初中数学培优专题四 三角函数应用解题模型

2024年4月14日发(作者：2020小学升初数学试卷)

专题四 三角函数应用解题模型

解题模型一 “独立”型

图形 关系式

针对训练

1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转

动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作

平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°

≈0.53）

解题模型二 “背靠背”型

图形 关系式

针对训练

2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（

说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？

+1）m．请计算

3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如

图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道

后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：

≈1.41，≈1.73）

4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁

大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需

要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已

知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程

将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）

5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿

是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，

再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．

6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直

线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．

（1）求支架CD的长；

（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）

7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，

BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB

内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）

解题模型三 “母抱子”型

图形

关系式

针对训练

8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观

之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观

景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河

路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°

≈2.14）

9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一

岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公

楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上

的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）

11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的

速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，

∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，

测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）

（1）求B，C的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠

CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么

钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°

≈1.33）

13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体

AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，

且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°

≈0.334，tan70.5°≈2.824）

14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一

热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟

后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离

AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道

路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，

所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在

AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，

∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否

超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°

≈2.90）

16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看

台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，

∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的

距离．（结果保留根号）

17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，

救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相

距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．

18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云

梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻

升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与

水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．

19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带

穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小

亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得

∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确

到1米，≈1.732）？

解题模型四 “斜截”型

图示：辅助线作法——延长四边形对边法

针对训练

20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥

型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角

是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD

为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）

21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥

方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张

桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索

（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已

知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．

（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．

22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，

且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线

CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果

保留根号）？

解题模型五 其他类型

23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，

太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光

线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．

（1）求楼间距AB；

（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°

≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个

过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA

1

表示小红身高1.5米．

（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；

（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，

米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C

1

D． 风筝的水平移动距离CF=10

25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），

将左边的门ABB

1

A

1

绕门轴AA

1

向里面旋转37°，将右边的门CDD

1

C

1

绕门轴DD

1

向外面旋转45°，

其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°

≈0.8，≈1.4）

26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽

3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM

长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．

（1）求点M到地面的距离；

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65

米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参

考数据：

≈1.73，结果精确到0.01米）

27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴

趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根

据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数

点后一位）

28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC

与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35

米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）

（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）

专题四 三角函数应用解题模型

解题模型一 “独立”型

图形 关系式

针对训练

1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转

动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作

平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°

≈0.53）

【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出

直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算

解题模型二 “背靠背”型

图形 关系式

针对训练

2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（

说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？

+1）m．请计算

【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此

题的关键．

3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如

图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道

后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：

≈1.41，≈1.73）

（2）∵cos30°=

∵tan45°=

，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×

（千米）.

（千米）.

，CD=40（千米），∴AD=

≈40+40×1.73=109.2（千米）. ∴AB=AD+BD=40+40

∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．

【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为

解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁

大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需

要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已

知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程

将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）

答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．

【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．

5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿

是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，

再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．

【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直

线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．

（1）求支架CD的长；

（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）

【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画

出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，

BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB

内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）

【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据

勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．

【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，

利用直角三角形的相关知识解答

解题模型三 “母抱子”型

图形

关系式

针对训练

8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观

之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观

景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河

路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°

≈2.14）

【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型

9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一

岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．

10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公

楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上

的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）

【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=

11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的

速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，

∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，

测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）

（1）求B，C的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

是解题关键.

【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，

由BD﹣CD求出BC的长即可；

（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．

解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，

∴tan31°=，即BD==40m.

在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，

∴tan50°=，即CD==20m.

∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.

则BC的距离为20m.

（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，

则此轿车没有超速．

【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠

CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么

钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°

≈1.33）

【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的

长度．

13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体

AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，

且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°

≈0.334，tan70.5°≈2.824）

【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键

14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一

热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟

后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离

AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角

△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．

【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三

角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．

15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道

路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，

所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在

AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，

∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否

超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°

≈2.90）

【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而

求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．

解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，

在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，

则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，

∴该汽车的实际速度为

又∵40km/h≈11.1m/s，

∴该车没有超速．

【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数

的定义是解本题的关键．

16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看

台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，

∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的

距离．（结果保留根号）

=11m/s.

【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．

解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．

∴BH=DH=30.

∴DC=DH+CH=30+10.

m和（30+10）m． 答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20

【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，

救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相

距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．

【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解

答．

18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云

梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻

升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与

水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．

【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构

造出直角三角形是解题的关键．

19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带

穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小

亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得

∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确

到1米，≈1.732）？

【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问

题加以计算

解题模型四 “斜截”型

图示：辅助线作法——延长四边形对边法

针对训练

20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥

型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角

是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD

为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）

解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．

【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．

21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥

方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张

桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索

（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已

知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．

（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．

∴AB=3BD=5×3=15.

在Rt△ABH中，∵∠B=45°，

∴BH=AH=AB=×15=15.

在Rt△ACH中，∵∠C=30°，

∴AC=2AH=30．

答：最长的斜拉索AC的长为30m．

【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直

角三角形转化为解直角三角形问题）．

22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，

且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线

CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果

保留根号）？

【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．

解：如图，延长OC，AB交于点P．

∵∠ABC=120°，

∴∠PBC=60°.

【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题

中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．

解题模型五 其他类型

23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，

太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光

线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．

（1）求楼间距AB；

（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°

≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．

24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个

过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA

1

表示小红身高1.5米．

（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；

（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，

米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C

1

D． 风筝的水平移动距离CF=10

答：此时风筝线AD的长度为12米.

方法二：设CD=x，

∵∠CAD=30°，

∴BE=AD=2CD=2x，AC===x.

∵CF=10，

x﹣10. ∴AF=AC﹣CF=

∵AB=9，

∴BF=AB+AF=9

∵∠EBF=45°，

∴由cos∠EBF=

解得x=12+

+x﹣10.

可得

，

+

+

．

=.

，即CD=12+

+=则C

1

D=CD+C

1

C=12+

答：风筝原来的高度C

1

D为（）米．

【小结】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意找到两

直角三角形间的关联．

25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），

将左边的门ABB

1

A

1

绕门轴AA

1

向里面旋转37°，将右边的门CDD

1

C

1

绕门轴DD

1

向外面旋转45°，

其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°

≈0.8，≈1.4）

∴BE∥CM.

又∵BE=CM，

∴四边形BEMC为平行四边形.

∴BC=EM，CM=BE．

在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，

∴EM=≈1.4.

∴B与C之间的距离约为1.4米．

【小结】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角

形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．

26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽

3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM

长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．

（1）求点M到地面的距离；

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65

米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参

考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）

∴ON=OM=0.6，∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9，即点M到地面的距离是3.9米

【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴

趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请

根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保

留小数点后一位）

【解析】在Rt△BED中可先求得BE的长，过点C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求

得EF的长，即可求得CD的长．

解：∵BN∥ED，

【小结】本题主要考查解直角三角形的应用，利用条件构造直角三角形是解题的关键，注意角度的

应用．

28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC

与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35

米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）

（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）

【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记

住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型。