拉马努金等式的证明及推广

2024年3月2日发(作者：地质大学数学试卷解析)

拉马努金等式的证明及推广

李尧其

【摘 要】对于拉马努金等式,本文首先应用数列极限的方法给出其收敛性的证明.再结合式中多重根号嵌套的结构,通过构造函数方程,给出一个推广的结果.并将这种方法推广到一般形式,最后得到了此类极限的收敛性的一般判别法.文中使用的方法,为无穷根号形式的极限问题提供了系统化思路,丰富了极限的表达形式.

【期刊名称】《大学数学》

【年(卷),期】2016(032)004

【总页数】5页(P118-122)

【关键词】拉马努金等式;极限;收敛性;函数方程

【作 者】李尧其

【作者单位】上海师范大学数理学院,上海200234

【正文语种】中 文

【中图分类】O171

拉马努金(Ramanujan，1887-1920)是印度历史上极其伟大的数学家.他自学成才，尤其痴迷数论，思维极有跳跃性.拉马努金1887年生于印度东部的埃德罗，10岁进入中学，接触了正式的数学教育，并很快展现出很高的数学天赋.1913年，拉马努金给剑桥大学三一学院的哈代(，1840-1928)写信，报告自己的数学研究成果，他的数学天才由此受到学术界重视.拉马努金一生贫困，33岁便英年早逝，死后留下5个笔记本.时至今日，藏在这些笔记本中的数学思想与方法依然在

被不断挖掘出来，并且应用到很多前沿领域.以下便是拉马努金发现的众多令人匪夷所思的等式中的一个

容易验证，对于自然数n，有

即由，得

初看拉马努金等式的结构，往往觉得证明无从入手.由于多层根号嵌套的形式，容易联想到以下这个结论

当x>1时，有

以上用函数方程的方法，实际上得到了原命题的一个推广结果.例如，取即得

将数列和函数方程的思路相结合，又可以得到另一种证法.

设，则{fn(x)}关于n递增.又因为

另一方面

设为正项数列，当n充分大之后都有成立.

首先，易见为递增数列.又

其次，对恒等变形

若收敛，设其极限为α，由的递增性得

反之，若收敛，设其极限为β. 由递增知βn≤β，从而cn≤e2nβ=(eβ)2n. 如此

总之，数列和同敛态.

反观拉马努金等式，记，相当于an=1,bn=n的情况，此时，由柯西准则可以证明收敛，从而收敛.猜想α和β之间满足某种关系，具体表达式有待进一步研究.

对于拉马努金等式，最容易想到的证明方法是利用数列极限.本文在这种方法的基础上，将其推广到一般的函数形式，这是一个自然的、也是重大的拓展.对于本文第五节中给出的一组同敛态数列，若此两个数列的极限果真有某种定量关系，则可由此轻易得到很多形如拉马努金等式的结果.

鉴于连分数理论的发展，笔者猜想形如拉马努金等式的“连根式”也会有一整套理

论值得探讨.目前尚未见到这方面的专门研究.这无疑将是对数论问题的一种有益的补充和完善.