2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学文科含答解析

2024年4月16日发(作者：深圳期末统考数学试卷分析)

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2017年普通高等学校招生统一考试（全国Ⅰ卷）

文科数学

一、选择题：本大题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1

．已知集合

A=



x|x2



，

B=



x|32x0



，则

A

．

A

C

．

A

【答案】A



B=



x|x





B





x|x



3





2



3





2



B

．

A

D

．

A

B



B=R

2

．

kg

）

x

2

，

…

，为评估一种农作物的种植效果，选了

n

块地作试验田．这

n

块地的亩产量（单位：分别为

x

1

，

x

n

，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A

．

x

1

，

x

2

，

…

，

x

n

的平均数

C

．

x

1

，

x

2

，

…

，

x

n

的最大值

【答案】B

【解析】

试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选

B

【考点】样本特征数

【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；

中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平；

平均数：反应一组数据的平均水平；

方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把

它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．

标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．

3

．下列各式的运算结果为纯虚数的是

B

．

x

1

，

x

2

，

…

，

x

n

的标准差

D

．

x

1

，

x

2

，

…

，

x

n

的中位数

A

．

i(1+i)

2

B

．

i

2

(1-i) C

．

(1+i)

2

D

．

i(1+i)

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【答案】C

4

．如图，正方形

ABCD

内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关

于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A

．

1

4

B

．

π

8

C

．

1

2

π

D

．

4

【答案】B

【解析】

试题分析：不妨设正方形边长为

a

，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面

1a





()

2

2





，选B． 积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为

2

a

2

8

【考点】几何概型

【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何

化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结

果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，

在几何概型中，

“

等可能

”

一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域

的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．

y

2

5

．已知

F

是双曲线

C

：

x1

的右焦点，

P

是

C

上一点，且

PF

与

x

轴垂直，点

A

的坐标是

(1

，

3)

，

3

2

则△

APF

的面积为

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1

A

．

3

【答案】

D

1

B

．

2

2

C

．

3

3

D

．

2

6

．如图，在下列四个正方体中，

A

，

B

为正方体的两个顶点，

M

，

N

，

Q

为所在棱的中点，则在这四个正

方体中，直接

AB

与平面

MNQ

不平行的是

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】A

【解析】

试题分析：由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，

AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．

【考点】空间位置关系判断

【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方

法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，

可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两

直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．

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

x3y3,



7

．设

x

，

y

满足约束条件



xy1,

则

z=x+y

的最大值为



y0,



A

．

0

【答案】D

B

．

1 C

．

2 D

．

3

8

．函数

y

sin2x

的部分图像大致为

1cosx

A

．

B

．

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C

．

D

．

【答案】C

9

．已知函数

f(x)lnxln(2x)

，则

A

．

f(x)

在（

0

，

2

）单调递增

B

．

f(x)

在（

0

，

2

）单调递减

C

．

y=

f(x)

的图像关于直线

x=1

对称

【答案】C

【解析】

D

．

y=

f(x)

的图像关于点（

1

，

0

）对称

试题分析：由题意知，

f(2x)ln(2x)lnxf(x)

，所以

f(x)

的图象关于直线

x1

对称，C正

确，D错误；又

f\'(x)

A，B错误，故选C．

【考点】函数性质

112(1x)



（

0x2

），在

(0,1)

上单调递增，在

[1,2)

上单调递减，

x2xx(2x)

【名师点睛】如果函数

f(x)

，

xD

，满足

xD

，恒有

f(ax)f(bx)

，那么函数的图象有

对称轴

x

ab

错误!未指定书签。；如果函数

f(x)

，

xD

，满足

xD

，恒有

2

ab

,0)

．

f(ax)f(bx)

，那么函数

f(x)

的图象有对称中心

(

2

和两个空白框中，可以分别

10

．如图是为了求出满足

3

n

2

n

1000

的最小偶数

n

，那么在

填入

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A

．

A>1000

和

n=n+1

C

．

A≤1000

和

n=n+1

【答案】D

B

．

A>1000

和

n=n+2

D

．

A≤1000

和

n=n+2

11

．△

ABC

的内角

A

、

B

、

C

的对边分别为

a

、

b

、

c

．已知

sinBsinA(sinCcosC)0

，

a=2

，

c=

2

，

则

C=

A

．

π

12

B

．

π

6

C

．

π

4

D

．

π

3

【答案】

B

【解析】

试题分析：由题意

sin(AC)sinA(sinCcosC)0

得

sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0

，

即

sinC(sinAcosA)



3



．

2sinCsin(A)0

，所以

A

4

4

由正弦定理

22

ac1





得，即

sinC

，得

C

，故选B．



sinAsinC

sin

3



sinC

26

4

【考点】解三角形

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【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要

抓住能够利用某个定理的信息．一般地，学科

*

网如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余

弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考

虑两个定理都有可能用到．

x

2

y

2

12

．设

A

、

B

是椭圆

C

：，则

m

的取值

1

长轴的两个端点，若

C

上存在点

M

满足∠

AMB=120°

3m

范围是

A

．

(0,1][9,)

C

．

(0,1][4,)

【答案】A

B

．

(0,3][9,)

D

．

(0,3][4,)

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分．

13

．已知向量

a

=

（

–1

，

2

），

b

=

（

m

，

1

）．若向量

a

+

b

与

a

垂直，则

m=________

．

【答案】7

【解析】

试题分析：由题得

ab(m1,3)

，因为

(ab)a0

，所以

(m1)230

，解得

m7

【考点】平面向量的坐标运算

，垂直向量

【名师点睛】如果

a

＝

(x

1

，

y

1

)

，

b

＝

(x

2

，

y

2

)(

b

≠

0

)

，则

a



b

的充要条件是

x

1

x

2

+y

1

y

2

＝

0

．

14

．曲线

yx

2

1

在点（

1

，

2

）处的切线方程为

______________

．

x

【答案】

yx1

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π

π

15

．已知

a(0，)

，

tan α=2

，则

cos(



)

=__________

．

4

2

【答案】

310

10

【解析】

试题分析：由

tan



2

得

sin



2cos



又

sin

2



cos

2



1

所以

cos

2





因为



(0,

1

5

)



2

所以

cos





因为

cos(





525

,sin





55



4

)cos



cos



4

sin



sin



4

所以

cos(







4

)

52252310



525210

【考点】三角函数求值

【名师点睛】三角函数求值的三种类型

（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．

（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．

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（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

16

．

SC

是球

O

的直径．

SA=AC

，已知三棱锥

S-ABC

的所有顶点都在球

O

的球面上，若平面

SCA⊥

平面

SCB

，

SB=BC

，三棱锥

S-ABC

的体积为

9

，则球

O

的表面积为

________

．

【答案】

36



形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距

离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，

顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，

例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．

三、解答题：共

70

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第

17~21

题为必考题，每个试题考

生都必须作答．第

22

、

23

题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

60

分．

17

．（

12

分）

记

S

n

为等比数列



a

n



的前

n

项和，已知

S

2

=2

，

S

3

=-6

．

（

1

）求



a

n



的通项公式；

（

2

）求

S

n

，并判断

S

n

+1

，

S

n

，

S

n

+2

是否成等差数列

．