高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结

2024年3月21日发(作者：吉州区七下数学试卷)

高中数学圆的方程典型题型归纳总结

类型一：巧用圆系求圆的过程

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的

方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：

⑴以为圆心的同心圆系方程

⑵过直线与圆的交点的圆系方程

⑶过两圆和圆的交

点的圆系方程

此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，

谨防漏解。

当时，得到两圆公共弦所在直线方程

例1：已知圆与直线相交于两点，为

坐标原点，若，求实数的值。

分析：此题最易想到设出，由得到，利

用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。

倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚

好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线与圆的交点的圆系方程为：

，即

………………….①

依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线

上，则，解之可得

又满足方程①，则 故

例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方

程。

解：圆和的公共弦方程为

，即

过直线与圆的交点的圆系方程为

1

，即

评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆

的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则

类型二：直线与圆的位置关系

例5、若直线

yxm

与曲线

y4x

2

有且只有一个公共点，求实数

m

的取值范围.

代回圆系方程得所求圆方程

解：∵曲线

y4x

2

表示半圆

x

2

y

2

4(y0)

，∴利用数形结合法，可得实数

m

的取值范

例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并

求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意

两直线的交点。

解：由原方程得

m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①



x2y10



x9

解得



xy50



y4

， 即

围是

2m2

或

m22

.

变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=

解析：利用数形结合.

答案：－1＜k≤1或k=－

2

例6 圆

(x3)(y3)9

上到直线

3x4y110

的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解．或先求出直线

l

1

、

l

2

的方程，从代数计算中寻找解答．

解法一：圆

(x3)(y3)9

的圆心为

O

1

(3,3)

，半径

r3

．

设圆心

O

1

到直线

3x4y110

的距离为

d

，则

d

22

22

1y

2

恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.

∴直线过定点P（9，－4）

注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

例4已知圆C：（x－1）

2

＋（y－2）

2

＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－

4=0（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.

（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

2x+y－7=0， x=3，

∵m∈R，∴

x+y－4=0，

得

y=1，

即l恒过定点A（3，1）.

∵圆心C（1，2），｜AC｜＝

5

＜5（半径），

∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由k

AC

＝－

∴l的方程为2x－y－5=0.

2

334311

34

22

23

．

如图，在圆心

O

1

同侧，与直线

3x4y110

平行且距离为1的直线

l

1

与圆有两个交点，这

两个交点符合题意．

1

，

2

又

rd321

．

∴与直线

3x4y110

平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．

∴符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线

3x4y110

，且与之距离为1的直线和圆的交点．设

小值．

22

(x2)y1

，

P(x,y)

为圆上任一点．求(2)已知圆

O

2

：

y2

的最大、最小值，求

x2y

x1

所求直线为

3x4ym0

，则

d

m11

34

22

1

，

的最大、最小值．

分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．

解：(1)(法1)由圆的标准方程

(x3)(y4)1

．

22

∴

m115

，即

m6

，或

m16

，也即

l

1

：3x4y60

，或

l

2

：3x4y160

．

(x3)(y3)9

的圆心到直线

l

1

、

l

2

的距离为

d

1

、

d

2

，则 设圆

O

1

：

22



x3cos



,

可设圆的参数方程为



（



是参数）．

y4sin



,



则

dxy96cos



cos



168sin



sin



2222

d

1



33436

34

22

3

，

d

2



334316

34

22

1

．

266cos



8sin



2610cos(







)

（其中

tan





所以

d

max

261036

，

d

min

261016

．

4

）．

3

∴

l

1

与

O

1

相切，与圆

O

1

有一个公共点；

l

2

与圆

O

1

相交，与圆

O

1

有两个公共点．即符合题意的

点共3个．

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心

O

1

到直线

3x4y110

的距离为

d

，则

d

∴圆

O

1

到

3x4y110

距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的

d

是圆心到直线

3x4y110

的距离，

dr

，只能说明此直线与圆有

两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．

(法2)圆上点到原点距离的最大值

d

1

等于圆心到原点的距离

d

1

加上半径1，圆上点到原点距离

\'

334311

34

22

23

．

的最小值

d

2

等于圆心到原点的距离

d

1

减去半径1．

所以

d

1

3

2

4

2

16

．

\'

d

2

3

2

4

2

14

．

所以

d

max

36

．

d

min

16

．

类型三：圆中的最值问题

例7：圆

xy4x4y100

上的点到直线

xy140

的最大距离与最小距离的差是

22

解：∵圆

(x2)(y2)18

的圆心为（2，2），半径

r32

，∴圆心到直线的距离

22



x2cos



,

(2) (法1)由

(x2)y1

得圆的参数方程：





是参数．

ysin



,



22

则

y2sin



2sin



2

t

， ．令

x1cos



3cos



3

d

10

2

得

sin



tcos



23t

，

1t

2

sin(







)23t

52r

，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是



23t

1t

2

sin(







)1



3333

t

．

44

(dr)(dr)2r62

.

(x3)(y4)1

，

P(x,y)

为圆

O

上的动点，求

dxy

的最大、最例8 (1)已知圆

O

1

：

3

2222

所以

t

max



3333

，

t

min



．

44

即

3333

y2

的最大值为，最小值为．

44

x1

∵

xym0

恒成立

∴

cos



1sin



m0

即

m(1cos



sin



)

恒成立．

∴只须

m

不小于

(1cos



sin



)

的最大值．

设

u(sin



cos



)12sin(





∴

u

max

21

即

m

此时

x2y2cos



2sin



25cos(







)

．

所以

x2y

的最大值为

25

，最小值为

25

．

(法2)设

图所示，

y2

k

，则

kxyk20

．由于

P(x,y)

是圆上点，当直线与圆有交点时，如

x1



4

)1

21

．

说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆

(xa)(yb)r

上的点

设为

(arcos



,brsin



)

(



[0,2



)

)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可

以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．

两条切线的斜率分别是最大、最小值．

由

d

222

2kk2

1k

2

1

，得

k

33

．

4

所以

3333

y2

的最大值为，最小值为．

44

x1

令

x2yt

，同理两条切线在

x

轴上的截距分别是最大、最小值．

由

d

2m

5

1

，得

m25

．

所以

x2y

的最大值为

25

，最小值为

25

．

例9、已知对于圆

x(y1)1

上任一点

P(x,y)

，不等式

xym0

恒成立，求实数

m

的

取值范围．

设圆

x(y1)1

上任一点

P(cos



,1sin



)



[0,2



)

∴

xcos



，

y1sin



4

22

22