2024年3月13日发(作者：泰兴期末数学试卷分析)
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第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存
款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。
解：
S = 1000s¬
7%
+
Xs¬
7%
20p10p
20p
X =
50000 − 1000s
¬
7%
= 651
.
72
s¬
p7%
10
2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有
10000 = X + 250a¬
p1.5%
48
解得
X = 1489.36
1
3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i =。试计算该年金的现值。
n
解：
P V
= na¬
n
pi
1 − v
= n
1
n
n
(n + 1)n
− n
+2
=
(n + 1)
n
n2n
4．已知：a¬
p
n
= X，a¬
p
2n
= Y 。
试用X和Y 表示d 。
解： a¬
p
2n
= a¬
p
n
+ a¬
p
(1 − d)则
n
n
1
Y − X
d = 1 − (
X
)
n
5．已知：a¬
p
7
= 5.58238, a¬= 7.88687, a¬= 10.82760。计算i。
11p18p
解：
a¬
p
= a¬
p
+ a¬
p
v
7
18711
解得
=
i = 6.0%
10
¬
p
+a
∞
¬
p
6.证明：
1
1−v
10
s
s
10
¬
p
。
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证明：
10
s¬
p
+ a
∞
¬
p
=
s¬
10p
(1+i)
10
−1
+
1
i
(1+i)
10
−1
i
i
1
=
1 − v
10
7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半
年200元，然后减为每次100元。
解：
P V
= 100a¬+ 100a
20
¬
8
p3%
p
3%
= 2189.716
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然
后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，
后15年的年利率7%。计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日
=
1000¨
p8%
X¨
p7%
25
¬
15
¬
解得
X = 8101.65
8
9．已知贴现率为10%，计算¨¬
p
。
1−d
1
解： d = 10%，则 i
=
− 1 =
9
1
8
1 − v
¨¬
p
= (1 + i)
i
= 5.6953
8
10.求证：
(1) ¨¬
p
= a¬
p
+ 1 −
nn
v；
(2) ¨¬
p
= s¬ −
p
1 + (1 + i)
并给出两等式的实际解释。
n
n
nn
i
证明： (1)¨¬
p
=
−
v
=
−
v
=
−v
1
nd
n
1
i
n
1
n
+ 1
− v
n
n
1+i
所以
¨¬
p
= a¬
p
+ 1 − v
nn
(1+
n
n
(2)¨¬
p
=
i)
−1
d
n
(1+
i
)
n
−1
=
(1+i)
−1
n
− 1
=
i
1+i
i
+ (1 + i)
n
所以
¨¬
p
= s¬ −
p
1 + (1 + i)
nn
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12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利
率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终
值。
解：
P V
= 100a
49
¬
p1.5%
− 100a¬
2
p1.5%
= 3256.88
AV = 100s¬
1.5%
− 100s¬
p1.5%
= 6959.37
49p2
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每
年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金
额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v=，计算Y 。
101
2
解： 因两种年金价值相等，则有
a¬
i
+
a¬
i
v
10
=
Y a¬ −
i
Y a
10
¬
pi
v
10
30p10p30p
所以 Y =
−v
3
10
−2v
30
.8
14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另
外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。
1+v
10
−2v
30
= 1
解： 由题意知，
2a¬
pi
+ 3
a¬
pi
= 36
2nn
2a¬
pi
v
n
= 6
n
解得
7
3X
i = 8.33%
YZ
p
a¬
p
a¬
p
+ s¬
=
15.已
a¬
p
a¬
p
+ s¬
p
。求
X
，Y和Z。
知
解： 由题意得
1 − v
=
(1 + i)
− v
1 − v
11
(1 + i)
Z
− v
Y
解得
X = 4
, Y
= 7, Z = 4
11
7
X3
1530
16.化简a
15
¬
p
(1 + v+ v)。
解：
a¬
p
(1 + v+ v) = a¬
p
1530
1545
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17.计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的4月1日，然 后
每 半 年 一
次2000元，半年结算名利率9%。
4.5%
.
解： 年金在4月1日的价值为P
=
5%
×
2000 = 46444.44 ，则
1+4
P
P V
=
(1 + i)
2+
= 41300.657
2
3
18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i，写出递延时间的表达式。
解： 设递延时间为t，有
1
P =
i
v
t
ln
解得
t = −
ln(1+
iP
i
)
19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一
定的金额X，直至永远。计算X。
解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有
X
¬=
1000¨
20pi
v
i
29
解得
X = 1000((1 + i)
− (1 + i)
)
3010
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人
平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相
同。计算(1 + i)。
n
解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值
为
i
，而
D
得到遗产的现值为v。由题意得
a
3
¬
pi
n
n
1 − v
= v
3
n
n
所以
(1 + i)= 4
n
21.永 久 期 末 年 金 有A、B、C、和D四 人 分 摊，A接 受 第 一 个n年，B接
受 第 二
个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，
求B与D的份额之比。
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解： 由题意知
那么
P V
C
=
a¬
n
p
= 0.49
P V
A
v
2
n
P V
B
=
a¬
p
n
= 0.61
n
a¬
p
1n
3
v
n
P V
D
i
v
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最
后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。
v
100
a¬
n
p4.5%4
<
1000
解：
¬v
100a
+1p4.5%4
>
1000
列价值方程
n
16
解得 n = 17
+
100a¬
p4.5%
Xv1 = 1000
2
解得
X = 146.07
23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。
解： 两年金现值相等，则 4 × a¬
i
= 5
× 18，可知 v= 0.25
由题意， (1 + i)= 2 解得 n = 9
18
36p
n
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一
次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。
解： 由题意可得方程
100a¬
p1%
= 6000(1 + i)
−k
60
解得
k = 29
25.已知a¬
pi
= 1
.75，求i。
2
解： 由题意得
1 − v
= 1.75i
2
解得
i = 9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年
的期末年金为每年1072元。计算年利率。
解：
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27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支
取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，
且第十年底的余额为一万元，计算K 。
解： 由题意可得价值方程
10000 = 105Ka¬
p4%
v
3
+
Ka¬
p4%
+ 10000v
10
22
则 K =
10000−10000v
10
vv
105a¬
2
p4%3
+a¬
2
p4%5
= 979.94
28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，
前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。
解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程
1
P (1 + i)= X + 2Xa¬
pi
+ 2
Xa¬
pj
2
45
(1 + i)
−4
所以
X =
P (1 + i)
2
1
1 + 2a¬
pi
+ 2
a¬
pj
(1 + i)
−4
29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付
款2000元，共计8次。
45
解：
30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知
年利率为12%。（缺命令）
解：
P V
= 4 × 400 + 4 × 600v
5
= 11466.14
31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现
值表达式。
解：
32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：
P V
=
1
a¬
i
v
3
=
s¬
p
24p
4
(1 +
i
)
− 1
=
a¬ −a¬
p
(1 + i)
27
[(1 + i)
4
− 1]
s¬
p
+ s¬
p
24
28p4
31
i
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33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末
年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解： 设年实利率为i，则 (1 + 2%)= 1 + i。有题意得
2
750
+
750
=
Ra
30
¬
pi
i
i
s¬
pi
20
解得
R = 1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解： 由题意知
1
=
125
is¬
pi
91
3
解得
i = 20%
35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年
金，计算R。
解： 由题意得
1 R
20 =
=
d
a¬
pi
i
2
解得
R = 1.95
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延
时间。
1
解： 设贴现率为d，则1
=
2
(1 − d)
2
i
+
设递延时间为t，由题意
得
10000 = 2 × 500v¨
∞
¬
p
1
(2)
t
(2)
1
解得
37. 计算：3a¬
np
(2)
t =
ln 20 + ln(1 − (1 − d)
)
ln(1 − d)
2
= 2a
(2)
2np
¬
=
45s¬
1p
(2)
，计算 i 。
a
n
i
1
解：
i
3 ׬
pi
= 2
×
1
i
(2)
1
解得：v=
, i =
。
2
30
n
n
i
i
2
a¬
pi
= 45 × s¬
pi
i
2
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38.已 知i= 16%。计 算 以 下 期 初 年 金 的 现 值：现 在 开 始 每4个 月 付
(4)
款1元，
共12年。（问题）
解：
39.已知：δt =
1
。求¯¬
p
的表达式。
1+tn
解：
∫
n
n
¯¬
p
=
0
e
− R
t
δds
dt
= ln(1 + n)
0s
40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支
付一个货币单位，则两种年金的现值相等。
解： 第一种年金的现值为
∫
1
0
t
vdt =
1 − e
−δ
δ
第二种年金的现值为e
−δt
，
则
1 − e
−δ
= e
−δt
δ
所以 t = 1 +
δ
ln
δ
1
i
41.已知：δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。（结果和李凌飞的不同）
解： 设季度实利率为i。因 a(t) = e
δt
，则 e
4
δ
= (1 + i) 所以
1
1 − v
i
= 4030.53
P V
= 100¨¬
pi
= 100(1 + i)
80
80
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定
速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？
解： 设年实利率为i，则 i = e
δ
− 1
设基金可维持t年，由两现值相等得
40000 = 2400a¬
pi
t
解得
t = 28
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43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值
相等，计算该永久年金的现值。
11
(1+
7
解： 由题意：
(1+i)
6
2
13
11
=
i)
⇒ i =
2
P V
= v + 3v+
· · ·
+ (2n − 1)v+
· · ·
= v[1 +
P V
+ 2(v + v+
· · ·
)]
= v(1 +
P V
+
1−v
)
2
n
2
v
解得:
P V
= 66
44.给出现值表达式Aa¬
p
+ B (Da)
|
所代表的年金序列。用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。
nn
解： 年金序列：A + nB, A + (n − 1)
B, . . . , A
+ 2B, A + B
所求为25a¬+ 3(Da)
25p25
|
45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700
, . . . ,
350。已知半年结算名利率
为16％。若记：A = a¬
8%
，试用A表示这个年金的现值。
10p
解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：
2 × (10 − A)
i
(2)
= 6250 − 325A
300a¬
p8%
+ 500(Da)
|8%
= 300A +
1010
46. 年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第
十年底的余额。
解： 由题意：
AV =1000s¬
p8%
5
2
(1 + 8%)+ (1000 × 1.05 × 1.08+
65
45
1000 × 1.05× 1.08+
· · ·
+ 1000 × 1.05× 1.08)
(1 + 8%)
5
− 1
=100
1.08+ 1000 × 1.05 × 1.08
8%
0
1(
1.05
1.08
)
5
1
1.05
1.08
65
=16606.72
47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年
底各300元，依此类推。证明其现值为:
100
v
4
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i − vd
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解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久
年金. . .。从而
P V
=v
4
100
1 1
1
1
= 100
v
4
= 100v
i
a¬
pi
i
i 1 − v
2
i − vd
4
2
48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。
证明其现值为：
(4)
1600¨
p
(I¨)
(4)
1|
元
10
¬
证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m= 1600
从而每年初当年的年金现值：
2
1600(I¨)元
(4)(4)
1|
再贴现到开始时：
1600¨
10
¬
p
(I
(4)
¨)
(4)
1|
元
49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利
率8％，计算现值。
解： 半年的实利率：j = (1 + 8%)
2
1
− 1 = 3.923%
1.03
P V
= 1 +
1 + j
+
1.03
+
· · ·
(1 + j)
2
2
= (1 −
1 + j
)
−1
= 112.59
1
.
03
50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。
证明当前的准备金为：
6000¨
¬
(12)
9
/12|
4
p
¨
证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000 从而
每年初当年的年金现值：
6000¨
(12)
9/12|
贴现到当前：
6000¨
¬
(12)
9
/12|
4
p
¨
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51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三
个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。
解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0, 1, 2,
· · ·
):
每个年金的值为
Ra
∞
¬
p
在分散在每个k年的区段里：
Ra
∞|
a
k
|
再按标准永久年金求现值：
R(a
∞|
)
2
a
k
|
52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款
从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3,
· · ·
的现值。计算贴现率。
解： 由题意：
1
X
=
1
i 1+i
1 1
20
X = (
1
解得：i = 0.05
i
+
i
2
)
(1+i)
2
即：d =
i
1+i
= 0
.04762
53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v
4
= 0.75，计算现值。与原答
案有出入
解： (期初年金)
5
P V
= 1 + 6v+ 11v+
∑
∞
49
· · ·
=
(4
i=1
(5n − 4)v
n−4)
(1 − v)
−
4
= 64
=
42
1 − v
4
(期末年金)
P V
¨ = v + 6v
5
+ 11v
1
0 +
· · ·
= v ·
P V
59.5587
54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)
t
，年利率i，如果：0 < k < i ，计算该年
金现值。与原答案有出入
解： 由于0 < k < i，故下列广义积分收敛：
P V
=
∫
∞
∫
∞
1 + k
1
(1 + k)
t
e
−δt
dt
=
(
1 + i
)
t
dt
=
0 0
ln(1 + i) − ln(1 + k)
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=
∑
t=1
i
1
∑
n
1
∑
¨¬ −
t
p
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55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为t
2
− 1 ，利息力为(1 + t)
−1
，计算该年
金现值。与原答案有出入
解：
∫
1
∫
t
−1
P V
= exp(−
∫
14
1
dt)
(t
2
− 1) exp(−
1
0
1 + t
1
0
1 + s
ds)dt = 47.43
56. 给出下列符号的表达式:
∑
n
∑
n
t=1
(Ia)
t
|
和
(Da)
t
|
t=1
解： 由(Ia)
t
|
表达式有：
∑
n
(Ia)
|
t
=
t=1
=
ntv
t
n
¨
tp
¬ −tv
t
i
t=1
i
t=1
n
=
1
∑
1
展开求和即得
i
[(1 + i) − v
t
−1
]
−
i
(Ia)
n
|
2
t=1
=
1
[n(1 + i) −
2¨
¬
n
p
+ nv
n
]
i
2
由(Da)
t
|
表达式有：
∑
n
∑
n
t − a¬
t
p
t=1
(Da)
t
|
=
t=1
i
1
∑
n
∑
=
t
i
t −
n
1 − v
t=1
t=1
i
=
1 n(n + 1) −
1
i 2
i
(n − a¬
n
p
)
2
i
=
2
n
(n + 1) − n + a¬
n
p
i
2
57. 现有两种永久年金：A－金额为p的固定期末年金；B－金额为q, 2q, 3q,
· · ·
的
递增期末年金。分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利
率。
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解： 年金现值分别为：
P V
A
=
P V
B
=
p
=
pa
∞
¬
pi
q(Ia)
∞|
i
q q
=
i
+
i
2
(1)当
P V
=
P V
时有：
AB
ip = iq + q
解得：
,
q
i
=
p−q
p > q
i
不存在,
(2)令f(i) =
i
−
i
p
q
p ≤ q
−
q
i
2
f
(i) = −
0
p
+
q
i
2
i
2
+ 2 = 0
i
3
q
解得：i
=
q
2
p−q
p > q
58. 某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单
价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年
增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率?下面的计算年利
率i = 5%)(与原答案有出入)
解： 用9年一周期的产品，则有支付的现值为：
P V
1
= 2 × [1 + (
1
.
04 1
.
04 1
.
04
)
9
+ (
)
18
+ (
)
27
]
1.01.01.0
5 5 5
用15年一周期的产品，则有支付的现值为：
1
.
04
1
.
04
P V
= (2 + X) × [1 + (
1.0
)
15
+ (
1.0
)
30
]
5 5
由
P V
=
P V
有：X = 0.6992
2
12
59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利
率11%，s¬
7%
mp
= 34, s¬
p11%
= 128。
n
n
n
解： 由s¬
p
的表达式有：(1 + 0.11)= 0.11s¬
p11%
+ 1
n
AV = s¬
7%
×
(1 + 0.11)+ s¬
p11%
n
mpn
= s¬
p7%
×
(0.11s¬
p11%
+ 1) + s¬
p11%
mnn
= 640.72
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60. 甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每
年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所
有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股
票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也
是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售
时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。
解： 设X为买价，有价值方程：
0.4s¬
6%
+ 2 = 0.8s
−10|6%
+
X(1 + 0.06)
−(n−10)
10pn
从而有：
+ 2
X = (0.4s¬
p6%
− 0.8s
−10|6%
)(1 + 0.06)
n−10)
(
10n
解得：X =
5
.22
2
.48
n = 15
n = 20
61. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半
年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐
款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖
金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。
解： 由题意：
AV = 100000(1 + 4%)+ 5000
s¬
4%
− 12000(1 + 4%)
20p4%
= 109926.021
s¬
p4%
s¬
p4%
20
20p
s
¬
2
2
62. 已知贷款L经过N（偶数）次、每次K 元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少
一半，记每次的还款为K，试比较K与2K 的大小。
11
解： 由题意：
Ka¬
pi
= Ka
m
¬
pi
1m2
1
⇒ K= K [1 +
(1 + i)
m
] < 2K
1
63. 已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i 。如果将每次的还款额增加一倍，
比较新的还款次数与N/2的大小。
解： 由题意：
2Ka¬
i
Ka¬
i
MpNp
N
=
⇒ v=v
M
1 +
> v
2
2
N
即：M < N/2
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64. 从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问：
什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。
解： 半年实利率：i = (1 + 6%)
/2
− 1 = 2.9563% 余额首次超过X的时刻：
1
500¨
≥ X
2
n|i
8
X = 10000
从而解得：n ≈
35 X = 100000
65. 帐户A从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B从1985年元旦
开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B的余额首次超过帐
户A。
解： 由题意，设所求时间为n:
¬
1000¨
10p5%
≤
500¨
¬
n
p5%
解得：n − 1 ≥ 30故在2015年的元旦B超过A。
66. 已知A = s
|i
,
B = s
+1|i
。用A和B给出n和i的表达式。
nn
解： 由=
(1+
i)
n
−1
i
B
得：(1 + i)A = B − 1
A
从而i =
−A−1
带入s
|i
=
A解得：
n =
n
ln(
A
2
+1)
)
B2−A−1
ln(
B
−1
67.分别对以下三种情况给出i的表达式:
1)A = a¬
pi
, B
= s¬
pi
2)A = a¬
pi
, B
= a¬
pi
3)A = a¬
pi
, B
= s¬
pi
nn
n2n
n2n
A
√
解： 1)Bv= A ⇒ i =
B
n
n
A
− 1
√
−
A
B
2
2)ia¬
p
+
a
n|
= 2 ⇒ i =
2
3)v
n
B
= A + vA ⇒ i =
a
2n
|
nA
2n
n
√ 2B
A+
A
2
+4AB
− 1
n
68. 对于固定的n和L，且L > n，证明：L = a¬
p
在−1 < i < 1上有唯一解。
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证： (斯图姆判别？) 考虑如下现金流：初始时刻投入L,而后的n年每年末得到回
报1,从而此投资的内部收益率i满足
L = a¬
pi
n
由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在−1 < i < 1,有
唯一的内部收益率。
69. 证明：(Ia)
pi
+ (
Da)= (n + 1)a
pi
;
s
+1pi
=
i(Is)
pi
+ (
n + 1)。并给出实际
nninnn
背景解释。
n, n − 1,
· · ·
, 1
证： 1)实际意义：现金流拆分(n + 1), (n + 1),
· · ·
1) ⇔
, (n +
1, 2,
· · ·
, n
n
n
(Ia)
pi
Da)=
nni
+ (
¨¬ −
p
nv+
− a¬
p
i i
=
a¬
p
(
−
d
) +
n(1 − v)
i
= (n + 1)a¬
p
n
n
in
nd
n
n
2)实际意义：终值是本金(n + 1)和利息利滚利i(Is)
pi
的结果：
i(Is)
pi
n
+ (
s
+1|
− (n + 1)
+ (n + 1)
n + 1) = i
i
= s
+1|
n
n
70. 当i > 0, n > 0时，有：
(Ia)
pi
< [(n + 1)/2]a¬
pi
< (Da)
pi
nnn
证： 由69题有：[(Ia)
pi
+ (
Da)
pi
]
/2 = (n + 1)a¬
pi
/
2从而，只要证：
nnn
(Ia)
pi
<
(Da)
pi
nn
nn
(∗)
注意到：(Da)
pi
− (Ia)
pi
⇔ (n − 1), (n − 3),
· · ·
, −(n − 3), −(n − 1) 这年金
前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(∗)成立。
71. 某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划,当时年收入为18,000元，然后
每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退
休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年
平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。
2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种
退休金方式计算退休金的领取年限。
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解： 1)平均工资：$ = 18000(1 + 1.04 +
· · ·
+ 1.04)/37 = 39747.04
退休前一年的工资：18000 × (1 + 0.04)= 73870.79
法一：年退休金：0.7$ = 27822.93,比例为：37.66%
36
36
法二：年退休金：0.25$ × 37 = 36766.01,比例为：49.77%
2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：
∑
36
P = 18000 × 6% ×
设年退休金为R,则有：
t=0
(1 + 4%)(1 + 6%)
t36
−t
= 235871.7
R¨¬
p6%
≤ P
n
12
第一种方式
8
第二种方式
解得：n =
72.已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1 + 2元；第三年初1 + 2 + 3元；依此
类推；第n年初1 + 2 +
· · ·
+ n元。证明该年金的现值为
:¨
∞p
(I¨)
∞p
。
解： 进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两
份标准永久年金，
· · ·
,从第n年出发的n份标准永久年金
· · ·
。分别求各个子
现金流的现值得到如下的现金流：
¨
∞p
,
2¨
∞p
,
· · ·
, n¨
∞p
,
· · ·
其现值即为原年金的现值：¨
∞p
(I¨)
∞p
。
73.已知连续年金函数为f(t)，0时刻的年金为F，利息力δ，如果用F表示时刻t的
0t
年金终值，证明:
dF
t
dt
证： 由定义
t
= δF
+ f (t)
t
∫
t
t
∫
t
(
F=
0
f (s)e
t−s)δ
ds
= e
tδ
∫
t
0
0
f (s)e
−s)δ
ds
dF
dt
= δe
δt
f (s)e
−δs
ds
+ f(t) = δF+ f (t)
t
74. A从B处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年
底，B希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C，转卖价格
使C今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。
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解： A从B借款：季度实利率为i = (1 + 0.04)
/4
1
− 1
10000 = Ra¬
pi
40
B把后16次的还款卖给C：季度实利率为：i= (1 + 0.06)
/4
− 1
0
1
a
|i
P = Ra
|i
= 10000
a¬
pi
40
0
40
0
40
解得：P = 4303.1。
75. 现有两种年收益率相同的投资选择：A－第5年底收益800元，第10年底收
益100元；B－10年间每年底收益100元。如果投资A的成本为425元，计算投资B的
成本。
解： 投资A的价值方程：
C= 425 = 800v+ 100v
⇒ v
= 0.5
5105
A
投资B的价值方程：
1 − v
i
= 504.38
C= 100a¬= 100
10
B10p
76. 已知: a¬
p
= 3.982, a¬
p
= 6.680, a¬
p
= 8.507，计算利率i (有必要给出a¬
p
8.507吗？)。
5101515
=
解： 由a¬
p
的表达式易见：
n
a
2 −
a
10|
|
v=
10|
− 1 ⇒ a¬
p
=
i
a
|
5
5
a
5
5
解得：
i =
−
a
10|
= 0.081
a
|
a
5
2
2
5|
77. 某人有3700元的借款，今后在每月初还款325元，问：在一年内还清借款的可
接受年利率为多少？
解： 由题意：
325¨
12
¬
p
i
= 3700
解得：i = (1 + 0.00972)
− 1 = 12.31%
12
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78. 永久年金A有如下的年金方式：1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3,
· · ·
；永久年金B有如下的
年金方式：K, K, 2K, 2K, 3K, 3K,
· · ·
。如果两个年金的现值相等，计算K 。
解： 现金流拆分:
· ·
1
, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
·
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3,
3, · · · ⇔
0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
· · ·
· ·
0
, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1,
·
⇔
i
0, 0,
i
0, 0,
· · ·
1
,
1
,
· · ·
1
由此方式A的现值为：
P V
=
同理方式B的现值为：
P V
=
1
K
1
3
+
1
i
6
+
· · ·
i
1−
v
3
=
1
(
1
)
ii
+v
(
v
i
1−v
2
)
解得：K = a¬
p
2
(a¬
p
3
)
−1
79. 永久年金的年金方式为：1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 4,
· · ·
。每年底支付，假定年实利
率5%，计算现值。
解： 现金流拆分：
1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1,
4,
· · ·
· ·
(A)
1
, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
·
1
1
0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 3,
· · ·
(B)
现金流A的现值：
P V
=
i
现金流B的现值：
P V
= v+ 2v+
· · ·
= v
(1 − v
)
−2
求和得到：
P V
= 66.59
3633
2
80. 在5年中每年初存入100元。已知第5年底的余额为620元，计算单利率。
?
81. 实利率i满足以下条件：期初年金1, 2,
· · ·
, n − 1, n的现值为A；n年底的单位
支付的现值为iP 。试给出a¬
p
n
的表达式。
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