2024年3月21日发(作者：初一七上数学试卷)
第40卷第2期 2021年3月
数学教学研究
43
数学最值题巧解显神奇
王晖
(安徽省灵璧县黄湾中学234213)
摘要：结合高考等实际数学案例，归纳总结了 14种求数学最值问题的方法，以求更好地掌握和理解最值问题的巧
妙解法.
关键词：解法归类；最值；解法例析
大家在学习数学知识的过程中，经常会遇到有
关求最值的问题，对于此类问题只要开拓思维，活用
方法，常常可以巧妙、简捷获解.下面举例分析，希望
读者从中能够受到有益的启示.
1利用一次函数的增减性求最值
一次函数>;=々了+
6
(
6
夫
0
)的自变量
T
的取值
范围是全体实数，图像是一条直线，因此没有最大
(小）值；不过，当
w
时.此时的一次函数的图
— 4
ac
—
b
2
②若
a
<
0
，当
J
： = 一
f
_
iac
~
b
2
^m»x_ 4
a
•
ia
时，
31
有最大值，
利用二次函数的上述性质，将具有二次函数关
系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质
进行计算，从而达到解决问题的目的.
例
2
在测量某物理量的过程中，因仪器和观
察的误差，使得〃次测量分别得到
a
,，
a
2共
像变成了一条线段，根据一次函数的增减性，就有最
大(小）值了.
例
1
某工程队要招聘甲、乙两个工种的个工
»个数据.我们规定所测得物理量的“最佳近似值
”a
是这样一个量：与其它近似值比较，
a
与各数据的差
的平方和最小，依此规定从
Ul
，
a2
，…，
a
,,推出《 =
人150人，甲、乙工种的工人的月工资分别是1600
元和
2000
元.现要求乙工种的人数不少于甲工种人
数的
2
倍.问甲、乙工种各招聘多少人时可使得每月
所付的工资最少？
解析设招聘甲工种的工人为
x
人，则乙工种
的工人为（150 —
x
)人.
由题意可得150 —
j
：>2_
r
，所以0<_
r
<50.
设所招聘的工人共需付月工资^元，则有
解析由题意
A = (a
一
a , )\' + (a —a2)2 +•.. +
(〇
—a„)~
=ncT
_
2
(u
i+a
2
+ …十
a
„
)a
a
~~
a
~~
•m
• ^
a
2,, »
于是由二次函数性质，当
：y
= 1600+ 2000 (150—
j
)
=—400
jt
+300000 (0
<50). 因为 y 随 x 的增大而减小，所以当 x = 50时. n n ------ 1 时 ，A 有最小值.即应填广+a2+，\"+夂 例3 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每曰 最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已 知生产 1 只玩具熊猫的成本为 R (元），售价每只 P (元），且尺， P 与 J 的关系式分别为 i ? = 500 + 30 j :， y mi„ = 100000 (元）. 2利用二次函数最值公式求最值 二次函数^二“:^+^+以“^“为常数且“夫 0 )性质中有： ①若 a 〉 0 ，当 ：r = _厂时，； y 有最小值， la \' 收稿日期： 2020 - 08-24 P = 170-2 jt . ( 1 )当日产量为多少时，每日获得的利润为 44 数学教学研究 第40卷第2期 2021年3月 1750 元； ( 2 )当日产量为多少时，可获得最大利润？最大 利润是多少？ 解析（1)根据题意有1750 = Rr — i?，BP (170 — 2 x )x — (500 + 30 j : ) = 1750， 整理得 • r2 — 70 :r + 1125 = 0, 解得■ r 1=25，: r 2=45(不合题意，舍去）. ( 2 )由题意知，利润为 Px - i ? = —2 x 2 + 140 x -500 = -2( x -35 )2 + 1950. 所以当_ r =35时，最大利润为1950元. 3利用判别式求最值 利用判别式求最值是一种较为常用的方法，过 程简捷，易于理解. 例 4 求 x ~~x ~r 丨 1 的最大值与最小值 . 解析本题要直接求最大值与最小值可谓困难 重重.若能够根据题意构造一个关于未知数 i 的一 元二次方程，再根据 x 是实数，推得 A > 0 ,进而求出 >的取值范围，并由此得出 > 的最值. 设: -J- + 1 +7 TT P 整理得 一 x + 1 = yx 2 + yx + y , 即 ( 1—y ) x 2 _ ( 1 + 3 ; ) x + 1 一 3 ; = 0 . 因为 i 是实数，所以即 (l+ ： y)2—4 (1—_y)2>0 ， 解得 所以~ JT r : 十 =- JT r | 十 l 1 的最大值是3,最小值是 〇 4 利用圆锥曲线定义求最值 当最值问题与圆锥曲线有关时，利用圆锥曲线 定义求解最值，不仅直观简便.而且快捷明了. 2 2 例5 已知椭圆 k + ^= l ,定点 A (2,0), B ( —1,1), M 为椭圆上任一点，求2 |iWA | + 丨 的最小值. 解析由椭圆定义.注意到离心率为可求出 ]^(-^—,1)，2|从4| +丨]^6|的最小值为9，如图1 所示. 5构造函数求最值 最值问题中一般都存在某些变量变化的过程， 因此它们的解往往离不开函数. 例6求代数式1^/1^的最大值与最小值. 解析 y =x y 1 — x 1，一 再令 ：r = sin a ，一 贝 lj 有 y =x v 1 —* r2 = sin a VT — sin “ a = sin a • cos a = —sin 2a . 所以 > 的最大值为 I ,最小值为一|. 即的最大值为 I ,最小值为一 6利用非负数的性质求最值 在实数范围内，显然有厂+々>々，当且仅 当^= 6 == 0 时，等号成立，即 y + M + zi :的最小值为 k . 例7设 a ， 6 为实数，那么 a 2 + a6 + 62 — a — 2b 的最小值为______. 解析 a 2+ a 6+62— a —2/; = alJrib - l ) aJrb 2-2 b = ( a +¥) 2 ++ 6 2-吾卜 + =(a H Z — )~ + — 4 (/; — l)2 — — 1 . 当 a + ’’ 2 1 = 0 ，/)— 1 = 0 ，即《=〇，/) = 1 时，上式等 号成立.故 a2 + a /?+//—“一 2 /;的最小值为一 1 . 7利用讨论法求最值 通过讨论然后进行比较判断是求最值常用的一 种方法 . 例8求函数—11 — U + 4 I —5的最大 第40卷第2期 2021年3月 数学教学研究 值. 解析先用零区间讨论法消去函数^中的绝对 值符号，然后求出^在各个区间上的最大值，再加以 比较，从中确定出整个定义域上的最大值. 易知该函数有两个零点 x = l，:r = —4. 当 _ r < —4 时， 3 ； = — (jr — l ) + (x + 4) —5 = 0; 当一4<: c 时 ，:y = —(:r —1) — U +4)—5 = —2 x — 8 ， 得一 10<;y = — 2 x — 8^0 ; 当 _ r>l 时 ，：y = (_r — 1 ) —(: r +4) —5= — 10 . 综上所述，当 x < — 4时有最大值, ymax = 0 . 例9 (2015年湖北卷）设 R ，[ x ]表示不超 过 x 的最大正整数.若存在实数 h 使得[ f ]= l ，[/2] = 2 ，_\",[/\"]=，；同时成立，则正整数 n 的最大值是 ( ). ( A )3 ( B )4 (05 ( D)6 解析由[ f ] = l ，得 l < z < 2 ;由[ f 2] = 2 ,得 2 < ，<3;由[«4] = 4,得 4<广<5;所以 d •由 |>3] = 3,得 3<; 3 <4,所以 6<^<4 V 5■.由|>5] = 5, 得5々 5 <6,这与6< f5 <4 A 矛盾，故正整数》的 最大值是4.应选 B . 例 10 (2014年辽宁卷）已知定义在[0，1]上的 函数/(• r )满足：①/( 0 )=/( 1 )= 0 ;②对所有 Xd 6 [ 0 ， 1 ]，且 _ r 关: y ，有 |/(： 1 .)—/(： y ) |< I . 若对所有： r ， 3 ； 6 [ 0 ， l ]， l /(: r )_/(： y；)| 恒成立， 则々的最小值为（ )• (A)j (B) t (C)^ (d)I 解析不妨令当+ 时，|/(_ r )—/(3〇|<去丨.厂 _y 丨<+; 当了 <1 — 时， =l[/(x)-/(l)]-[/(^)-/( 〇 )]l <|/(_ r )—/( l ) I + 1 /( 3 ；)—/( 0 )| 〇 | =j(l-_r) + } 广 + + }(厂 x)<|. 45 综上， l/h )—/(>) |<+ ，所以应选 B. 8利用不等式与判别式求最值 在不等式中， :r=a 是最大值，在不等式 x 中，是最小值 . 例11 已知： r ， 3> 为实数，且满足 x+y+w = 5 ， _r ： y+ ： yw+/Hx = 3, 求实数 w 的最大值与最小值 . 解析 由题意可得 X + y = b — m , ■sxy = 3 — rw(x+3^)=3 — w (5 — m ) = mz —5 w +3. 所以： r ，： y 是关于 / 的方程纟 2 — (5 —w)r + (m2 — 5 爪 + 3)=0 的两个实数根.所以 A=[-(5-// i )]2-4 (w2-5m+3)>0, 即 3w2 —10 m —13^0 ,解得一 所以，《的最大值是的最小值是一 i. 例12 (2014 年辽宁卷）对于 (•>0 ,当非零实数 a ，/)满足 4a - — 2a6 + 4/ 厂一 c=0 且使 |2a+6 | 最大 时，一 a 一 — b H c 的最小值为 . 解析设2 a + 6 = /，则2 a =〖一 /?，因为4“ “ _ 2 ab -~ ib ~ — c = 0 ，所以将 2a = / — 代人整理可得 6 心 2 —3\"出 2—c = 0 ( 1 ) 由 A > 0 解得一当 | 2“+M 取最大值时 ，z = ，代人（ 1 )式得 6 再由 2a =〖一 6 ,得，所以 ----- 3 4 , 5 ZyiO 4/10\" , 5 u b —--- c ------------------ f f 1 --- c 5 2/1〇 _ V 5 c VF vr - V2 )2-2 ^ — 2 , 当且仅当 r =|■时等号成立. 9数形结合求最值 在解决问题的过程中，将数量关系与图形性质 结合起来考虑，以“形”助数.可使问题变得简单、直 46 数学教学研究 第40卷第2期 2021年3月 观，降低解题难度，从而易于求解. 例13求满足 k + 3 — 3 i | 的辐角主值最 小的复数. 解析满足条件的复数是以（一#，■#)为圆 心、半径为 W 的圆上的点，如图 2 所示.于是问题转 化为求过原点与圆相切的直线的切点坐标. 2 ： = 3 ( cos 120 ° + isin 120 °) 3 — V r — 3 . 1 例14已知 ld =2,则 |z — i |的最大值为（ ）. ( A)l ( B )2 (05 ( D )3 解析如图3所7 K ，显见| z — i | max为圆心到点 ( 0 ， 1 )的距离与半径的和.故应选 D . 10 利用夹逼法求最值 在求解某些数学问题时 . 通过转化、变形和估 值，将有关量限制在某一数值范围内.再通过解不等 式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法 . 例15 不等边 AABC 的两边上的高分别为 4 和 12, 且第三边上的高为整数，那么此高的最大值 可能为 ________. 解析设 ^2,/ ： ) ， £\'3 边上高分别为 4 ， 12，/;. 因为 2S aabc = ，所以 “ =36. 又因为
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