中国数学博大精深源远流长

2024年3月2日发(作者：学生数学试卷反思400)

中国数学博大精深源远流长如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标的图形，它由四个相同的直角三角形拼合而成．这也是我们的赵爽炫图赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》该书写了序言，并作了详细注释。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它详细解释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”。“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。[1]中国古代数学的辉煌成就法国数学家庞加莱曾经说过：“如果我们要想预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”同样的，如果我们想要学好这门课程，就必须对这门课程的历史和现状有所了解，否则就会使你的学习兴趣大打折扣。我认为只有对数学感兴趣的人才能学好数学，所以在我介绍数学学习方法之前用了很大一段篇幅介绍数学的历史和主要内容。但由于本书不是一本专门介绍数学史的书籍，所以在此不可能对数学的历史做一个全面的论述和讲解，只是做一个轮廓性的介绍，希望有兴趣的读者通过其它的途径了解更多的数学史方面的知识。就人类文明的发展历程而言，数字概念和语言交流肯定在人类文明形成的初期就开始出现，但究竟是先有语言，还是先有数字概念可能难以考证，也许没有必要考证，我只是想说：数学发展史和人类文明史一样长。下面我就数学史上的一些重要人物和事件做一个简单的介绍。一、中国数学史简介在远古时代，人类可能有了初步的语言交流，但是还没有文字，也没有数字。但是在人类活动中肯定会遇到“数”的应用，比如说打猎，就会遇到一头、两头等概念，从此就需要计数，远古的人们就会用石头、绳结等工具进行计数。

（一）、萌芽时期和初步发展阶段周代（公元前1000年左右）的《易经》就有记载：“上古结绳而治”。战国时期的学者庄周（约前369—约前286）在他的著作中也提过：“伏羲作结绳”。战国时期的另一个学者尸佼（约前390—约前330）在他的著作《尸子》中写道：“古者，倕为规、矩、准、绳，使天下仿焉。”“倕”是个人名，传说是距今4500年以前左右黄帝或唐尧时期的一个能工巧匠，从尸佼的描述可以看出，四千多年以前我们的祖先就已经有了作图的工具和“圆、方、平、直”的概念。其实在尸佼以前，春秋战国时期的学者墨子、孟子、荀子、韩非子等人都说过规矩方面的事情。规就是圆规，矩就是角尺一类的工具。甚至在汉朝武梁祠的浮雕中就能看到伏羲手执矩、女娲手执规的造型，所以中国人早就会说：“无规矩，何以成方圆？”汉代著名史学家司马迁（约前145或约前135—？）在他的《史记》中也曾说过：夏禹治水的时候，是“左准绳，右规矩”。这些记载都说明中国古代就有了计数和测量的概念、工具和方法。

汉朝武梁祠造像（规矩图）甲骨文中的数字在1899年出土的一片甲骨文（大约3000年以前的一种文字）上刻有：“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。”意思是说在八日辛亥那天的一次战争中，消灭了敌方二千六百五十六人。这句话向我传递了一个重要信息，那就是在3000年以前，我们的祖先就开始使用十进制！至于整数和分数的四则运算和应用，在春秋时期也已经达到了相对的水平，比如说“九九歌”，就是一个正整数乘法口诀。而在我国汉代的一本数学著作《周髀算经》中就有了负数的概念。而在这本书的第一章就记载了公元前1100年左右西周开国时期周公同一个名叫商高的人的一段对话。商高在对话中提到了“故折矩以为句广三、股修四、径偶五”，句就是古代的勾。这就是中国国古代的勾股定理：勾三股四弦五，又称商高定理。国外把这个定理称为毕达哥拉斯定理，其实古希腊的毕达哥拉斯比商高晚出生600多年。《九章算术》中国古代数学历史上的第二本书可能是《九章算术》，这是一部现在还有传本的经典著作，其作者和成书年代都很难考证，它的全称最早出现在公元179年的两个青铜器的铭文中。有些学者推测该书大概是公元前二世纪秦朝或西周时期的著作。它的出现标志着我国数学体系的完整形成。全书共分九章，所以称为《九章算术》。

第一章：方田。主要讲田亩面积的计算，并详细叙述了分数的计算法。第二章：粟米。主要讲各种粮食比例交换的计算法。第三章：衰分。主要讲按比例分配的问题。第四章：少广。讲开平方、开立方的计算方法。第五章：商功。讲各种形状物体的体积的计算方法。第六章：均输。讲怎样按人口、路途远近等条件合理安排各地的赋税和分派工程等问题的计算方法。第七章：盈不足。讲用假设有余或不足的方法来解决某些计算难度较大的问题。第八章：方程。讲联立一次方程组的普遍解法。第九章：勾股。讲勾股定理的应用及怎样利用相似直角三角形的相似比进行计算的问题，同时还讲了二次方程的普遍解法。从《九章算术》的目录及所讲的基本内容可以看出，我国在两千多年以前对计算方法的研究和应用已达到了相当的高度，尤其是第八章和第九章对一次方程组和二次方程的研究比欧洲早一千多年。正、负数的概念及运算法则，也是我国最早提出。《九章算术》的另一个特点就是学术研究和生产实际的紧密联系，显示了我国古代劳动人民的智慧和才能。这部书不但在中国数学史上同时也在世界数学史上占有相当重要的地位，一直受到中外数学史家的高度重视。在中国数学的萌芽时期，除了《周髀算经》和《九章算术》以外，还有战国时期齐国人撰写的《考工记》，其中记载了尺寸的分数比例，角度大小的区分，标准容器的计算等。墨子在他的自然科学巨著《墨经》中也提到了许多数学概念，特别是几何学方面的。如他所说的“圆，一周同长也”实际上就是圆的定义。（二）、繁荣时期从汉朝初年开始到隋朝中叶，随着社会生产的逐步扩大，我国的数学研究及应用进入了迅速发展的繁荣时期，其主要成就是：整理和注解《九章算术》；圆周率的计算；几何学的应用；编撰了更多的数学专著。这个时期出现的著名数学家有刘徽、祖冲之、祖暅等。刘徽是晋代时期的数学家，生卒年代不详，只知道他在公元263年（魏晋元四年）对《九章算术》加注。刘徽研究数学的最大特点是善于用文字讲清道理，用图形来解释各种问题。用现代语言讲就是善于用数形结合的思想解决数学问题。刘徽在数学方面有不少建树，其中最主要的成就就是用割圆术求圆周率。《九章算术》原来用3代表圆周率进行计算，很不精确，刘徽发现了这个错误。同时他又发明了“割圆术”：用正多边形去逼近圆。他首先从正六边形算起，再算正十二边形、正二十四边形，一直算到了正三千零七十二边形，求得圆周率是，相当于3.1416，刘徽认为只要不断把圆内接正多边形的边数扩大，就能算出精确的圆周率。这是世界上最早的极限思想。刘徽除了注解《九章算术》以外，还撰写了《重差术》一卷，《九章重差图》一卷。《重差术》是一部运用几何知识测量远处目标的高、远、深、广的数学著作，因为书的第一个问题是测量海岛的高度和距离的问题，所以该书也叫做《海岛算经》。在刘徽之后又出了一个大数学家，那就是祖冲之（公元429—公元500）。祖冲之

当过县令、校尉，制造过指南车、千里船、水碓磨等机械，是一位杰出的科学家。他判断出圆周率大于3.1415926，小于3.1415927，用现在的符号表示就是3.1415926＜＜3.1415927，这是一个非常了不起的成就。另外他还用两个非常简单的分数分别表示圆周率的近似值，即“约率”和“密率”：约率=，密率=。祖冲之祖冲之发现密率比欧洲人早了1100多年，直到现在还在使用，所以人们建议把密率改叫“祖率”。祖冲之还和他的儿子祖暅合著了《缀术》，这是一部水平很高的数学专著，可惜到了隋唐时代就失传了，这是中国数学的一大损失，但是祖暅在几何学上的两大成就却流传了下来，一是他发现了判断两个几何体体积相等的“祖暅原理”，比意大利数学卡瓦列利（1598—1647）的相同原理早了1200多年。祖暅的另一大贡献就是求出了球的体积，用现在的符号表示就是：

在古代数学的繁荣时期，我国数学家还编撰了大量数学著作，其中比较著名的有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《数术记遗》和《五经算术》等。这些数学著作总结了当时的数学成果，对后来的数学发展起了很大的作用。《孙子算经》有一个有趣的算术问题“物不知数”，大意是：有一堆物品，不知道共有多少；如果三个三个地数，则剩下两个；如果五个五个地数，则剩下三个；如果七个七个地数，则剩下两个。问这堆物品共有多少个？答数是二十三。书的后面还附有解题方法。后人将这个问题的解法编成了一首诗：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。第一句话是说用“三”数后的剩余数乘以七十，第二句话是说用“五”数后的剩余数乘以二十一，第三句话是说用“七”数后的剩余数乘以十五，第四句话是说把前面三个数加起来再减去一百零五的倍数便得到答案。用现在的数学语言讲，这是一个不定方程的求解问题或者说是一次同余问题，该问题很容易用初等数论的知识解决，但在当时是一个有一定难度的问题，而用诗歌的形式给出答案具有一定的趣味性，便于普及推广。后人把这首诗称为“孙子歌”，并传到了日本。（三）、鼎盛时期从隋朝中叶到元朝末年，大约七百年，我国的经济、科技、军事等得到了迅速的发展，从而要求数学提供更为精确简单的计算方法，数学发展到了一个盛极一时的时期。代数、几何都有许多新的成就，达到了同时代世界的最高水平，其主要成果有：全国建立了数学教育制度，学校设立数学专业；《算经十书》的编辑；数学新理论不断出现，比如高次方程的解法、隙积术和垛积术、大衍求一术等。从隋朝开始，学校开始开设数学专业。到了唐朝显庆元年（656年），国子监添设算学馆，设有博士、助教，指导学生学习数学。这就相当于现在的大学设立数学系，有教授、助教上课辅导学生学习数学。有了数学教育机构就要有数学教材。唐朝的数学家李淳风（？—714）等人奉命审定历代数学著作，作为国子监中算学馆的教科书。他们共审定了十部书：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》。这十部书被后人称为《算经十书》。国子监在规定了教材的基础上，定出了学习年限，每月举行考试，从而使我国的数学教育逐步正规完善，对数学的发展具有很重要的意义。这个时期的著名数学家有：王孝通、李淳风、一行、沈括、李治、贾宪、杨辉、秦九韶、郭守敬、朱世杰等。王孝通是唐朝数学家，著有《缉古算经》由叫做《缉古术》。他的研究集中在解方程的问题，主要成就是用三次方程来解决体积问题和勾股问题。一行（683—727）是唐朝的一位高僧，原名张遂，是一位著名的天文学家。他在

编纂历法的时候提出并运用了许多数学定理，如“不等间距的二次内插公式”等。沈括（1031—1095）是宋代的大科学家，著有《梦溪笔谈》等著作。他在数学方面的主要成就有“会圆术”，是最早提出由弦到矢的长度来求弧长的近似公式，开辟了球面三角法的途径。他还提出了“隙积术”，这是一种级数求和法。用现代数学符号表示就是：把若干个球垛积成一个长方台，最底层长有c个球，宽有d个球，第二层按间隙码放，以此类推至最顶层长有a个球，宽有b个球。垛放的高度有n层，那么垛积的球的总数S为：垛积图贾宪是宋代数学家，他的生卒年代不详，可能是十一世纪的人。他曾写过《黄帝九章算法细则》等书，但都失传了。而比他晚大约200年的杨辉就比他幸运多了。1261年杨辉著有《详解九章算术》，后来又著有《乘除通变本末》、《田亩比类乘法捷法》、《续古摘奇算法》等数学著作。杨辉在他的《详解九章算术》中载有“开方作法本源图”，用现代数学符号表示就是二项展开式的系数。

开方作法本源图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的系数为：这就是著名的杨辉三角。欧洲通常把它叫做帕斯卡三角，实际上杨辉比欧洲数学家帕斯卡（1623—1662）早了几百年，而杨辉自注说，这个方法出自《释锁算术》，贾宪也曾用过这个方法，所以我们不仅可以叫做杨辉三角，还可以叫做贾宪三角。李治（1192—1279）是宋朝的数学家，1248年著有《测圆海镜》十二卷，这是一部涉及代数、几何等多方面的数学著作。他的另一部著作是《益古演段》。这些书总结了当时的一些数学成就，对后来的数学研究具有重要意义。秦九韶（1202—1261）是宋朝最著名的数学家。他的父亲是宋朝的官吏，秦九韶从小就开始学习数学和天文历法。他著有《数书九章》十八卷，对“正负开方术”和“大衍求一术”研究得很深。“正负开方术”是数字高次方程的求正根法，西

方人五百年以后才研究出来。他的“大衍求一术”是用来求解不定方程的。秦九韶在求一次同余问题方面有特殊的创见，所以备受国内外数学家的称赞。西方直到十八世纪和十九世纪才由瑞士数学家欧拉（1707—1783）和德国数学家高斯（1777—1855）分别研究出相同的理论。所以外国科学家把一次同余理论称为“中国剩余定理”。郭守敬（1231—1316）是元朝天文学家、数学家和水利学家。他和王恂（1235—1281）、许衡（1209—1281）等人编制了《授时历》，在数学方面研究了“招差术”。关于日、月、五星运行不等速度的计算问题，他认为距离是时间的三次函数，用“招差术”可以解决这个问题。朱世杰也是元朝数学家，生卒年代不详。他在1299年著有《算学启蒙》三卷，1303年著有《四元玉鉴》三卷。在该书中，他总结并发展了前人的学说。对于高阶等差级数、多元高次方程的解法和“招差术”都有独到的研究。他的高阶等差求和法可用现代的方式表示如下：这是一个非常了不起的成就，这说明当时我国的数学研究，尤其是计算数学方面的研究遥遥领先于世界其他国家。