希尔伯特23个数学问题

2024年3月19日发(作者：年级数学试卷上册的样板)

Hilbert 23个数学问题

在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲

演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学

问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数

学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得

到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信

念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12

问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学

分析。

[01]康托的连续统基数问题。

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假

设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系

统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P·Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独

立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

[02]算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计

划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G·Gentaen，

1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

[03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使

这两组四面体彼此全等德恩（M·Dehn）1900年已解决。

[04]两点间以直线为距离最短线问题。

此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏

联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

[05]拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。

这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，

由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，

日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

[06]对数学起重要作用的物理学的公理化。

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方

面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

[07]某些数的超越性的证明。

需证：如果



是代数数，



是无理数的代数数，那么



一定是超越数或至少是无理数



2

（例如，

2

和

e

）。苏联的盖尔芳德（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）



及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，