高中数学教案:平面向量

2024年4月18日发(作者：2022南京中考数学试卷)

高中数学教案：平面向量

一、引言

平面向量是高中数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。本教案将介绍平面

向量的定义、运算及相关性质，并提供一些实例进行讲解。

二、平面向量的定义

1. 向量的概念

向量是由大小和方向共同决定的一种量。用有向线段表示，起点和终点分别表

示向量的方向和大小。

2. 平面向量的定义

平面向量是指在平面上具有大小和方向的向量。常用大写字母表示，如A、B

等。

三、平面向量的表示方法

1. 坐标表示法

平面上的点可以用坐标表示，因此平面向量也可以使用坐标表示。若A(x1, y1)

和B(x2, y2)是平面上的两个点，则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x2 -

x1，Δy = y2 - y1。

2. 特殊向量表示法

特殊向量包括零向量、单位向量和相反向量。

- 零向量用0表示，其大小为0，方向任意。

- 单位向量表示长度为1的向量，记作u。

- 相反向量指方向相反而大小相等的向量，记作-AB。

四、平面向量的运算

1. 加法运算

平面向量的加法满足交换律和结合律。即，对于两个向量AB和CD，有AB +

CD = CD + AB，(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)。

2. 数乘运算

平面向量的数乘运算是指将向量的大小与一个实数相乘。即，对于向量AB和

实数k，有kAB = ABk。

3. 减法运算

平面向量的减法是指将减数的相反向量与被减数相加得到差向量。即，对于向

量AB和向量CD，有AB - CD = AB + (-CD)。

五、平面向量的性质

1. 平行向量

若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

2. 共线向量

若两个向量共线，则它们的方向相同或相反。

3. 平面向量的数量积

平面向量的数量积是一个标量，记作AB·CD。数量积的计算公式为AB·CD =

|AB| |CD| cosθ，其中|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度，θ表示两个向量之

间的夹角。

4. 平面向量的向量积

平面向量的向量积是一个向量，表示两个向量所确定的平行四边形的面积。记

作AB × CD。向量积的大小为|AB × CD| = |AB| |CD| sinθ，方向垂直于平面上两个

向量所确定的平行四边形。

六、实例分析

1. 平面向量运算实例

假设有向量AB = (-2, 3)和向量CD = (1, -4)，求AB + CD和2AB。

解：AB + CD = (-2, 3) + (1, -4) = (-2 + 1, 3 - 4) = (-1, -1)。

2AB = 2(-2, 3) = (-4, 6)。

2. 平行向量实例

假设有向量AB = (3, -1)和向量CD = (6, -2)，判断AB和CD是否平行，并计算

它们的数量积。

解：两个向量的方向相同，且相应分量的比值相等：(3/6) = (-1/-2) = 1/2。因此，

AB和CD是平行向量。

AB·CD = (3, -1)·(6, -2) = 3*6 + (-1)*(-2) = 20。

七、总结

本教案介绍了高中数学中的平面向量。平面向量具有定义明确、运算简单等特

点，广泛应用于物理、几何等领域。通过本教案的学习，希望同学们能够掌握平面

向量的概念、表示方法、运算规则和相关性质，并能够运用平面向量解决实际问题。