2024年4月15日发(作者：拱墅二模数学试卷)
绝密★启用前
2021
年天津市高考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷
上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第
I
卷（选择题）
一、单选题（本大题共
9
小题，共
45.0
分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.
设集合
A.
2.
已知
，，
”是
，则
( )
B.
，则“
C. D.
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的
( )
B.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
A.
充分不必要条件
C.
充要条件
3.
函数的图象大致为
( )
A.
B.
C.
D.
4.
从某网络平台推荐的影视作品中抽取
分数据分为组：，
部，统计其评分数据，将所得
，，
个评
，并整理得到如下的
第1页，共23页
频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是
( )
A.
5.
设
A.
B.
，
C.
，
D.
，则三者大小关系为
( )
B. C. D.
，两个圆
6.
两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
锥的高之比为
：，则这两个圆锥的体积之和为
( )
A.
7.
若
A. B.
B.
，则
C.
( )
D.
C. D.
的焦点
，两点，
8.
已知双曲线
重合，抛物线的准线交双曲线于
若
，
的右焦点与抛物线
两点，交双曲线的渐近线于
，则双曲线的离心率为
( )
A.
9.
设
B.
，函数
内恰有
C. D.
，若函数在区间
个零点，则的取值范围是
( )
第2页，共23页
A.
C.
B.
D.
第
II
卷（非选择题）
二、填空题（本大题共
6
小题，共
30.0
分）
10.
11.
在
是虚数单位，复数
的展开式中，
的直线与
．
，，则
．
的系数是
．
轴交于点，与圆相切于点
12.
若斜率为
，则
13.
已知的最小值为
．
14.
甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方
获胜，否则本次平局已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次
活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
；
次活动中，甲至少获胜次的概率为
．
中，
且交
为线段
于点，则
上的动点，
的值
15.
在边长为
且交
为
；
于点
的等边三角形
，
的最小值为
．
三、解答题（本大题共
5
小题，共
75.0
分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.
在
本小题
中，内角
：
求
求
求
的值；
分
，
：
，
：
的对边分别为
，．
，，，且：
的值；
的值．
第3页，共23页
17.
本小题分
的正方体
中，，分别为棱，如图，在棱长为
的中点．
求证：
求直线
求二面角
平面
与平面
；
所成角的正弦值；
的正弦值．
18.
已知椭圆
且
本小题分
的右焦点为，上顶点为，离心率为，
．
求椭圆的方程；
直线与椭圆有唯一的公共点
轴于点若
，与轴的正半轴交于点
，求直线
，过
与垂直的直线交的方程．
19.
已知数列
比大于
本小题分
是公差为
的等比数列，
求数列
记
和
，
的通项公式；
．
的等差数列，其前
．
项的和为数列是公
第4页，共23页
证明：是等比数列；
证明：．
20.
本小题分
已知，函数．
求曲线在点处的切线方程；
证明函数存在唯一的极值点；
若，使得对任意的恒成立，求实数
围．
第5页，共23页
的取值范
答案和解析
1.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集与并集的定义，属于基础题．
利用集合交集求出
【解答】
解：因为集合
所以
则
故选：．
，
．
，，，
，然后并集的定义求出即可．
2.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了充分必要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题．
求解
【解答】
解：先看充分性：
，
，
充分性成立，
再看必要性：
，得出或，根据充分必要的定义判断即可得出答案．
第6页，共23页
，
或，
必要性不成立，
是
故选：．
的充分不必要条件，
3.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象分析，涉及函数定义域、函数的奇偶性、函数特殊值的判断，属于基础题．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除
【解答】
解：根据题意，
有
在区间
故选：．
上，
，其定义域为
，是偶函数，排除
，必有
，
，排除，
，
，再分析上函数值的符号，排除，即可得答案．
4.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了频率分布直方图的应用及频率的定义与应用，属于基础题．
由频率分布直方图先求频率，再求频数，即评分在区间
【解答】
解：由频率分布直方图知，
评分在区间内的影视作品的频率为，
内的影视作品数量即可．
第7页，共23页
故评分在区间
故选：．
内的影视作品数量是，
5.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了三个数比较大小，是基础题．
利用指数函数和对数函数的性质．分别判断出、、与和的大小关系，进而进行大小比较．
【解答】
解：
，
，
，
，
，
，
故选：．
，
6.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查球内接圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，由球的体积求出球的半径，再由直角三角形中的射影定理求得截面圆的半径，
代入圆锥体积公式得答案．
【解答】
第8页，共23页
解：如图，设球的半径为，
由题意，
可得
，
，则球的直径为，
两个圆锥的高之比为：，
，，
由直角三角形中的射影定理可得：
，即．
． 这两个圆锥的体积之和为
故选：．
7.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题．
对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．
【解答】
第9页，共23页
解：
，
，
，
，
故选：．
8.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．
由题意可得，的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛物
线的准线联立求出
率．
【解答】
解由题意可得抛物线的准线方程为
由
由题意可得：
，设，与轴分别交于，，
，
，的一半的表达式，由题意可得，的关系，进而求出双曲线的离心
，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得
，即，
可得解得：，所以，
可得：，所以，
所以可得
可得
所以
，
，
，
第10页，共23页
解得：，
， 所以双曲线的离心率
故选：．
9.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了余弦函数和二次函数，需要学生掌握分类讨论的思想，且本题综合性强，属于难题．
分，两种情况讨论，当
，
，
时，且
时，即
时，有个零点，
，有两个零点，当
，有
个零点，
时，即
【解答】
解：在区间
有个零点，当
时，有个零点，当有一个零点，综合两种情况，即可求解．
内恰有个零点
又二次方程最多有两个零点，
至少有四个根，
，
令，即
，
又，
，
即
当时，
，
，
，
，
，有个零点，即
，
，
，
，，
有个零点，即
第11页，共23页
，
当时，
有个零点，即
，
，
，
解得
当
当
当
，
时，
时，
时，
的对称轴，即
，
，
在对称轴的左边，
有两个零点，
有个零点，
．
，
，
无零点，
有个零点，
，
当
当
综合
时，即
时，即
可得，
故选
A
．
10.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算法则，直接计算即可得出答案．
【解答】
解：
，
故答案为：．
11.
【答案】
第12页，共23页
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函数,考查,答案,双曲线
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