2023年12月5日发(作者：2022中考数学试卷青海)

2023～2024学年度第一学期期中练习初二年级数学练习题班级__________考生须知：1．本卷共6页，共3部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟．2．试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和准考证号．3．答案一律填涂或书写答题卡上，试卷上作答无效．4．答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1.在第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取201金、111银、71铜的骄人战绩．在下列运动标识中，是轴对称图形的是（）姓名__________准考证号__________A.B.C.D.2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A3,1，则点A关于x轴的对称点的坐标是（A.1,3B.）3,1C.3,1D.）3,13.一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（A2cm.B.5cm）C.2cm或5cmD.不能确定4.下列运算式中，正确的是（A.x2x2x4C.B.x2×x3=x5D.）7，BC5，A303.5，BC4.8，C70）xy3x3yx23x55.根据下列条件能画出唯一ABC的是（1，BC2，CA3C.A50，B=60，C706.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（A.85B.75C.65D.607.如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点处．设S1，S2分别为ADC和ABC的面积，S1和S2数量关系是（）A.S11S23B.S11S22C.S12S2D.S13S28.如图，ABC中，ABACBC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PBBC，那么符合要求的作图痕迹是（）A.B.C.D.9.如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）．A.1B.2C.3D.410.如图，ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B,C重合），连接AD，点E,F分别在线段AB,AC的延长线上，且DEDFAD，点D从B运动到C的过程中，BED周长的变化规律是（）A.不变B.一直变小C.先变大后变小D.先变小后变大二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如图，ADAE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使ABE≌ACD，添加的条件是：____________（添加一个即可）．12.某区环保局将一个长为2106分米，宽为4104分米，高为8102分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为__________分米．13.一个多边形的内角和是1080，则这个多边形的边数为__________．，BC平分ABD，AB3，BC4．则ABC的14.如图，在四边形ABDC中，ABD60，ÐD=90°面积等于______．15.“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德OB组成，原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒OA，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OCCDDE，点D，E可在槽中滑动．若BDE72，则CDE__________°．16.如图，等腰直角ABC中，ACB90，ACBC2，D为BC中点，AD则PCPD的最小值为______．5，P为AB上一个动点，三、解答题（本题共52分，第17（1）题3分，17（2）题44分，第18～20题，每题4分，第21～23题，每题5分，第24～26题，每题6分）17.计算：（1）2x5xy32（2）x2yxy18.已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，ABDE，AB∥DE，BFEC．求证：△ABC≌△DEF．19.已知x2x40，求x23x12xx2的值．20.如图，A，B分别为CD，CE的中点，AECD于点A，BDCE于点B．求AEC的度数．21.下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图，在RtABC中，ABC90°．求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于③画射线AP，交BC于点D．所以点D即为所求．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：过点D作DE1MN为半径画弧，两弧交于点P；2AC于点E，连接MP，NP．在AMP和ANP中，∵AMAN，MPNP，APAP，∴AMP≌ANP（SSS）．∴∠=∠.∵∠ABC=90°，∴DBAB.∵DEAC，）．∴DBDE（22.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC，A2,6，B5,1，C3,1．点B与点C关于直线l对称，AC交y轴于点E．（1）请在坐标系中画出直线l；（2）求ABE的面积；（3）若点P在直线l上，BPC90，直接写出点P的坐标．23.（1）已知在ABC中，A120，B40，C20．请你设计两种不同的方法：用一条直线将ABC分割成两个等腰三角形．（作图工具不限，不要求写画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数．）（2）根据以上问题，提出一个你觉得有研究价值的数学问题，描述你的问题即可，不需要解答．24.我们学习了实数的正整数次幂的运算，如28，3349等．现已知一个实数的实数次幂也可以运算．若实数a、b、x满足axb，则称x为b关于a的“L数”，记为xLa，b．16__________；②L，（1）请直接写出：①L2，141__________．64252，则a__________．（2）若La，5x，L10，20y，L10，bz，且xz2y，求b的值．（3）已知L10，25.已知直线MN，在直线上取一点A，以A为顶点作等腰ABC，ABAC，作射线CB交射线AM于点Q，记点C关于直线MN的对称点为P点，连结PC、PB，记BAC，NAC，其中0180．（1）请补全图1；（2）证明当60且75时，PCPB；（3）若有PCPB，求此时与之间的数量关系．26.在平面直角坐标系xOy中，点Pa,b为图形G上一点，当ab时，将点P关于一、三象限角平分线对称，称为变换1；当ab时，将点P关于ya对称，称为变换2．（1）①已知点A坐标为2,1，则点A作相应变换后的点的坐标为__________；②若点A作相应变换后的点坐标为-1,2，求点A的坐标；()（2）已知Bm,1，Cm,3，①若线段BC上的点通过变换2所得图形在x轴下方，则m的取值范围是__________；②已知边长为8的正方形中心为点O，且各边与坐标轴平行，若正方形内部（含边）同时存在线段BC的两种变换点，则m的取值范围是__________．2023～2024学年度第一学期期中练习初二年级数学练习题一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1.在第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得优异成绩，总共夺取201金、111银、71铜的骄人战绩．在下列运动标识中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故A正确，符合题意；B、不是轴对称图形，故B错误，不符合题意；C、不是轴对称图形，故C错误，不符合题意；D、不是轴对称图形，故D错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称图形识别，掌握轴对称图形的定义，图形结合分析是解题的关键．2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A3,1，则点A关于x轴的对称点的坐标是（A.1,3【答案】C【分析】根据关于x轴对称的两个点的坐标的特征判断即可．【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，B.）3,1C.3,1D.3,11)关于x轴对称的点的坐标为3,1，∴A(3，故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标的特征，熟练掌握关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，是解题的关键．3.一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（A.2cmB.5cmC.2cm或5cm）D.不能确定【答案】B【分析】分类讨论：当等腰三角形的腰长为2cm时和当等腰三角形的腰长为5cm时，再根据三角形的三边关系，分析即可得出答案．【详解】解：当等腰三角形的腰长为2cm时，则三边为2cm、2cm、5cm，∵225，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm时，则三边为2cm、5cm、5cm，∵255，∴能组成三角形，∴综上可得：第三条边的边长是5cm．故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边之间的关系，明确三边能否组成三角形是解本题的关键．4.下列运算式中，正确的是（Ax2x2x4）B.x2×x3=x5D..C.xy3x3yx23x5【答案】B【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、x2x22x2，故该选项是错误的；B、x2×x3=x5，故该选项是正确的；C、xyx3y3，故该选项是错误的；3D、x23x23x6，故该选项是错误的；故选：B【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则，难度较小，如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．5.根据下列条件能画出唯一ABC的是（1，BC2，CA3C.A50，B=60，C70【答案】D【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．【详解】解：A.当AB1，BC2，CA3时，123，则线段AB、BC、CA不能构成三角形，故选项A不符合题意；）7，BC5，A303.5，BC4.8，C70B.边边角三角形不能唯一确定，如图1，故选项B不符合题意；C.角角角三角形不能唯一确定，如图2所示，故选项C不符合题意；D.边角边可以画出唯一的三角形ABC，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（）A85.B.75C.65D.60【答案】B【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．7.如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点处．设S1，S2分别为ADC和ABC的面积，S1和S2数量关系是（）A.S11S23B.S11S22C.S12S2D.S13S2【答案】B【分析】由折叠可知ADC≌AD\'C，根据中点的性质可知AD\'C的面积和BD\'C的面积相等，进而求出S1与S2数量关系．【详解】解：∵由折叠可知ADC≌AD\'C∴SADCSAD\'C∵点D\'恰好是AB的中点∴SAD\'CSBCD\'∵ADC的面积为S1，ABC的面积是S2∴S11S22【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质等相关知识点，找出各个三角形的面积关系是解题的关键．8.如图，ABC中，ABACBC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PBBC，那么符合要求的作图痕迹是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】由PA＋PBBC和PC＋PBBC可得，点P在线段AC的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段AC的垂直平分线，与BC的交点即为点P．【详解】∵PA＋PBBC，而PC＋PBBC，∴PAAC，∴点P在线段AC的垂直平分线上，即点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点．故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图——作线段的垂直平分线．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．9.如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）．A.1【答案】CB.2C.3D.4【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【详解】解：如下图：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点C的个数有2个；当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有1个，所以点C的个数为：2+1=3．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB为底和以AB为腰两种情况，并画出图形是解题关键．10.如图，ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B,C重合），连接AD，点E,F分别在线段AB,AC的延长线上，且DEDFAD，点D从B运动到C的过程中，BED周长的变化规律是（）A.不变【答案】DB.一直变小C.先变大后变小D.先变小后变大【分析】先根据等边三角形的性质可得ABCACBBAC60，从而可得EBDDCF120，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得BADECDF，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BECD，从而可得BED周长为BEBDDEBCAD，最后根据点到直线的距离即可得出答案．【详解】ABC是等边三角形，ABCACBBAC60，EBDDCF120，DFAD，CADF，BADCADBAC60又，CDFFACB60BADCDF，DEAD，BADE，ECDF，EBDDCF在△BDE和△CFD中，ECDF，DEFDBDECFD(AAS)，BECD，则BED周长为BEBDDECDBDADBCAD，在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时，AD最小，在点D从B运动到C的过程中，BED周长的变化规律是先变小后变大，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如图，ADAE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使ABE≌ACD，添加的条件是：____________（添加一个即可）．【答案】BC（答案不唯一）【分析】添加条件是BC，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．【详解】解：BC，理由是：在ABE和ACD中，AABC，ADAEABE≌ACD(AAS)，故答案为：BC（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．12.某区环保局将一个长为2106分米，宽为4104分米，高为8102分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为__________分米．【答案】4104【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可．【详解】解：正方体贮水池的棱长为：3．21064104810236410124104（分米）故答案为：4104．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为a10n，其中1≤a＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．13.一个多边形的内角和是1080，则这个多边形的边数为__________．【答案】八【分析】由多边形内角和定理：n2180（n3且n为整数），可求多边形的边数．【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意得：n21801080∴n8，所以这个多边形的边数为八，故答案为：八【点睛】本题考查多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和定理．，BC平分ABD，AB3，BC4．则ABC的14.如图，在四边形ABDC中，ABD60，ÐD=90°面积等于______．【答案】3【分析】过点A过AHBC于H，根据角平分线的定义得到ABC30，再根据含30度角的直角三角形的性质求得AH13AB，然后利用三角形的面积公式求解即可．22【详解】解：过点A过AHBC于H，∵BC平分ABD，ABD60，∴ABC∵AB3，1ABD30，213AB，又BC4，22113∴ABC的面积为BCAH43，222∴AH故答案为：3．【点睛】本题考查角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质、三角形的面积公式，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．15.“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德OB组成，原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒OA，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OCCDDE，点D，E可在槽中滑动．若BDE72，则CDE__________°．【答案】84【分析】根据OCCDDE，可得OODC，DCEDEC，根据三角形的外角性质可知进一步根据三角形的外角性质可知BDE3ODC72，即可求出ODCDCEOODC2ODC，的度数，进而求出CDE的度数．【详解】解：OCCDDE，OODC，DCEDEC，DCEOODC2ODC，OOED3ODCBDE72，ODC24，CDEODC180BDE108，CDE108ODC84．故答案为：84．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．16.如图，等腰直角ABC中，ACB90，ACBC2，D为BC中点，AD则PCPD的最小值为______．5，P为AB上一个动点，【答案】5【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DBEB，DPEP，ABCABE45，根据PCPDPCPE，可得当C，P，E在同一直线上时，PCPE的最小值等于CE的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PCPD的最小值为5．【详解】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DBEB，DPEP，ABCABE45，CBE90，D是BC的中点，BD1BC1，2BE1，PCPDPCPE，当C，P，E在同一直线上时，PCPE的最小值等于CE的长，此时，PCPD最小，ACBC2，D为BC的中点，CDDBBE，又ACDCBE90，ACD≌CBESAS，CEAD5，PCPD的最小值为5．故答案为：5．【点睛】此题考查了轴对称线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．三、解答题（本题共52分，第17（1）题3分，17（2）题44分，第18～20题，每题4分，第21～23题，每题5分，第24～26题，每题6分）17.计算：（1）2x5xy32（2）x2yxy【答案】（1）40x4y2（2）x2xy2y2【分析】（1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答；（2）运用多项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，即可作答．【小问1详解】解：2x5xy【小问2详解】328x5xy40x32224y2；解：x2yxyxxy2xy2yxxy2y．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到积的乘方、多项式乘多项式法则以及合并同类项，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18.已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，ABDE，AB∥DE，BFEC．求证：△ABC≌△DEF．22【答案】证明见解析【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出ABCDEF，再根据线段之间的数量关系，得出BCEF，再根据“边角边”，即可得出结论．【详解】证明：∵AB∥DE，∴ABCDEF，∵BFEC，∴BFFCECFC，∴BCEF，在ABC和DEF中，ABDEABCDEF，BCEF∴ABC≌DEFSAS．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法．19.已知x2x40，求x23x12xx2的值．【答案】2【分析】先利用整式的混合运算化简代数式，再把已知条件变形，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵x2x40，∴x2x4，x23x12xx23x2x6x22x24xx2x2422．【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．20.如图，A，B分别为CD，CE的中点，AECD于点A，BDCE于点B．求AEC的度数．【答案】30【分析】连接DE；由线段中垂线的性质可得CEDECD，即CDE是等边三角形，然后根据三线合一的性质即可得出结果；【详解】解：如图，连接DE；∵A、B分别为CD，CE的中点，且AECD，BDCE；∴CEDECD∴CDE是等边三角形∴CED60∴AEC1CED302【点睛】本题考查了线段中垂线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一等知识点；综合运用上述知识进行边角转化是解题的关键．21.下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图，在RtABC中，ABC90°．求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，②分别以点M，N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点P；③画射线AP，交BC于点D．所以点D即为所求．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：过点D作DEAC于点E，连接MP，NP．在AMP和ANP中，∵AMAN，MPNP，APAP，∴AMP≌ANP（SSS）．∴∠=∠.∵∠ABC=90°，∴DBAB.∵DEAC，∴DBDE（）．【答案】（1）补全图形见解析（2）∠PAM，∠PAN，角的平分线上的点到角的两边的距离相等【分析】（1）按照要求补全图形即可；（2）读懂证明中的每一个步骤及推理的依据，即可完成．【小问1详解】补全的图形如下：N；【小问2详解】过点D作DEAC于点E，连接MP，NP．在AMP和ANP中，∵AMAN，MPNP，APAP，∴AMP≌ANP（SSS）．∴∠PAM=∠PAN．∴ABC=90°，∴DBAB.∵DEAC，∴DBDE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．故答案为：∠PAM，∠PAN，角的平分线上的点到角的两边的距离相等【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，灵活运用它们是关键．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC，A2,6，B5,1，C3,1．点B与点C关于直线l对称，AC交y轴于点E．（1）请在坐标系中画出直线l；（2）求ABE的面积；（3）若点P在直线l上，BPC90，直接写出点P的坐标．【答案】（1）见解析（3）1,5和1,3【分析】（1）根据点B与点C的坐标求出中点坐标D，然后过点D作BC的垂线即可得出直线l；（2）先求出直线AC的解析式，然后再求值直线AC与y轴的交点坐标E，再根据三角形面积公式求出结果即可；（3）B与点C关于直线l对称，直线l垂直平分BC，得出BPCP，PD平分BPC90，得出（2）SABE的面积为811BPDCPD9045，得出△BPD为等腰直角三角形，求出PDBDBC4，分两种情况：当22P在直线BC上方时，当P在直线BC下方时，分别求出结果即可．【小问1详解】解：∵B5,1，C3,1，∴中点D的坐标为1,1，过点D作BC的垂线，即为所求作的直线l，如图所示：【小问2详解】解：设直线AC的解析式为ykxbk0，把A2,6，C3,1代入得：2kb6，3kb1k1解得：，b4∴直线AC的解析式为yx4，把x0代入yx4得：y4，∴点E的坐标为0,4，∵B5,1，C3,1，∴BC358，∴SABESABCSBEC11861841228；【小问3详解】解：∵B与点C关于直线l对称，∴直线l垂直平分BC，∵点P在直线l上，∴BPCP，∵PDBC，∴PD平分BPC90，∵BPC90，∴BPDCPD19045，2∴△BPD为等腰直角三角形，∴PDBD1BC4，2当P在直线BC上方时，如图所示：此时点P的纵坐标为：145，∴此时点P的坐标为1,5；当P在直线BC下方时，如图所示：此时点P的纵坐标为：143，∴此时点P的坐标为1,3；综上分析可知，点P的坐标为1,5和1,3．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点，数形结合，注意进行分类讨论．23.（1）已知在ABC中，A120，B40，C20．请你设计两种不同的方法：用一条直线将ABC分割成两个等腰三角形．（作图工具不限，不要求写画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数．）（2）根据以上问题，提出一个你觉得有研究价值的数学问题，描述你的问题即可，不需要解答．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的判定，先以20作为等腰三角形的一个底角，或以40作为等腰三角形的一个底角，然后结合三角形内角和为180，进行作答即可；（2）言之有理即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）如图所示：（2）依题意，如果提供一个锐角ABC，也用一条直线将锐角ABC分割成两个等腰三角形，此时会有几种做法呢？（答案不唯一）【点睛】本题考查了学生的动手思考能力以及等腰三角形的判定，一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．24.我们学习了实数的正整数次幂的运算，如28，3349等．现已知一个实数的实数次幂也可以运算．若实数a、b、x满足axb，则称x为b关于a的“L数”，记为xLa，b．16__________；②L，（1）请直接写出：①L2，141__________．64252，则a__________．（2）若La，5x，L10，20y，L10，bz，且xz2y，求b的值．（3）已知L10，【答案】（1）4，3（3）80（2）5【分析】（1）因为实数a、b、x满足axb，则称x为b关于a的“L数”，记为xLa，b，代入数值进行计算，即可作答；252，所以代入数值进行计算，即可作答；（2）依题意，因为La，5x，L10，20y，L10，bz，所以代入数值进行计算，再结合xz2y以（3）依题意，因为L10，及同底数幂相乘法则，即可作答．【小问1详解】解：∵实数a、b、x满足axb，则称x为b关于a的“L数”，记为xLa，b，11且2416，644164，L，∴L2，【小问2详解】解：依题意，31413；64252∵525且La，2∴a5；【小问3详解】5x，L10，20y，L10，bz，解：∵L10，∴10x5，10y20，10zb∵xz2y∴10x10z10y2即5b202400则b80．【点睛】本题考查了实数的正整数次幂的运算，涉及到幂的乘方，同底数幂相乘等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25.已知直线MN，在直线上取一点A，以A为顶点作等腰ABC，ABAC，作射线CB交射线AM于点Q，记点C关于直线MN的对称点为P点，连结PC、PB，记BAC，NAC，其中0180．（1）请补全图1；（2）证明当60且75时，PCPB；（3）若有PCPB，求此时与之间的数量关系．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）①当0120时，90；②当120180时，90或180【分析】（1）依题意，作射线CB交射线AM于点Q，记点C关于直线MN的对称点为P点，连结PC、PB，即可作图；（2）连结AP，证明PAC≌PABSAS，即可得PCPB；（3）分类讨论：①当B、C位于直线MN同侧时，180；当120180时，结合三角形的内角和以及垂直平分线的性质，作答即可．【小问1详解】解：如图所示：141414【小问2详解】证明：连结AP，∵点C和点P关于直线MN对称，∴MNPC，APAC．∵PANCAN75，∴PAC150．∵BAC60，∴PAB360PACCAB150．在△PAC与PAB中，ACABPACPAB150APAP∴PAC≌PABSAS，∴PCPB．【小问3详解】解：①当0120时，90；②当120180时，90或180；①当B、C位于直线MN同侧时，180，若存在满足条件的时，有PCPB．∵ACAB，∴直线PA为BC的垂直平分线，设延长PA与BC交于点Q1，如图：141414∴在ABC中，CAQ1BAQ1∵点C和点P关于直线MN对称，∴MNPC，APAC，11BAC．22∴在△PAC中，PAC2NAC2．∵PACCAQ1180，∴21180，214∴90，∴90180，∴解得120，∴901410120；4②当120180时，如右图所示有两种情况若存在满足条件的时，有PCPB．∵ACAB，∴直线PA为BC的垂直平分线，设延长PA与BC交于点Q1，如图3：∴在ABC中，CAQ1BAQ1∵点C和点P关于直线MN对称，∴MNPC，APAC，11BAC．22∴在△PAC中，PAC2NAC2．∵PACCAQ1180，∴21180，214∴90；若存在满足条件的时，有PCPB．∵ACAB，∴直线PA为BC的垂直平分线，∴PAC11BAC22设PA与BC交于点Q1，如图4：∴在ABC中，CAQ1BAQ1∵点C和点P关于直线MN对称，∴MNPC，APAC，11BAC．22∴在△PAC中，PAC2PAM2CAM2180NAC3602．11BAC，221∴3602，2∵PAC∴180；【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定以及三角形内角和等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．26.在平面直角坐标系xOy中，点Pa,b为图形G上一点，当ab时，将点P关于一、三象限角平分线对称，称为变换1；当ab时，将点P关于ya对称，称为变换2．14（1）①已知点A坐标为2,1，则点A作相应变换后的点的坐标为__________；②若点A作相应变换后的点坐标为-1,2，求点A的坐标；()（2）已知Bm,1，Cm,3，①若线段BC上的点通过变换2所得图形在x轴下方，则m的取值范围是__________；②已知边长为8的正方形中心为点O，且各边与坐标轴平行，若正方形内部（含边）同时存在线段BC的两种变换点，则m的取值范围是__________．【答案】（1）①1,2（2）①3m②2,-1或1,4()12②4m1，1m3．3【分析】（1）①根据新定义变换1，即可求解；②根据新定义变换1，和变换2，分类讨论，即可求解；（2）①设BC上的点为Mm,n，则1n3则m,n关于ym的对称点为m,2mn，根据线段BC上的点通过变换2所得图形在x轴下方，得出m1，即可求解；2②根据题意作出图形，依题意，m1或m1，进而分情况讨论，找到临界点，即可求解．【小问1详解】解：①点A坐标为2,1，21，点A作相应变换后的点的坐标为1,2，故答案为：1,2．②点A作相应变换后的点坐标为-1,2，若是变换1，则原来的坐标为2,-1，()()若是变换2，则-1,2关于y1对称，即1,4，()∴点A的坐标为2,-1或1,4；()【小问2详解】解：∵Bm,1，Cm,3，设BC上的点为Mm,n，则1n3，则m,n关于ym的对称点为m,2mn，①∵作变换2，则nm，∴3m3，∵线段BC上的点通过变换2所得图形在x轴下方，∴2mn0，而n的最小值为1，则2m1，即m1，2∴3m1；2②∵正方形内部（含边）同时存在线段BC的两种变换点，则线段BC与一、三象限角平分线和二、四象限的角平分线有交点，∴m1或m1，当m1时，设BC上的点为Mm,n，则1n3当M在二四象限的角平分线上时，nm，则M经过变换2，得到的点在y4上时，nmm4，又nm，∴m∴4m1，33，4当m1时，点C经过变换1的点的坐标为3,m，B点经过变换2的点的坐标为m,2m1，C点经过变换2的点的坐标为m,2m3，观察图形可得2m14，∴m4，3点B经过变换1的点的坐标为1,m，C点经过变换1的点的坐标为3,m，则当m1时，点C在第一三象限的角平分线上时，m3，而m3时，观察图形，可得不存在变换2，∴1m3，综上所述，4m1，1m3．3【点睛】本题考查了轴对称变换，坐标与图形，理解新定义，轴对称的性质是解题的关键．


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