2023年12月28日发(作者：高考数学试卷参数方程题)
2020年第12期中学数学研究-59
-2020年全国高考数学,（理）23题的解法探究广东省广州市铁一中学（511447）
范群1试题呈现(2020全国理科，卷23题)设a,b工&R,a
+%
+
9
二
0
,
a%9
=
1.
(
1 )证明：ab
+
be
+
ca
<0,(
2
)用
max
{a,%,c}表示
a, %,
c
的最大值，证明：max
ab
=
-4
-
t2
,
abc
=
-4
-
tc
=
1,
tc
=
-4
-
1
$0,可见
2
3
3c3
$4
,即c
$槡4,当且仅当1
=0，即a
=
%
=-牙时取
{
a,b,c}$
槡4.2试题证明首先证明第(1)题：证法1：因为a
+
%+ c二0
,
abc
=
1
,可见a,b,c不
全相等，a,b,c均不为零,a,b,c中一正两负，不妨设
a
<
%
<0
<
c,用a,b,c分别乘以a
+
%
+
c
=0的两边
有
a2
+
ab
+
%2
=
0
,%2
+
bc
+
c2
=
0
,c2
+
ca
+
a2
二
0
,以
上三式相加可得
-(ab
+
bc
+
ca
)
=2(
a2
+
%2
+
c2
)
>
0,可见 a%+
%
+
a <0.证法
2：
因
为
a,
%,
&
R,
a
+
%+
=0,
a%
=1
>
0，所以a,
%,c中必有两个负数,一个正数，不妨设
a
>0,
%<0,
<0,
有
a%+
%
+
a
=
a(
%+
)
+
%
=-
(
%+
)
2
+
%
=-
(
%2
+
%
+
2
)
=-
[
(
%+
)
2
+
宁c2
证法]
3：
(
a
+
%+
)2
=
a2
+
2
+
2
+2( a%+
%+
ca
)
=
0，可得
ab
+
bc
+
ca
=
-
}(
a2
+
%2
+
c2)
$0
,
等号成立的条件是当且仅当a二％
=
c二0,但是abc
二
1
,所以
a
=
%
=
c
二0
不成立，所以
ab+bc
+
ca
<
0.证法4：构造三次函数-二/(
%
=
(
%
_a)(
%
-
%)
(%
_
c
)，不妨设-=/(
%
=
(
%
-
a)
(
%
-
%)
(
%
-
c
),即
-==\"(兀)
=%3
-
(
a
+
%
+
c
)
%2
+
(
ab
+
bc
+
ca
)
%
-
abc
=%3
+
(
ab
+
bc
+
ca
)
%
-
1,显然，/
(
%
在[a,
%],
[%,c上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知
/\'(%在(a,b)中至少一个零点，在(%,c
)中至少一个
零点，可见/(
%
—共至少两个零点，而\'%
=3
%2
+
(
ab
+
bc
+
ca
)，令
@
(
%
=0，显然当且仅当
ab+bc
+
ca
<0时(%最多有两个零，此时必有ab
+
bc
+
a
<0.现证明第(2)题：证法1：如前所述，不妨设a
<%<0 % + c = 0 , abc = 1 ,令（方&R）,%7 于是=_「C等.证法2:考虑到a + % + c = 0, abc = 1,令 ■a 槡c = 1,{厂%Cc =7,1 其中方 <0.于是 a C + % C = ( a + %)Cc = —c C = 1 + 丄,显然 c3 =(方 + f-) = t2 + +2 =(t-廿 +4 $4 ，可得q$C，当且仅当1= -1 ,即a =%=—时取等号.证法 3 :假设 max {a, %, c } <<槡，由 a, %,c & R, abc = 1 ,轮换对称可设槡4 > a > 0 > % $ c, C > a = (-%) + ( _c ) $2 C% =2 C >2 £ =槡4,推出矛a c盾，所以max{a,b,c } $槡4,当且仅当a =槡4,% = c = -c时取等号.证法 4：因为 a, %, c & R, a + % + c = 0 , abc = 1 > 0,所以a,b,c中必有两个负数，一个正数，不妨设a >0,% <0 ,c < 0，所以有 max { a,b,c } = a,由 a,b,c & R,a + % + c = 0 , abc 二 1,可得:% + c = - a ,%c =—a,故 %,c可以看成方程%2 + a% + ^a = 0的两个根，所以# =a2 - —4a $0 化简整理得 a3 $4,即 max{a,b,c } $C3.证法 5：因为 a, %, c & R, a + % + c = 0 , abc = 1 > 0,所以a,b,c中必有两个负数，一个正数，不妨设a >0,% <0 ,c < 0，所以有 max { a,b,c } = a,由 a,b,c & R,a + % + c = 0, abc =1 ,可得 a + %+ £a 二％，化简得 ab2+a2 %+1二0,则％是上述方程的负根.记代% = a%2 + a2 % + 1,则该抛物线的开口向上，其对称方程 是% = -号<0，由根的分布的知识可得# = a4 -4a $0 ,所以 a $槡4，即 max{ a,% ,c } $槡4.
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方程,高考,条件,正数,全国
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