2023年12月7日发(作者：十堰郧阳中学高一数学试卷)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

若集合M{x∣x4},A.

x0x2

1x16

x3N{x∣3x1}，则MN（

）

B.

x1x2

3C.

x3x16 D.

2．若i(1z)1，则zz（ ）

A．2 B．1 C．1 D．2

CDn，则CB（ ） 3．在△ABC中，点D在边AB上，BD2DA．记CAm，A．3m2n B．2m3n C．3m2n D．2m3n

4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水2库水位为海拔148．0km；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为140．5m时，相应水面2的面积为180．0km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（72.65）（ ）

A．1.0109m3 B．1.2109m3 C．1.4109m3 D．1.6109m3

5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）

A． B． C．611123 D．23

6．记函数f(x)sinxπ2πb(0)的最小正周期为T．若且yf(x)Tπ，43的图像关于点3ππ,2中心对称，则f（ ）

2232A．1 B．7．设a0.1e0.1, C．1952 D．3

b，cln0.9，则（ ）

A．abc B．cba C．cab D．acb

8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l33，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）

A．18,8127812764,, B． C． D．[18,27]

44434二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知正方体ABCDA1B1C1D1，则（ ）

A．直线BC1与DA1所成的角为90 B．直线BC1与CA1所成的角为90

C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45 D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45

10．已知函数f(x)xx1，则（ ）

A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点

C．点(0,1)是曲线yf(x)的对称中心 D．直线y2x是曲线yf(x)的切线

11．已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2py(p0)上，过点B(0,1)的直线交C于P，Q两点，则（ ）

A．C的准线为y1 B．直线AB与C相切

C．|OP||OQ||OA D．|BP||BQ||BA|

2223

12.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)f(x).若fg(2x)均为偶函数，则（ ）

32x，2A．f(0)0 B．g10 C．f(1)f(4) D．g(1)g(2)

2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1y268．

(xy)的展开式中xy的系数为________________（用数字作答）x2214．写出与圆xy1和(x3)(y4)16都相切的一条直线的方程________________．

15．若曲线y(xa)e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

16．已知椭圆C:12x22xa22yb221(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|6，则ADE的周长是________________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

记Sn为数列an的前n项和，已知a11,（1）求an的通项公式；

（2）证明：1a11a21an2．

Sn1是公差为的等差数列．

3an18．（12分）

记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知232cosA1sinAsin2B1cos2B．

（1）若C2，求B；

（2）求abc2的最小值．

19．（12分）

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22．

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值．

20．（12分）

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

病例组

对照组

不够良好 良好

40

10

60

90

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：RP(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；

（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附：KPK2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，

2k

0.050 0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

21．（12分）

已知点A(2,1)在双曲线C:的斜率之和为0．

（1）求l的斜率；

（2）若tanPAQ22，求△PAQ的面积．

22．（12分）

已知函数f(x)eax和g(x)axlnx有相同的最小值．

（1）求a；

（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

xxa22y22a1直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ1(a1)上，2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D 2. D 3. B

4. C 5. D 6. A 7. C 8. C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. ABD 10. AC 11. BCD 12. BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. -28

14.

y34x54或y724x2524或x1

15.

,40,

16.

13

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（1）an1annn122

,

111212

nn1n1（2）1a1112nn1n1n∴1a2π61an1112122318.（1）；

（2）425．

19.（1）2

（2）32

n(adbc)220.

（1）由已知K又P(K22(ab)(cd)(ac)(bd)=200(40906010)50150100100224，

6.635)=0.01，246.635，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

（2）（i）因为RP(AB)P(B)P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(A)P(AB)，

所以RP(B)P(AB)P(AB)P(B)P(B)P(AB)

所以RP(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；

(ii)R6；

21.（1）1；

（2）1692．

22.（1）a1

（2）由（1）可得f(x)exx和g(x)xlnx的最小值为1ln11ln111.

当b1时，考虑exxb的解的个数、xlnxb的解的个数.

设Sxexb，Sxe1，

当x0时，Sx0，当x0时，Sx0，

故Sx在,0上为减函数，在0,上为增函数，

所以SxminS01b0，

而Sbebbxx0，Sbe2b，

bb设ube2b，其中b1，则ube20，

故ub在1,上为增函数，故ubu1e20，

故Sb0，故Sxexb有两个不同的零点，即exxb的解的个数为2.

设Txxlnxb，Txx1xx，

当0x1时，T¢(x)<0，当x1时，Tx0，

故Tx在(0,1)上为减函数，在1,上为增函数，

所以TxminT11b0，

而TeTbeb0，Teebb2b0，

xxlnxb有两个不同的零点即xlnxb的解的个数为2.

当b1，由（1）讨论可得xlnxb、exxb仅有一个零点，

当b1时，由（1）讨论可得xlnxb、exxb均无零点，

故若存在直线yb与曲线yfx、y=g(x)有三个不同的交点，

则b1.

设h(x)exlnx2x，其中x0，故h(x)e设sxex1，x0，则sxe10，

故sx在0,上为增函数，故sxs00即exx1，

所以h(x)x1x1210，所以h(x)在0,上为增函数，

1e31x1x2，

xx而h(1)e20，h()ee332e3e32e30，

故hx在0,上有且只有一个零点x，01e3x01且：

当0xx0时，hx0即exxxlnx即fxgx，

当xx0时，hx0即exxxlnx即fxgx，

因此若存在直线yb与曲线yfx、y=g(x)有三个不同交点，

故bfx0gx01，

此时exxb有两个不同的零点x1,x0(x10x0)，

此时xlnxb有两个不同的零点x0,x4(0x01x4)，

故ex1b，ex1x0x0b，x4lnx4b0，x0lnx0b0

4x所以x4blnx4即ebx4即ex4bx4bb0，

故x4b为方程exxb的解，同理x0b也为方程exxb的解

又ex1b可化为ex1x1x1b即x1lnx1b0即x1blnx1bb0，

故x1b为方程xlnxb的解，同理x0b也为方程xlnxb的解，

所以x1,x0x0b,x4b，而b1，

x0x4b故即x1x42x0.

x1x0b


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