丘成桐中学数学奖辅导讲座

2023年12月17日发(作者：中考数学试卷最新浙江)

丘成桐中学数学奖辅导讲座

罗炜

摘要

指出了中学生做数学研究的一些步骤，提出了一些具体可以研究的问题。

数学研究的步骤

选择研究方向

首先应该想好要做基础数学问题还是应用数学问题，一般是根据自己或合作者的兴趣，数学基础来选择。基础数学还可以进一步细分为代数、分析、组合、数论、几何、概率等等。应用数学可以根据在哪个领域上的应用来分，比如，工程应用：包括计算机、互联网、通讯、信息及数码科技等。商业应用：包括经济、金融、物流、管理、决策、运筹学、交通运输等。科学应用：包括医药、物理、化学、生物、环境及健康问题。创新设计：包括图形设计、游戏等。也可以先不想好研究方向，做好下一步的搜集问题步骤以后再选择合适的题目。

搜集可供研究的题目

 从老师那里获得题目。

 从网络搜索获得题目，google, wikipedia。

 从杂志中获得题目，如：科学美国人，美国数学月刊等。

 浏览数学刊物的文章标题

 对已有的题目进行推广和变化。

 自己创造题目。

自己创造数学的实际应用题目可以从对某种感兴趣的现象开始，一般可以用数学公式描述的现象总有定量的或者逻辑的关系存在，问题的相关参数也一般可以用数来描述，可以是整数，分数，实数，复数，随机数，或者以长度，重量，速度，概率，形状，轨迹等形式出现。也有的应用问题寻求的一种优化的算法，结构，问题处理方式等。得到一个题目以后，应该通过设变量，简化等等方式把问题描述成一个明确的数学问题。

选择可行的题目

题目的选择应该考虑自己的兴趣，涉及到的背景知识，题目的难度，预期完成时间等因素。好的科研题目应该有很多可以变化的方向，对别的问题有帮助，或者有实际意义。 搜集文献

Google, wikipedia, 中文杂志，电子资源，问导师，问专家。

具体研究

先合理描述问题，做相应的假设使问题简化，计算一些例子，类比其他问题，找到可能方法，看实际运算结果；找规律，验证。

书写论文

一般不用写问题研究的中间过程，只要把你最后采纳的解决方法的内容、效果和优缺点等表达出来即可，文献和致谢部分不能忽略。注意语法和用词，格式。

一些具体的研究问题

日食周期问题

新闻说2009年7月22日的日全食是500年一遇，是否可以用数学来研究这个问题。需要用到立体几何的知识。地球上每个地点的日全食周期是否一样？月食的周期如何？

六子棋问题

高中数学联赛出过一道5子棋的问题，一般来说，棋盘上按“马”的走法放子，可以最经济的防止形成“五子连珠”。如果是防止“六子连珠”，经济的放子方法应该是什么？可以考虑其他的不含某种特定形状的经济的放子方法。应该用到组合、数论等知识。

孔明锁设计

六个适当雕刻的木条可以穿插在一起构成一个不容易打开的孔明锁，是否可以设计程序来构造一些孔明锁。要求不能随便打开，还要求能完全分开。

交通有关问题

如道路设计，通行的规则，怎样才能保证高效，不堵车，安全。公共交通线路的设计，调度安排，信号控制。图论，运筹学。

基础数学问题

数学竞赛问题，历史名题，公开题目，杂志征解，Erdos。太难就看特例或加条件，太简单就看能否推广。

算法问题

实现某一个目的的有效率的一个明确操作过程，要考虑适应性，时间空间花费。

去年的一些好问题

几何图形将平面、空间分成多少部分问题研究

直线，平面，圆，等等。

完全对称不等式的取等判定

可以更深入，做更多情形，可以用代数几何，多项式。不等式，等式的机器证明。计算代数。

投票的研究

关于“绝对多数选择”结论正确性的讨论；投票方式的研究与探讨；2008高考公平性研究；成绩判定和人员选择方法的公平性，容错性，保密性；

探究情报生命体的存在性：经济行为中的智能系统

这个问题比较高端，可以考虑简化的情形；设计比较智能化的投资方法，销售方法；

战争博弈

考虑简化的情形，比如设计电子竞技的策略规则系统，情报、防御、攻击、经济在战争中的运用和搭配，建立简单的模型，导出一些方程。

城市交通信号灯控制

怎样能让道路使用效率最大化？自动信号控制或者按需调节的信号控制，怎样让控制系统进行学习？容错性？

心理系数与其方程的提出、估算与拓展

或一种新的自信度估计；时髦的研究方向，心理系数是否可以理解为历史经验导致的目标预期范围？大系统长时间运行后个体心理系数的分布如何？

关于手工洗衣服时效率、需水量和方法的数学研究

有趣的问题，运筹学，操作方法的设计。