2024年3月19日发(作者：2022泰州数学试卷)
2023～2024学年度上学期六校高二期末联考试卷
数学
（答案在最后）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效
.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知数列
A.
3
a
n
满足
a
1
3
，
B.0
a
n
1
34
3
3
a
n
3
nN
*
a
（），则
2024
（
C.
3
）
D.2
）2.焦点在直线
2x5y100
上的抛物线的标准方程为（
A.
y
2
10x
或
x
2
4y
C.
y
2
20x
或
x
2
8y
B.
y
2
10x
或
x
2
4y
D.
y
2
20x
或
x
2
=-8y
）
x
2
y
2
3.若双曲线
2
2
1
（
a0
，
b0
）的一条渐近线经过点
4,3
，则双曲线的离心率为（
ab
A.
5
4
B.
25
16
C.
5
3
D.
25
9
4.
阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用
“
逼近法
”
得到椭圆的面积除以圆周率等于
椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在
x
轴上的椭圆
C
的离心率为
准方程为（）
3
，面积为
127π
，则椭圆
C
的标
4
x
2
y
2
A.
1
167
x
2
y
2
B.
1
3214
x
2
y
2
C.
1
4821
）
x
2
y
2
D.
1
6428
5.记
S
n
为等比数列
a
n
的前
n
项和，若
S
3
3
，
S
6
9
，则
S
15
（
A.48B.81C.93D.243
6.经过第一、二、三象限的直线
l
：
axby40
与圆
C
：
x
2
y
2
2x2y70
相交于
A
，
B
两点，
若
AB6
，则
ab
的最大值是（
A8
）
C.2D.1
.
B.4
7.已知等差数列
a
n
）
与等差数列
b
n
的前
n
项和分别为
S
n
与
T
n
,且
S
n
5
n
3
,则
T
2
n
1
4
n
2
a
3
a
9
（
b
11
b
11
A.
29
21
B.
29
11
C.
58
21
D.
58
11
8.已知
mR
，直线
l
1
：
mxy2m0
与
l
2
：
xmy2m0
的交点
P
在圆
C
：
x2
y4
A.
42
22
r
2
r0
上，则
r
的最大值是（
B.
32
）
D.C.
22
2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9
已知直线
l
：
2x3y10
，则（
.
）
B.
l
的横截距为
2
1
A.
l
不过原点
C.
l
的斜率为
2
3
D.
l
与坐标轴围成的三角形的面积为3
10.
如图，四边形
ABCD
，
ABEF
都是边长为
2
的正方形，平面
ABCD
平面
ABEF
，
P
，
Q
分别是线段
AE
，
BD
的中点，则（）
A.
PQ//DF
C.点
P
到直线
DF
的距离为
B.异面直线
AQ
，
PF
所成角为
π
3
3
2
D.
DFQ
的面积是
3
2
的学生到甲餐
3
11.某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有
厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有
继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有
择甲餐厅就餐的学生比例为
a
n
，则（
A
a
n
）
2
的学生
3
1
的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选
6
.
11
a
n
1
n
2
26
1
B.
{
a
n
}
是等比数列
3
C.第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
2
3
D.
开学后第一个星期（
7
天）中在甲餐厅就过餐的有
5750
人次
12.经过抛物线
C
：
y
2
2px
（
p0
）的焦点
F
的直线
l
交
C
于
A,B
两点，
O
为坐标原点，设
A
x
1
,y
1
，
B
x
2
,y
2
（
y
1
y
2
），
AB
的最小值是4，则下列说法正确的是（
A.
OAOB3
B.
AFBFAFBF
C.若点
M
）
3
,1
是线段
AB
的
中点，则直线
l
的方程为
2xy20
2
D.若
AB4FB
，则直线
l
的倾斜角为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若方程
x
2
my
2
m0
表示双曲线，则实数
m
的取值范围是______.
14.已知等差数列
a
n
的项数为
2m1
mN
的项数是
______.
*
，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列
a
n
15.在四面体
ABCD
中，
BC1
，
BD2
，
ABC90
，
BCDA3
，则
CBD
__________．
16.在各项均为正数的等差数列
a
n
中，
a
3
13
，
a
1
，
a
2
2
，
a
5
成等比数列，保持数列
a
n
中各项先
后顺序不变，在
a
k
与
a
k
1
（
k1,2,
）之间插入
2
k
个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列
b
n
，
记
b
n
的前
n
项和为
T
n
，则
T
90
______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知
M
的圆心为
8,6
，且
M
过点
A
4,3
．
（
1
）求
M
的标准方程；
（
2
）若直线
l
与
M
相切于点
A
，求
l
的方程．
18.已知
a
n
是各项均为正数的等比数列，其前
n
项和为
S
n
，
a
1
3
，
a
1
，
S
2
，
a
3
6
成等差数列.
（1）求数列
a
n
的通项公式；
（2）若
b
n
log
3
a
n
，求数列
1
的前
n
项和
T
n
.
b
n
b
n
1
19.
如图，在四棱锥
P
ABCD
中，
AC
与
BD
交于点
O
，
PO
平面
ABCD
，
BCBDCD3AB3AD
，
PO=OC
.
（
1
）求证：
BD
平面
PAC
；
（
2
）求直线
PB
与平面
PCD
所成角的正弦值
.
20.已知
P
1
是离心率为
2
x
2
y
2
的椭圆
C
：
2
2
1
（
a
b
0
）上任意一点，且
PF
F
是椭圆
C
的右焦点，
ab
的最小值是
1.
（
1
）求椭圆
C
的方程；
（2）过点
F
的直线
l
与椭圆
C
相交于
A
，
B
两点，若
AB
21.已知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且满足
S
n
4a
n
nN
（1）求数列
a
n
,
b
n
的通项公式；
（2）设
c
n
b
n
S
n
，求数列
c
n
的前
n
项和
T
n
.
16
，求直线
l
的方程.
5
*
n
，等差数列
b
满足
ba
，
ab
11
68
1
.
x
2
y
2
22.已知
F
1
，
F
2
分别是双曲线
C
：
2
2
1
（
a0
，
b0
）的左、右焦点，
F
1
F
2
210
，点
F
1
到
C
ab
的渐近线的距离为
3.
（
1
）求双曲线
C
的
标准方程及其渐近线方程；
（
2
）已知点
O
为坐标原点，动直线
l
与
C
相切，若
l
与
C
的两条渐近线交于
A
，
B
两点，求证：
AOB
的
面积为定值
.
2023～2024学年度上学期六校高二期末联考试卷
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效
.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知数列
A.
3
【答案】
B
【解析】
a
n
满足
a
1
3
，
B.0
a
n
1
34
3
3
a
n
3
nN
*
a
（），则
2024
（
C.
3
）
D.2
【分析】根据递推公式可得数列的周期性即可求解
.
【详解】由
a
1
3
，
a
n
1
34
3434
0
，
可得
a
2
3
3
a
1
3
3
43
3
3
a
n
3
a
3
a
4
3434
3
，
3
3
a
2
3
3
3
3434
3
a
1
，
3
3
a
3
3
3
23
因此
a
n
为周期数列，且周期为3，
故
a
2024
a
2
0
，
故选：
B
2.焦点在直线
2x5y100
上的抛物线的标准方程为（）
A.
y
2
10x
或
x
2
4y
C.
y
2
20x
或
x
2
8y
【答案】
C
【解析】
【分析】根据焦点即可求解抛物线方程
.
B.
y
2
10x
或
x
2
4y
D.
y
2
20x
或
x
2
=-8y
【详解】直线
2x5y100
与坐标轴的交点为
5,0
以及
0,2
，
所以抛物线的焦点为
5,0
或
0,2
，
当焦点为
5,0
，此时抛物线方程为
y
2
20x
，
当焦点为
0,2
时，此时抛物线的方程为
x
2
8y
，
故选：
C
x
2
y
2
3.若双曲线
2
2
1
（
a0
，
b0
）的一条渐近线经过点
4,3
，则双曲线的离心率为（
ab
A.
）
5
4
B.
25
16
C.
5
3
D.
25
9
【答案】
A
【解析】
【分析】求出渐近线方程，得到
b
3
=
，从而得到离心率.
a
4
b
x
2
y
2
【详解】由题意得
2
2
1
的渐近线方程为
y
x
，
a
ab
显然
4,3
在
y
b
3
b
x
上，故
=
，
a
a
4
cb
2
a
2
b
2
5
故
e
1
2
，
2
aaa
4
即双曲线的离心率为
故选：
A
4.
阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用
“
逼近法
”
得到椭圆的面积除以圆周率等于
椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在
x
轴上的椭圆
C
的离心率为
准方程为（）
5
.
4
3
，面积为
127π
，则椭圆
C
的标
4
x
2
y
2
A.
1
167
【答案】
C
【解析】
x
2
y
2
B.
1
3214
x
2
y
2
C.
1
4821
x
2
y
2
D.
1
6428
【分析】设出椭圆方程，由题意可得
ab127
，结合离心率以及
a,b,c
的关系，可得出答案.
x
2
y
2
【详解】设椭圆的标准方程为
2
2
1
a
b
0
，焦距为
2c
，
ab
ab
127
22
a
2
48
c
3
xy
依题意有
，解得
2
，，∴椭圆的标准方程为
1
，
a
4
b
21
4821
222
a
b
c
故选：
C
．
5.记
S
n
为等比数列
a
n
的前
n
项和，若
S
3
3
，
S
6
9
，则
S
15
（
A.48
【答案】
C
【解析】
【分析】根据等比数列
的
前
n
项和先确定公比
q1
，再计算
值.
【详解】设等比数列
a
n
的公比为
q
，因为
S
3
3
，
S
6
9
，
若
q1
，则
S
3
3a
1
3
，得
a
1
1
，则
S
6
6a
1
69
，故
q1
，
B.81C.93
）
D.243
S
6
S
15
得
q
，从而计算得的值，即可得
S
15
的
S
3
S
3
a
1
1
q
6
S
6
1
q
6
9
1
q
3
1
q
3
，所以
q
3
2
，
则
3
3
S
3
a
1
1
q
1
q
3
1
q
a
1
1
q
15
S
15
1
q
15
1
2
5
1
q
31
，所以
S
15
31S
3
31393
.
所以
3
3
S
3
1
q
1
2
a
1
1
q
1
q
故选：
C.
6.经过第一、二、三象限的直线
l
：
axby40
与圆
C
：
x
2
y
2
2x2y70
相交于
A
，
B
两点，
若
AB6
，则
ab
的最大值是（
A.8
【答案】
B
【解析】
B.4
）
C.2D.1
【分析】根据题意，由条件可得直线
l
经过圆心，则可得
ab4
，再由基本不等式，代入计算，即可得到
结果
.
【详解】因为圆
C
：
x
2
y
2
2x2y70
，即
x1
y1
9
，
22
圆心为
1,1
，半径为3，且
AB6
，
则直线
l
经过圆心，即
ab40
，所以
ab4
，
a
0
b
又直线
l
经过第一、二、三象限，则
，即
a0,b0
，
4
0
b
a
b
则
ab
4
，当且仅当
ab2
时，等号成立，
2
所以
ab
的最大值是
4.
故选：
B
7.已知等差数列
2
a
n
）
与等差数列
b
n
的前
n
项和分别为
S
n
与
T
n
,且
S
n
5
n
3
,则
T
2
n
1
4
n
2
a
3
a
9
（
b
11
b
11
A.
29
21
B.
29
11
C.
58
21
D.
58
11
【答案】
D
【解析】
【分析】由等差数列性质可得
令
n11
，代入计算即可得
.
【详解】因为数列
a
n
、
b
n
都是等差数列,所以
a
3
a
9
2a
6
ST
，由等差数列前
n
项和公式可得
a
6
11
、
b
11
21
，即可
b
11
b
11
b
11
1121
a
3
a
9
a
3
a
9
2a
6
,
b
11
b
11
b
11
b
11
又
S
11
11
a
1
a
11
2
11
a
6
，
T
21
21
b
1
b
21
2
21
b
11
，
故
a
6
a
3
a
9
2
a
6
42
S
11
S
11
T
，
b
11
21
，即有
,
bbb
11
T
1121
11111121
S
n
S
11
295
n
3
在中，令
n11
，得，
T
2
n
1
4
n
2
T
21
21
故
a
3
a
9
2
a
6
422958
.
b
11
b
11
b
11
112111
故选：D
.
8.已知
mR
，直线
l
1
：
mxy2m0
与
l
2
：
xmy2m0
的交点
P
在圆
C
：
x2
y4
A.
42
【答案】
A
【解析】
22
r
2
r0
上，则
r
的最大值是（
B.
32
）
D.C.
22
2
【分析】根据两条直线的位置关系和所过的定点，结合圆与圆的位置关系进行求解即可
.
【详解】
mxy2m0ym
x2
，所以直线
l
1
恒过点
A
2,0
，
xmy2m0xm
y2
，所以直线
l
2
恒过点
B
0,2
，
由两条直线的方程可以判断直线
l
1
与直线
l
2
互相垂直，
,
，因此点
P
在以
AB
为直径的圆上，线段
AB
中点为
D
11
半径为
1
2
2
2
2
2
2
，
圆
C
的圆心为
2,4
，半径为
r
r0
，
由已知条件可知点
P
在圆
C
：
x2
y4
r
2
r0
上，
22
所以圆
C
与圆
D
相交或相切，
CD
因此有
12
14
22
32
，
2rCD2r2r322r
，
解得：
22r42
，所以则
r
的最大值是
42
，
故选：
A
【点睛】关键点睛：通过直线方程判断交点
P
的位置，根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键
.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线
l
：
2x3y10
，则（
A.
l
不过原点
C.
l
的斜率为
【答案】
AC
【解析】
【分析】根据直线方程的确定点是否再直线上可判断
A
，由横截距、斜率的概念可判断
B
，
C
，由横纵截距
求解
l
与坐标轴围成的三角形的面积可判断
D
.
【详解】已知直线
l
：
2x3y10
，
对于A，原点
0,0
不满足直线方程，故
l
不过原点，故A正确；
对于B，当
y0
时，
x
2
3
）
B.
l
的横截距为
2
D.
l
与坐标轴围成的三角形的面积为3
1
1
1
，故
l
的横截距为
，故B不正确；
2
2
对于C，直线
l
的方程可化为
y
对于D，当
x0
时，
y
故选：
AC
.
21
2
x
，则
l
的斜率为
，故C正确；
3
33
1111
1
，则
l
与坐标轴围成的三角形的面积为
，故D不正确.
22312
3
10.
如图，四边形
ABCD
，
ABEF
都是边长为
2
的正方形，平面
ABCD
平面
ABEF
，
P
，
Q
分别是线段
AE
，
BD
的中点，则（）
A.
PQ//DF
C.点
P
到直线
DF
的距离为
【答案】
ABD
【解析】
B.异面直线
AQ
，
PF
所成角
为
π
3
3
2
D.
DFQ
的面积是
3
【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算证明线线平行、求异面直线的夹角、点到直线的距
离、再根据空间中三角形面积公式逐一求解判定各选项即可．
【详解】由题可得：
AB
，
AD
，
以
A
为坐标原点，
AD
，
AB
，
AF
两两垂直，
AF
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴建立空间直角坐标系如图所示，
则
A(0
,0,
0)
，
B(0
,2,
0)
，
D(2
,0,
0)
，
E(0
,2,
2)
，
F(0
,0,
2)
，
对于
A
，因为
P
，
Q
分别是线段
AE
，
BD
的中点，所以
P(0
,1,
1)
，
Q(1
,1,
0)
，
所以
PQ(1
,0,
1)
，
DF(2
,0,
2)2PQ
，又
PQ
，
DF
不共线，所以
PQ//DF
，故A正确；
0)
对于B，
AQ(1
,1,
，
PF(0
,
1
,
1)
，设异面直线
AQ
，
PF
所成角为
，
AQ
PF
11
cos
cos
AQ
,
PF
则
，
2
2
2
AQPF
ππ
，即异面直线
AQ
，
PF
所成角为，故B正确；
33
PF
DF
22
1)2)
对于C，由
PF(0
,
1
,
，
DF(2
,0,
，得，
2
22
DF
又因为
(0,]
，所以
π
2
2
PF
DF
2
2
2
6
)
所以点
P
到直线
DF
的距离为
(
PF
)
(
)
2
(
，故C不正确；
22
DF
对于D，因为
PQ//DF
，所以
Q
到
DF
的距离即为
P
到
DF
的距离，
1
616
DFQ
所以的面积
SDF
22
3
．故D正确．
2222
故选：
ABD
．
11.某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有
2
的学生到甲餐
3
2
的学生
3
厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有
继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有
1
的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选
6
择甲餐厅就餐的学生比例为
a
n
，则（
A.
a
n
）
11
a
n
1
n
2
26
1
B.
{
a
n
}
是等比数列
3
C.第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
2
3
D.
开学后第一个星期（
7
天）中在甲餐厅就过餐的有
5750
人次
【答案】
ABD
【解析】
【分析】根据给定的信息求出递推公式判断
A
；变形递推公式判断
B
；求出通项公式，利用通项公式求项及
前
7
项和判断
CD
即可
.
【详解】依题意，当
n2
时，
a
n
2111
a
n
1
1
a
n
1
a
n
1
，A正确；
3626
当
n2
时，
a
n
11
2
111
(
a
n
1
)
，又
a
1
，即
a
1
，
3
323
33
1
1
1
因此数列
{
a
n
}
是以
为首项，
2
为公比的等比数列，B正确；
3
3
显然
a
n
111
n
1
1111111
()
，即
a
n
()
n
1
，则
a
100
()
99
，C错误；
3323323323
7111
2
1
6
575
显然
a
1
a
2
a
3
a
7
[1()()]
，又有1920名学生，
33222192
所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有
1920
故选：
ABD
12.经过抛物线
C
：
y
2
2px
（
p0
）的焦点
F
的直线
l
交
C
于
A,B
两点，
O
为坐标原点，设
A
x
1
,y
1
，
575
5750
人次，D正确．
192
B
x
2
,y
2
（
y
1
y
2
），
AB
的最小值是4，则下列说法正确的是（
A.
OAOB3
B.
AFBFAFBF
）
3
M
C.若点
,1
是线段
AB
的中点，则直线
l
的方程为
2xy20
2
D.若
AB4FB
，则直线
l
的倾斜角为60°
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