.延迟环节

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(2-11)

这表明，输出量与输入量成正比，动态关系与静态关系都一样，不失真也不迟延，所以又称为\"无惯性环节\"或\"放大环节\"。比例环节的特征参数只有一个，即放大系数K。工程上如无弹性变形的杠杆传动、电子放大器检测仪表、比例式执行机构等都是比例环节的一些实际例子。

2.惯性环节

惯性环节又称非周期环节，其传递函数为

(2-12)

T为惯性环节的时间常数，K为比例系数。

当输入信号为单位阶跃函数时，其环节的输出为

它是一条指数曲线，当时间t=3T~4T时，输出量才接近其稳态值。实际系统中，惯性环节是比较常见的，例如直流电机的励磁回路等。

3.积分环节

积分环节的传递函数为

(2-13)

在单位阶跃输入的作用下，积分环节的输出c(t)为

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这表明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成正比地无限增加。积分环节具有记忆功能，当输入信号突然除去时，输出总要变化下去。在控制系统设计中，常用积分环节来改善系统的稳态性能。

4.微分环节

微分环节的传递函数为

(2-14)

理想微分环节的输出与输入量的变化速度成正比。在阶跃输入作用下的输出响应为一理想脉冲（实际上无法实现），由于微分环节能预示输出信号的变化趋势，所以常用来改善系统的动态特性。

实际上可实现的微分环节都具有一定的惯性，其传递函数如下：

它有一个负极点和一个位于S平面原点的零点。实际微分环节在单位阶跃输入作用下的输出响应为

5.振荡环节

G(s) = = (0

1)

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或 G(s) = ,

式中，T为振荡环节的时间常数；K为放大系数；ζ为振荡环节的阻尼比；

两个极点为:

当r(t) = 1, c(t) =1-

,t≥ 0

6.纯滞后（延迟）环节

延迟环节的传递函数为

(2-16)

延迟环节在单位阶跃输入作用下的输出响应为

c(t)=1(t-T)

即输出完全复现输入，只是延迟了T时间。T为延迟环节的特征参数，称为\"延迟时间\"或\"滞后时间\"。

以上介绍了六种典型环节，这是控制系统中最见的基本环节。

2.4 框图和系统和传递函数 回目录

1、框图 2、绘制系统框图的一般步骤 3、方框图的等效变换 4、控制系统的传递函数

控制系统可以由许多元件组成。为了表明每一个元件在系统中的功能，在控制工程中，常常应用所谓\"框图\"的概念。方块图是描述控制系统的另一种比

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较直观的模型，在控制系统的分析中，用方块图进行处理具有相当明显的优势。

一、框图:

系统框图，是系统中每个元件的功能和信号流号的图解表示。方块图表明了系统中各种元件间的相互关系。方块图优于纯抽象的数学表达式，因为它能够清楚地表明实际系统中的信号流动情况。

在框图中，通过函数方块，可以将所有的系统变量联系起来。\"函数方块\"或简称为\"方块\"，是对加到方块上的输入信号的一种运算符号，运算结果以输出量表示。元件的传递函数，通常写进相应的方块中，并以标明信号流向的箭头，将这些方块连接起来。应当指出，信号只能沿箭头方向通过。这样，控制系统的方块图就清楚地表示了它的单向特性。

图2-4表示了一个框图单元。指向方块的箭头表示输入，而从方块出来的箭头则表示输出。在这些箭头上标明了相应的信号。

应当指出，方块输出信号等于输入信号与方块中传递函数的乘积。

用方块图表示系统的优点是：只要依据信号的流向，将各元件的方块连结起来，就能够容易地组成整个系统的方块图，通过方块图，还可以评价每一个元件对系统性能的影响。

总之，方块图比物理系统本身更容易体现系统的函数功能。方块图包含了与系统动态特性有关的信息，但它不包括与系统物理结构有关的信息。因此，许多完全不同和根本无关的系统，可以用同一个方块图来表示。

应当指出，在方块图中没有明显表示出系统的主能源，而且对于一定的系统来说，方块图也不是唯一的。由于分析角度的不同，对于同一个系统，可以画出许多不同的方块图。

二、绘制系统框图的一般步骤

1、写出每一个部件的运动方程（考虑负载效应）

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2、根据方程式，进行拉氏变换，写出传递函数。

3、用方框单元表示每个部件。

4、根据信号流向，画出系统框图。

绘制方法：用套画法画出系统结构图

1） 找出变量，输入变量，输出变量，中间变量；

2） 列写出关系式；

3） 一个元件，一个方程，一个关键式，前向必有一个相加（比较），或引出点元件；

4） 按照物理定律，一步到位画出框图。

例1 画出下图的结构图

解：1）变量输入Ur(s)， 输出Uc(s)， UL(s)， UR(s)， Ue(s)

2）列出关系式：

Ue(s)=Ur(s)－Uc(s)

UL(s)=Ue(s)－UR(s)

I(s)=UL(s)/sL

UR(s)=I(s)R(S)

Uc(s)=I(S)/SC

3）框图

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例2 试绘制下图无源网络的结构图

解：Ue (s)=Ur (s)－Uc (s)

I (s) =Ic (s)＋IR1 (s)

例3 绘制下列有源网络的结构图

解：I (s)＋Ic (s)=0 Ic (s)= －I (s)

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三、方框图的等效变换

两类：1）.环节的合并

2）.信号引出点或相加点的等效移动

变换原则： 变换前后的数学关系保持不变。

1）、前向通道的传递函数的乘积保持不变；

2）、回路的传递函数保持不变。

只有当一个方块的输出量不受其后的方块影响时，才能够将它们串联连接。如果在这些元件之间存在着负载效应，就必需将这些元件归并为一个单一的方块。

任意数量串联的、表示无负载效应元件的方块，可以用一个单一的方块代替，它的传递函数，就等于各单独传递函数的乘积。

一个包含着许多反馈回路的复杂的方块图，可以应用方块图的代数法则，经过逐步重新排列和整理而得到简化。

1、环节的合并

环节连接的三种基本形式：串联，并联和反馈。

（1）. 环节的串联：

G(s) = G1(s)G2(s)G3(s) 推广到n个环节串联：

G(s)=

注意：环节间必须无负载效应

（2）. 环节的并联：

G(s) = G1(s) + G2(s) + G3(s)

推广到n个环节并联：

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G(s)=

（3）. 反馈连接：

在图2-6上，表示了一个闭环系统的方块图。反馈到相加点与输入量进行比较的反馈信号为B(s)=H(s)C(s)。

在图2-6所示系统中，输出量C(s)与输入量R(s)的关系，可推导如下：

C(s)=G(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

从上述方程中消去E(s)，得：C(s)=G(s)[R(s)-H(s)C(s)]

于是可得：

2、等效移动

（2-17）

方块图移动一般法则是移动分支点和相加点，交换相加点，减少内反馈回路。

在表2-1中，列举了一些比较常见的方块图代数法则。这些代数法则说明，同一个方程式可以用不同的方法表示。通过重新排列和代换，将方块图简化后，可以使以后的数学分析工作很容易进行。但是应当指出，当方块图得到简化后，新的方块却变得更加复杂了，因为产生了新的极点和零点。

原始方块图 等效方块图

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1、相加点前移

2、引出点前移

3、引出点后移

4、单位反馈变换

5、简化反馈回路

表2-1 方块图代数法则

下面举例说明方块图的变换和化简。

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例1：

例2

RC无源网络电路图如图2－6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。

解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：

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如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。

a. 用复阻抗写电路方程式：

b. 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图。

c. 用结构图化简法求传递函数的过程见图

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四、控制系统的传递函数

1、误差检测器

误差检测器产生的输出信号，等于控制系统的参考输入信号与反馈信号之差。在设计中，选择误差检测器是一件很重要的工作，需要仔细确定。因为误差检测器中的任何缺陷，都必然会降低整个系统的性能。图2-5表示了误差检测器的方块图。

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需要注意的是，图中进行相加或相减的一些量，应具有相同的量纲和单位。

2、控制系统传递函数

（1）参考输入下的闭环传递函数

在图2-6上，表示了一个闭环系统的方块图。

输出量C(s)反馈到相加点，并且在相加点与参考输入量R(s)进行比较。系统的闭环性质，在图上清楚地表示了出来。在这种情况下，方块的输出量C(s)，等于方块的输入量E(s)乘以传递函数G(s)。

当输出量反馈到相加点与输入量进行比较时，必须将输出信号转变为与输入信号相同的形式。例如，在温度控制系统中，输出信号通常为被控温度。具有温度量纲的输出信号，在与输入信号进行比较之前，必须转变为力或位置。这种转换由反馈元件来完成，反馈元件的另一个重要作用，是在输出量与输入量进行比较之前，改变输出量。对于正在讨论的例子，反馈到相加点与输入量进行比较的反馈信号为B(s)=H(s)C(s)。

基本概念：

开环传递函数：反馈信号B(s)与作用误差信号E(s)之比，即

前向传递函数：输出量C(s)与作用误差信号E(s)之比，

闭环传递函数：C(s)与R(s)之间的传递函数。

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单位反馈系统：反馈传递函数等于1，即H(s)=1。

如果反馈传递函数等于1，那么开环传递函数与前向传递函数相同。

C(s)=G(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

从上述方程中消去E(s)，得C(s)=G(s)[R(s)-H(s)C(s)]

于是可得

（2-17）

C(s)与R(s)之间的传递函数，叫做闭环传递函数。这一传递函数，将闭环系统的动特性，与前向通道元件和反馈通道元件的动态特性联系在一起了。

由方程（2-17），可求得C(s)为

因此，闭环系统的输出量，显然取决于闭环传递函数和输入量的性质。

（2）扰动作用下的闭环系统

图2-7为一个在扰动作用下的闭环系统。当两个输入量（参考输入量和扰动量）同时作用于线性系统时，可以对每一个输入量单独地进行处理，将与每一个输入量单独作用时相应的输出量叠加，即可得到系统的总输出量。每个输入量加进系统的形式，用相加点上的加号或减号来表示。

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现在来讨论图2-7上表示的系统。在研究扰动量N(s)对系统的影响时，可以假设系统在开始时是静止的，并且假设无误差信号。即R（S）=0，这样就可以单独计算系统对扰动的响应CN(s)。这一响应可由下式求得：

另一方面，在研究系统对参考输入量的响应时，可以假设扰动量等于零。这时系统对参考输入量R(s)的响应CR(s)可由下式求得：

将上述两个单独的响应相加，就可以得到参考输入量和扰动量同时作用时的响应。换句话说，参考输入量R(s)和扰动量N(s)同时作用于系统时，系统的响应C(s)为

另一方面，当G1(s)G2(s)H(s)的增益增大时，闭环传递函数CR(s)/R(s)趋近于1/H(s)。这表明，当 G1(s)G2(s)H(s)>>1时，闭环传递函数CR(s)/R(s)将变成与G1(s)和G2(s)无关，而只与H(s)成反比关系，因此G1(s)和G2(s)的变化，不影响闭环传递函数CR(s)/R(s)。这是闭环系统的另一个优点。可以容易地看出：任何闭环系统，当反馈传递函数H(s)=1时，系统的输入量与输出量相等。

2.5信号流程图和梅逊公式 回目录

方块图对于图解表示控制系统，是很有用的。但是当系统很复杂时，方块图的简化过程是很繁杂的。信号流程图，是另一种表示复杂控制系统中系统变量之间关系的方法。这种方法是S.J.梅逊(Mason)首先提出的。

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1、信号流图

信号流图，是一种表示线性方程组中变量间关系的一种图示法。当将信号流图法应用于控制系统时，首先必须将线性微分方程变换为以s为变量的代数方程。

信号流图是由网络组成的，网络中各节点用定向支线段连接。每一个节点表示一个系统变量，而每两节点之间的联结支路相当于信号乘法器。应当指出，信号只能单向流通。信号流的方向由支路上的箭头表示，而乘法因子则标在支路线上。信号流图描绘了信号从系统中的一点流向另一点的情况，并且表明了各信号之间的关系。

正如所料，信号流图基本上包含了方块图所包含的信息。用信号流图表示控制系统的优点，可以应用所谓梅逊增益公式。根据该公式，不必对信号流图进行简化，就可以得到系统中各变量之间的关系。

定义 在讨论信号流图之前，首先必须定义如下一些术语：

节点，节点用来表示变量或信号的点。

传输，两个节点之间的增益叫传输。

支路，支路是连接两个节点的定向线段。支路的增益为传输。

输出节点或源点，只有输出支路的节点，叫输出节点或源点。它对应于自变量。

输入节点或阱点，只有输入支路的节点，叫输入节点或阱点。它对应于因变量。

混合节点，既有输入支路，又有输出支路的节点，叫混合节点。

通道，沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，叫通道。如果通道与任一节点相交不多于一次，就叫做开通道。如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次，就叫做闭通道。如果通道通过某一节点多于一次，但是终点与起点在不同的节点上，那么这个通道既不是开通道，又不是闭通道。

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回路，回路就是闭通道。

回路增益，回路中各支路传输的乘积，叫回路增益。

不接触回路，如果一些回路没有任何公共节点，就把它们叫做不接触回路。

前向通道，如果从输出节点（源点）到输入节点（阱点）的通道上，通过任何节点不多于一次，则该通道叫做前向通道。

前向通道增益，前向通道中，各支路传输的乘积，叫前向通道增益。

图2-9表示了节点、支路和支路传输。

2、信号流图的性质

下面介绍一些信号流图的重要性质。

（1）． 支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。

（2）． 节点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有支路。

（3）． 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可以把它变成输出节点来处理。（见图2-9,注意，具有单位传输的支路从x3指向另一个节点，后者也以x3表示。）当然，应当指出，用这种方法不能将混合节点改变为源点。

（4）． 对于给定的系统，信号流图不是唯一的。由于同一系统的方程可以写成不同的形式，所以对于给定的系统，可以画出许多种不同的信号流图。

30

3、信号流图代数

根据前面的定义，可以画出线性系统的信号流图。这样做时，通常将输出节点（源点）放在左面，而输入节点（阱点）放在右面。方程式的自变量和因变量，分别变为输出节点（源点）和输入节点（阱点）。支路的传输可由方程的系数得到。

为了确定输入-输出关系，可以采用梅逊公式。这个公式后面将要介绍。也可以将信号流图简化成只包含输出和输入节点的形式。为了进行这种简化，需采用下列规则：

（1）． 如图2-10(a)所示，只有一个输出支路的节点的值为x2=ax1。

（2）． 串联支路的总传输，等于所有支路传输的乘积。因此，通过传输相乘，可以将串联支路合并为单一支路，如图2-10(b)所示。

（3）． 通过传输相加，可以将并联支路合并为单一支路，如图2-10(c)所示。

（4）． 混合节点可以消掉，如图2-10(d)所示。

（5）． 回路可以消掉，如图2-10(e)所示。

图2-10信号流图及其简化

4、梅逊公式

用梅逊公式可以直接求信号流图的传输。表示为

31

（2-18）

式中

Pk=第k条前向通道的通道增益或传输；

Δ=流图的特征式

=1-（所有不同回路的增益之和）+（每两个互不接触回路增益乘积之和）

-（每三个互不接触回路增益乘积之和）+…

Δk=在除去与第k条前向通道相接触的回路的流图中，第k条前向通道特征式的余因子。

总之，熟悉了梅逊公式之后，根据它去求解系统的传输，远比用方块图变换方法简便有效，对于复杂的多环系统和多输入、多输出系统尤其明显。因此，信号流图得到了广泛的实际应用，并常用于控制系统的计算机辅助设计。

例题2-4 方框图化为信号流图并简化

例题2-5 梅逊公式

例题2-6 RC电路

例2-4

将图2-11所示的系统方框图化为信号流图之。求系统传递函数C(s)/R(s)。

32

图2-11 多回路系统

图2-12 图2-11所示系统的信号流图

在这个系统中，输入量R(s)和输出量C(s)之间，只有一条前向通道。前向通道的增益为

P1=G1G2G3

从图2-12可以看出，这里有三个单独的回路。这些回路的增益为

L1=G1G2H1

L2=-G2G3H2

L3=-G1G2G3

应当指出，因为所有三个回路具有一条公共支路，所以这里没有不接触的回路。因此，特征式Δ为

Δ=1-（L1+L2+L3）

=1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3

沿联接输入节点和输出节点的前向通道，特征式的作因子Δ1，可以通过除去与该通道接触的回路的方法而得到。因为通道P1与三个回路都接触，所以得到

Δ1=1

因此，输入量R(s)和输出量C(s)之间的总增益，或闭环传递函数为

这与通过方块图简化所得到的闭环传递函数完全相同。这样，利用梅逊公式，不必对流图进行简化，就能够求得总增益C(s)/R(s)。

例2-5

根据梅逊公式求图2-13的信号流图的总传输。

图2-13 例2-5中系统的信号流图

33

解 此系统有六个回环，即ab、cd、ef、ij和kfdb，因此

两个互不接触的回环有七种组合，即abef、abgh、abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij，所以

三个互不接触的回环只有ab、ef和ij，故

由此可求特征式

从源点到阱点有两条前向通道。一条为acegi，它与所有的回环均有接触，因此

P1=acegi

Δ1=1

另一条前向通道为kgi它不与回环cd接触，所以

P2=kgi

Δ2=1-cd

将以上结果代入式（2-18），可得总传输

例2-6

已知RC电路如图2-14所示，请画出其结构图。

图2-14 例2-6题图

34

解：根据电路的特性，由图可知

中间回路：

(2-21）

由（2-19）式知：

（2-22）

由（2-21）式知：

（2-23）

由（2-20）式知：

（2-24）

则由（2-22）、（2-23）、（2-24）式求出结构图如下：

图2-15 系统结构图

在这一类系统结构图的求解过程中，需要注意的是，其解不是唯一的。

2.6 状态空间模型的简介 回目录

状态空间分析法是现代控制理论的基础，不仅可以描述系统的输入输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，是一种内部描述，特别适用于多输入多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统，它采用状态空间表达式作为描述系统的数学模型。是对系统的一种完全描述。

2.6.1 状态、状态变量及状态空间方程

35

2.6.2 线性定常控制系统的状态方程描述

2.6.3 线性定常系统状态空间表达式的结构图和信号流图

2.6.4传递函数与状态空间方程之间关系

2.6.1 状态、状态变量及状态空间方程

这里介绍有关状态、状态变量及状态空间方程等的基本概念。

1． 状态 动态系统的状态是系统的最小一组变量（称为状态变量），只要知道了在t=t0时的一组变量和t3t0时的输入量，就能够完全确定系统在任何t3t0时刻的行为。

2． 状态变量 动态系统的状态变量是确定动态系统状态的最小一组变量。如果至少需要n个变量x1，x2，××× ，xn才能完全描述动态系统的行为（即一旦给出t3t0时的输入量，并且给定t=t0时的初始状态，就可以完全确定系统的未来状态），则这个变量就是一组状态变量。

3． 状态向量 如果完全描述一个给定系统的行为需要n个状态变量，那么这n个状态变量可以看作是向量X的n个分量，该向量就称为状态向量。因此，状态向量也是一种向量，一旦t=t0时的状态给定，并且给出t3t0时的输入量U(t)，则任意时间t3t0时的系统状态X(t)便可以唯一地确定。

4． 状态空间 由x1轴，x2轴，××× ，xn轴所组成的n维空间称为状态空间。任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。

5． 状态方程 用状态变量描述系统的动态方程。

详细说明以上介绍的几个概念

2-A1 状态空间模型的概念说明

已知系统

其状态方程可以用下列方程描述：

(2-25)

由上式可知，如果已知uc(t)和i(t)的初始值，以及在t3t0时的外加输入信号，就能够完全唯一地确定在t3t0时的任何时间的系统状态。状态方程也可以写成矩阵方程的形式。例如：

36

(2-26)

通常，用x表示状态矢量，用x1，x2，... 表示其分量。对于上式，如令

式（2-26）又可写为

(2-27)

此处其输出方程为

(2-28)

此处

需要指出的是，从理论上讲，描述系统状态的状态变量的选择不是唯一的，可以有无穷多个解。

2.6.2 线性定常控制系统的状态方程描述

本教材研究对象主要为线性定常系统，这里简单介绍一下线性定常系统的状态方程：

1． 单输入单输出线性定常系统状态方程

单输入单输出线性定常系统的微分方程为：

(2-29)

式中y为输出量，x为输入量，a1、a2、...、an和bn为常系数。

当令

此时，可将式（2-29）改写为n个一阶微分方程，即

37

或用矩阵方程表示：

上式可简写为

式中

系统的输出方程为

2． 多变量线性定常系统状态方程

推广到多变量线性定常系统的一般情况，此时的系统传递函数可表示为：

式中 i=1，2，...，n；j=1，2，...，m。可用矩阵方程表示为：

38

此处

2.6.3线性定常系统状态空间表达式的结构图和信号流图

系统的状态方程和输出方程也可以用结构图的方式表达出来，它形象地说明了系统输入、输出和系统状态之间的信息传递关系。在采用模拟计算机对系统仿真时，它更是一个得力的工具。图2- 16所示为n维线性定常系统的结构图。

图2- 16 n维线性定常系统的结构图

同样，也可以画出n维线性定常系统的信号流图（见图2-17所示）。

图2- 17 n维线性系统的信号流图

2.6.4传递函数与状态空间方程之间关系

下面仔细分析一下单输入单输出系统的传递函数与状态空间之间的关系：

设所要研究系统的传递函数为：

39

该系统在状态空间中可以用下列方程表示：

(2-30)

(2-31)

式中X为状态向量，u为输入量，y为输出量。则当满足零初始条件时，式（2-30）及（2-31）的拉普拉斯变换为：

用(sI-A)-1左乘式（2-32）等号两边，得到：

X(s)=(sI-A)-1BU(s) (2-34)

把方程（2-34）代入（2-33），得到

(2-35)

由方程（3-35）可以看出

这就是以A、B、C和D的形式表示的传递函数。应该指出，传递函数矩阵具有不变性，亦即，对状态方程进行线性变换后，其对应的传递函数矩阵应该不变，从而保证了所描述系统的输入-输出特性不变。

2.7数学模型的MATLAB描述 回目录

2.7.1连续系统数学模型的MATLAB表示

2.7.3模型之间的转换

2.7.2离散系统数学模型MATLAB表示*

2.7.4控制系统建模

控制系统常用的数学模型有三种：传递函数、零极点增益和状态空间。每种模型均有连续/离散之分，它们各有特点，有时需在各种模型之间进行转换。本节主要介绍它们的MATLAB表示及三种模型之间的相互转换。

2.7.1连续系统数学模型的MATLAB表示

1． 传递函数模型

当：则在MATLAB中，直接用分子/分母的系数表示，即

num=[b0，b1，…，bm]；

den = [a0，a1，…，an]；

时

40

例2-7 用MATLAB表示传递函数为 的系统。

解：在MATLAB环境下输入

ng=[1 1]; dg=[1 3 2];

printsys(ng,dg) %此处printsys命令是传递函数显示命令。

则执行后得到如下结果：

2． 零极点增益模型

当： 时

则在MATLAB中，用[z，p，k]矢量组表示，即

z=[z0，z1，…，zm]；

p=[p0，p1，…，pn]；

k=[k]；

例2-8 用MATLAB表示传递函数为 的系统。

解：在MATLAB环境下输入

z=-1; p=[0 -1 -2]; k=1.5;

[num,den]=zp2tf[z,p,k];

printsys(num,den) %此处printsys命令是传递函数显示命令。

则执行后得到如下结果：

3． 状态空间模型*

当： 时

则在MATLAB中，该控制系统可用（a，b，c，d）矩阵组表示。

41

4． 传递函数的部分分式展开

当：时

在MATLAB中直接用分子/分母的系数表示时有

num=[b0，b1，…，bm]；

den = [a0，a1，…，an]；

则命令

[r,p,k] = residue(num,den)

将求出两个多项式Y(s)和X(s)之比的部分分式展开的留数、极点和直接项。Y(s)/X(s)的部分分式展开由下式给出：

例如

2-A2 考虑下列传递函数：

:

命令 [r,p,k] = residue(num,den)

将给出下列结果：

[r,p,k]=residue(num,den)

r=

-6.000

-4.000

3.000

p=

-3.000

-2.000

-1.000

k=

2

留数为列向量r，极点位置为列向量p，直接项是行向量k。以下是Y(s)/X(s)的部分分式展开的MATLAB表达形式：

命令

[num,den] = residue(r,p,k)

42

执行后得到如下结果：

[num,den]=residue(r,p,k)

num=

2.0000 5.0000 3.0000 6.0000

den=

1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

2.7.2离散系统数学模型的MAT LAB表示*

1． 传递函数模型：

2． 零极点增益模型：

3． 状态空间模型：

2.7.3模型之间的转换

同一个控制系统都可用上述三种不同的模型表示，为分析系统的特性，有必要在三种模型之间进行转换。MATLAB的信号处理和控制系统工具箱中，都提供了模型变换的函：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss，zp2tf，它们的关系可用图2-17所示的结构来表示。

图2-18 三种模型之间的转换

说明：

ss2tf命令：将状态空间模型转换成传递函数模型。

格式为：[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

式中，iu为输入的序号。转换公式为

43

ss2zp命令：将状态空间模型转换成零极点增益模型。

格式为：[Z, P, K]=ss2zp(A, B, C, D, iu)

式中，iu为输入的序号。

tf2ss命令：将传递函数模型转换成状态空间模型。

格式为：[A, B, C, D]=tf2ss(num, den)

tf2zp命令：将传递函数模型转换成零极点增益模型。

格式为：[Z, P, K]=tf2zp(num, den)

zp2ss命令：将零极点模型转换成状态空间模型。

格式为：[A, B, C, D]=zp2ss(Z, P, K)

zp2tf命令：将零极点模型转换成传递函数模型。

格式为：[num, den]=zp2tf(Z, P, K)

2.7.4控制系统建模

对简单系统的建模可直接采用三种基本模型：传递函数、零极点增益、状态空间模型。但实际中经常遇到几个简单系统组合成一个复杂系统。常见形式有：并联、串联、闭环及反馈等连接。

1． 并联：将两个系统按并联方式连接，在MATLAB中可用parallel函数实现。

命令格式为：[nump, denp] = parallel(num1, den1, num2, den2)

其对应的结果为：Gp(s)=G1(s)+G2(s)

2． 串联：将两个系统按串联方式连接，在MATLAB中可用series函数实现。

命令格式为：[nums, dens] = series(num1, den1, num2, den2)

其对应的结果为：Gs(s)=G1(s)+G2(s)

3． 闭环：将系统通过正负反馈连接成闭环系统，在MATLAB中可用feedback函数实现。

命令格式为：[numf, denf] = feedback(num1, den1, num2, den2, sign)

sign为可选参数，sign=-1为负反馈，而sign=1对应为正反馈。缺省值为负反馈。

其对应的结果为：

4． 单位反馈：将两个系统按反馈方式连接成闭环系统（对应于单位反馈系统），在MATLAB中可用cloop函数实现。

命令格式为：[numc, denc] = cloop(num, den, sign)

44

sign为可选参数，sign=-1为负反馈，而sign=1对应为正反馈。缺省值为负反馈。

其对应的结果为：

小结 回目录

本节主要描述控制系统的数学模型。其主要内容包括：

(1) 数学模型及物理模型的概念，数学模型的建立。

(2) 传递函数的定义：是在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。

(3) 传递函数的性质。

(4) 方块图以及方块图的化简。

(5) 信号流程图以及梅逊公式的应用。

(6) 控制系统三种常用的数学模型及其MATLAB表示，三种模型之间的转换。