数学分析(下册)(华东师大第三版)

2024年1月25日发(作者：安徽中考概况数学试卷答案)

!!第十二章数项级数内容提要一!定义!给定一个数列!#对它的各项依次用$号连接起来的表示式!!%\"\"!!!!\"!#!&&\"!&&称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!数项级数!记作\"称数项级数!的通项#$\"!\"$\"\"或\"!\"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有#%#!!!$!$%&!\"!&!#!&!&!’反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#%#有!!!!&!!$!$&&&&%!\"%!#%!’%由此易得)若级数!收敛#则&’(*,)+*)’!$三!正项级数收敛性的判别方法部分和数列!有界#即存在某正数\"-正项级数!!!(\"!#!&!\"!&&收敛的充要条件是)\"\"对一切自然数\"有(\"%)#)##-比较判别法.-比较原则的极限形式或称比较判别法(/-达朗贝尔判别法’0-比较判别法的极限形式*!*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#或称根式判别法(1-柯西判别法’2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法\"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法\"-级数则级数!$收敛#\"$\"!\"\"绝对收敛#若\"!\"收敛#称级数!$发散#\"$\"!\"\"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧例!$%!设*\"证明)收敛’(*收敛#*%#\"#\"\"\"\"&)\"$\"\"$#!分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法##\"$$证明!$%%易知)*\"\"#\"*%\"!#&)\"\"\"\"#&)!’(收敛#*\"#’\"&)\"(#\"#$\"收敛’积分判别法(#又#\"\"&)\"\"$#$$#所以\"收敛#\"*\"\"\"$#\"$#由比较判别法知*\"收敛’(*%#\"#\"\"\"&)\"$#!,(+’例\"在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且$%&’(+%#,(!设+’,’%,$证明)级数绝对收敛#(\"+’\"\"$\"\"分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#,(#+’证明!由在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出,(&’(+%又+’,’%,((+%#+%%-%!+’+’将+’在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式,(\"’(#\"’(#’在与之间(((,(++’%!+’-%,!+.,++.,!\"%,+’#\"#\"又由题设+’在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$.,(.,($)!#+’于是,($$++’$!#\"#(.’,$$),+\"##$\"!\"因为令,+\"#则$$)*##+’(\"\"#\"\"收敛#故#\"\"$\"\"(绝对收敛#\"+’\"\"$\"\"*\"*

第十二章!数项级数历年考研真题评析!$$%题!中山大学#级数#%%1年(!’\"’!$\"*\"$\"\"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/&#&//\"###\"#都有&***’(’+%#\"!\"!\"!#!&!\"!/(\"分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#$证明!必要性!因为\"*\"$\"\"收敛#所以对*当\"#%及*0+%#有!#%#(%#%#特别地所以充分性!用反证法#若***$%$!\"!\"!\"!#!&!\"!’***%$!\"!\"!\"!#!&!\"!/$\"\"’!$***&’(’+%\"!\"!\"!#!&!\"!/(\"发散#则(使%#\"#%及自然数’#!*%#%#(%#\"*\"*!&!*$!$&\"\"!’%\"!\"特别地%\"+\"#\"\"及自然数/(\"#\"使**$&$!\"!\"!&!\"/%\"!\"\"#及自然数/使!56%#+(\"#\"(\"###%####**&$!\"!\"!&!\"!/$%\"##&&&&(这与&***’(’+%的假设矛盾#\"!\"!\"!#!&!\"!/\"\"’!$$%题\"同济大学#证明)级数#%%1年(!’,\"’(7\"8’)*,,%都是条件收敛的#\"\"\"$\"分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#,#此时,,为单调递减证明!不妨设,#%#则(%,#%#当\"#%,时#且8%%%#8’)#%#’)\"#\"\"$!\",数列#且&’(8’)+%#\"’!$\"$由莱布尼兹判别法知(7\"8’)收敛#\"’\"\"\"$\",,,\"而当\"#%,时#’(+8’)#%#&’(7\"8’)\"’!$\"\"$8’),\"+\"#,\"又\"\"$\",发散#由比较判别法知\"$$’)也发散#\"8\"\"$\",所以*,,%#级数(7\"8’)都是条件收敛的#\"’\"\"\"$\",课后习题全解!!!9\"!级数的收敛性并求其和数)-证明下列级数的收敛性#-\"*#*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#\"’(\"1\"1\"1&1\"1&+(’’(\"\"\"*\"1\"*11*\"0\"2/0\"1\"\"\"\"\"\"\"’(’#1(1’#1#(1&1’\"1\"(1&+#.#.#.’(.\"$\"+(’’(\"\"\"\"#11\"$\"$’(’+/\"1#2#!\"1\"1!\"(\"!\"$\"$\"2\"(#’0\"-\"#\"$\"(进行积分和差的转化#’(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#\"/!分析!’\"(\"(!解!’\"$$\"3$\"\"\"’\"2\"($\"(’’(03$\"0032/031\"32/031\"\"\"’\"(\"200\"1\"\"#于是($&故级数收敛且其和为\"(-’(\"$\"’$00\"\"(’(’#($\"$313\".3$\"#\"\"\"31\"3\"3$\"#3$\".\"\"\"\"\"\"2\"1\"2\"1\"##..\"\".$1$2\"2\"\"\"###4.\"2\"2#..#于是($&故级数收敛且其和为.(-’(\"$\"’$##\"\"\"-’(,\".($2’\"$\"\"(’(’(’((#3$\"331\"31\"’31#3$\"331\"31#$\",\"\"-2’(’(##\"1\"\"1#\"\"\"#于是($&故级数收敛且其和为\"(-’(\"$\"’$//\"’(/(\"$$31#2#!31\"1!3(\"’!3$\"\"\"31#2!31\"(31\"2!3(2\"’!\"’!3$\"3$\"(\"1#2!#(\"1\"2\"$’2’!!#1$\"2!\"\"1#1!\"1\"!于是(故级数收敛且其和为\"2!’(#-(##\"$&\"$\"2!\"’$#32\"#32\"’(0((\"$#\"2(\"$3\"2\"32\"#3$\"#3$\"#32\"#32\"##\"2\"$\"1\"32\"2\"$\"1\"323\"####3$#3$\"3$\"\"\"\"\"2\"\"*$*

第十二章!数项级数\"\"2\"2\"##\"2\"\"#\"2\"’(\"&#$\"12$.2\"2#2\"\"\"###\"2#于是($&故级数收敛且其和为.#’(-(\"$.\"’$若级数!则5-证明)5,%#.#\"\"发散#\"!\"也发散-#即(对任何%+:1#总有&%+:1和’!证明!因为级数\"!!\"发散#%#%%+:1使!66&!&\"1!
&1!&%’%1%1%1%所以65!&%1\"15!&1#1&15!&%1’%6$656!566&66!&1\"1!&1#1&1!&1%%%%’%!亦发散-\"5试问一定发散吗.又若!7都发散#!17(-设级数\"!与\"..\"’\"\"\"\"\"于是\"与7&(都是非\"$\"###\"’则能得出什么结论.负数#则不一定发散-!!解!若\"!\"#\"都发散#\"17\"(\"7\"’例如#\"和但((是收敛的+(是发散的#\"1’2\"2\"\"\"’\"’($\"1#\"\"和\"#是发散的#\"’\".亦是发散的-若!#7都发散且!&%#则发散-由柯西收敛准则#知(7&%#!17(!#!\"\"\"’\"\"\"\"\"%\"对任何的%+:1#总存在&%#使&\"+:1#%#’#%#!6$!6!&\"1!
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&1!&’’%1%1%1%%1%1%1%&%和76$76!&1\"17&1#1&17&1&1\"17&1#1&17&1\"\"\"\"’\"\"\"\"’\"&故(!!!6’1’1&1’176&1\"17&1\"(&1#17&1#(%&11’%%%%%%’%((&!!77$’1’&\"1!
&1!&&\"17
&&%’’%1%1%1%%1%1%1%即!17(必发散-\"’\"\"$若数列!收敛于*#则级数**#-证明)$*-/\"\"\"2*\"\"(\"2*1\"’\"$\"!分析!单项收敛则和也收敛#数列!收敛于*#即&’(**#!证明!由已知条件知#\"\"\"$*\"’$\"故从而\"’$(\"$*2*\"’33$\"3\"1($*\"2*\"\"1\"’$’(’(’’(($&(**$*\"$&\"2*\"\"(\"2&\"\"$*\"2*11\"’$\"’$若数列!有&则88-证明)’(-0\"\"\"$$#发散+’(级数\"88\"\"2\"(1\"’\"\"\"’(当8级数#2$-\",%时#\"888\"\"\"1\"(中间项相互抵消即可#分析!’#’(\"(因为证明!’\"(\"$8\"’3$\"3\"1828$83(\"\"2\"1’(’(’($&(88$$\"$&\"\"2\"(1\"’$\"’$*%*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#故8\"’\"\"1发散-28\"(\"’(当8#\",%时(\"$即故级数\"’83$\"\"3\"\"\"2$28883\"1\"\"\"1(’(($&(\"$\"’$\"\"\"’(2&$\"’$888\"\"\"\"1\"’8\"\"\"收敛于\"2-88\"\"1\"(-应用第/#0题的结果求下列级数的和)-1\"\"1\"+\"\"#1+’((’(\"#!!!!!!’2\"\"\"’(’((’\"\"1\"\"$\"*1\"2\"*1\"\"$\"$$$’(.-\"’(1\"-(,’\"1\"\"1\"###\"1\"\"$\"\"简化了问题#(积化和差将原式拆分#’(识记&’(#$%#\".!分析!’\"’$\"(因为\"!解!’$\"\"$\"\"$(’’*1\"2\"*1\"(\"’\"$\"$\"\"2*1\"2\"*1\"(而数列!\"收敛于%#故由第/题的结论#可知*1\"2\"\"$$2%$\"’(’*1\"2\"*1\"(*1\"2\"*\"$\"\"\"\"’(*,%(因为’#\"1\"\"\"#1’(2\"\"’($\"\"1\"\"$\"\"’(而数列22\"收敛于%#故\"$\"\"\"1’(’(2\"2\"(-,’222\"\"\"\"1\"$\"$!\"\"’(\"1\"2\"\"\"#1’(\"2\"($2\"2%$\"\"’\"1\"\"$\"$’(因为.$\"\"$\"#\"1\"##(,’’(-$\"1\"\"1\"1\"\",#\"2-#\"’(\"1\"1\"\"$\"\"1\"$而数列!\"收敛于%#故\"1\"#\"$#%\"’(,’(1\"-$\"1\"2$#\"1\"\"1\"###\"1\"\"\"\"$\"-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)-2\"\"\"#2’(\"+’)#2\"’(8+’(\"#!!!!\"#\"#\"#\"1\"\"’(\"2\"’’((./-\"\"+\"!#\"1\"(运用柯西准则进行判别#’(注意取\"分析!’应考虑合适的取法#\"/%时#*&*

第十二章!数项级数&1\"&1#&1’8’)#8’)#8’)#解!’(由于!6&\"!16$6&1\"1&1\"1!&1#1&1!&1’6&1#&1’###!!%\"\"\"\"\"\"1&1#1&1&1’$&2&1’%&######&1\"\"使得当&#%及*’+:1#因此#对任意的!#%由上式就有6!-取&$&&1\";<#!8’)#收敛故由柯西准则可推出-1!&1#1&1!&1%!成立#’6\"\"#\"\"#2’(\"\"\"#\"对任一2\"’(因故取!总存在&%#%#和’#&-%+:1#’($%$%$##\"’$##//\"1\"有\"##’(&%1\"\"!6$!$’&1\"6%##%(/#&%1\"1\",-\"由柯西准则可知\"\"\"#2’(\"发散2\"-##\"1\"故’(由于数列\"单调减小#.\"!\"!66$&1\"1!&1#1&1!&1%%%’%因此#取*!#%#\"\"\"\"2’(21&1’2\"&%1\"&%1#&%1’\"\"%&%1\"&%\"1\",!-%$当&%#%及’+:1时#都有6!&\"1!
&1!&%!成立-’6%1%1%1由柯西准则可知级数’(取/(2\"\"’\"\"\"收敛-\"#!#及取&%$#则当&%#%时#就有%#*%+:1#%$&%#’!%$’%\"3$\"\"##’&%13(&%13(1’!#’%\"3$\"’%3$\"\"’#&%13(!#’%$\"!#’&3$\"\"%13(\"!#’&\"$#!#%1&%(\"由柯西准则知\"\"#\"1\"!发散-#任给正数!存在某正整数%#对一切\"#%总有-证明级数\"!/3\"收敛的充要条件是)!-6%1!%1\"1&1!\"6%!!!分析!由结论6%1&1!\"6%\"的形式推出用柯西准则证明#则由柯西准则可知!证明!必要性!若\"!\"收敛#\"#&#%\"时有*!#%#(%\"+:1使得**’*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#!6&1\"1!&1#1&1!\"6%!取%#%\"1\"#则*有\"#%#!6%1!%1\"1&1!\"6%!充分性!若*\"#%#总有!#%#(%+:1#*/!!#6%1!%1\"1&\"6%!则*&#%及’+:1有!!6&1\"1!&1#1&1!&1’6!!16%1!%1\"1&1!&1%1!%1\"1&1!&6)6’6//#1!#$!%!由柯西准则知级数\"!\"收敛-形式不一样但含义一样#/#和\"都是表示无穷小的数#!小结!\"若级数!-举例说明).4\"\"对每个固定的’满足条件&’(’!$%#\"\"1&1!\"11’(\"’$此级数仍可能不收敛-\"对每一个固定自然数#!解!调和级数\"’有\"&’(\"’$\"\"\"’(’(’(11&1$&1&1&1&$%’(\"1\"\"1#\"1’\"1\"\"1#\"1’\"’$\"’$\"’$\"\"\"但该级数\"#是发散的-$\"加括号后级数!%-设级数\"!1!/\"\"满足)\"\"1#1&1!\"1\"(\"3331\"’3$\"收敛’(#且在同一括号的!&#符号相同#证明!\"!!\"$%\"\"#\"##\"31313\"1\"\"亦收敛-分析!证明\"!收敛需要证其和表达式(\"收敛于某数(#\"$(收敛#证明!因为级数则有!1&1!\"\"1!\"\"313#3\"11\"’3$\"($%!&’(’\"\"1!\"#1&1!\"\"313131\"’$’所以*总存在3+:1#使\"$\"时#有\"+:1#\")9)\"3193\"2\"3(1\"3\"2\"(\"$\"!:$\"$!\"’:$\"\"\":1((!!1!1’1!\"#1&1!\"\"\"#1&\":1:\"3\"3131119(!-$(3\"1’\"\"1!\"#1&1!\"23131319其中(从而有32\"’1$#-3\"表示加括号级数的前32\"项之和-当\"’$时#2($&’(’((-’(’’((-($&(!\"$&3\"1&\"\"1!\"#1&1!\"3\"2231313\"’$\"’$\"’$19\"’$故\"!\"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(3\"的极限一样得出结论#19#正项级数-应用比较原则判别下列级数的敛散性)-\"*(*

第十二章!数项级数’(\"\"(’.\"\"+#\"’(#8’)\"+#!!!!!!!!!!#\"\"1*.#\"#\"1\"!$+(’/\"\"$#\"+\"’&)\"(\"+’(’;8(0\"\"2=\"’(2(’(+*2\"*#\"!\"’\"\"\"+’(1\"\"\"\"!$\"’(3\"’&)\"(\"$#\"&)\"+2’(’’4*#%(-\"*\"1*\"2#(\"#(#\"\"将原式同\"比较得出结果#考虑8识记(’(’’(’)\"*\"##$##1!分析!’#\"\"数列是发.\".散的#’(先做代换;$\"#2\"(因为\"!解!’而正项级数’(因为#而正项级数’(因为.而正项级数’(因为/而正项级数’(因为0而正项级数\"%)\"\"#%#\"1*\"#\"\"\"收敛#所以级数#\"8’)%%#\"\"1*#\"#收敛-\"##\"$#..\"’$(’(!’\"\"\"##收敛所以级数-’)’(收敛#\"#8.\"\"1\"!\"##.\"&\"&%\"1\"\"\"1\"!#所以级数\"\"1\"发散#\"%%发散-\"\"’#(\"%\"!\"#>’(&)\"#收敛-\"’&)\"(\"#\"#\"收敛#所以级数\";8\"2=\"\"#\"\"#\"’1$(’(’\"收敛收敛#所以级数\"2=;8(-\"’\"\"\"\"$\"#\"故(%+:1#当\"#%时#有’(因为&’(!1\"$\"#\"’$\"%#!即而正项级数\"\"\"#\"\"\"!\"#发散-所以级数发散-\"#\"\"!\"\"\"\"\"’(因为2&’(\"’$令;$\"\"*2\"!\"\"\";;**&)*2\"’(’()*$&$&000000&;;;\"’%’%*)*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#而正项级数’(因为3而正项级数’(因为4\"\"\"发散#所以级数(发散-*2\"!\"’\"\"\"\"\"\"&)\"$&&)\"$&)\"&)’&)\"($&)’&)\"(%#’(\")&)’’&)\"(>(\"\">\"\"\"收敛#所以级数#\"\"’&)\"(\"&)\"收敛-\"\"#22’\"2##\"2*#\"(*\"1**&’(’($&\"’$\"’$\"(\"(##’’##\"\"\"’(000000&1;’%令;$\"#\"’;;2*2*;#&)*(($’##\"\"\"(#2’’(收敛-收敛#所以级数\"1*\"2#*\"#\"\"-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)-#(’(0**&*’#\"2\"\"1\"(\".+’(+’\"#!!!\"\"\"\"\"0%0\"+’’(’\"((\"./\"\"#\"\"+\"1\"#\"*.\"0+’(\"(+’01\"\"\"#\"\"而正项级数’(2\"’8*\"其中*’*’+且#(\"’$(*#8#*#%#*,8-(’\"\"\"\"(运用到’(根据*1分析!’,$>知识点#/\"1,(28不同取值情况考虑#&’(’,’%(!\"*.*&*’#\"1\"\"0\"\"1(因为!&解!’*\"’(’($&’&((0\"’$!\"’$\"1\"\"*.**’#\"2\"\"’($&#\"1\"$#\"’$\"1\"(\"*.*&*’#\"2\"发散-\"\"0所以由比式判别法知正项级数’(因为#&’(\"’(0!\"1#\"%\"1#\"\"1*’(’($&$&$1$\"\"1(0’\"’$!\"\"$$\"%\"\"’’\"%1\"(0’\"1\"所以由比式判别法知正项级数发散-\"\"\"%’(因为.&’(\"’$!\"\"\"\"’\"(’($&$%\"\"’$###\"1\"\"1\"(收敛-\"’#\"1\"\"所以由根式判别法知正项级数’(因为/\"\"’(0\"!\"1\"\"\"\"\"1*&’(’(’($&$&$%\"\"\"10’(\"’$!\"\"\"\"\">’$\"1\"’$\"’\"1(\"\"0收敛所以由比式判别法知正项级数-\"\"\"#’\"#\"(\"&’(!’(!$&’(!$!\"$&%\"\"’$\"’$\"’$###’(因为0\"\"\"*!**

第十二章!数项级数所以由根式判别法知正项级数’(因为1#\"收敛-\"\"#\"\"\"1(0\"’!.\"1\"\"\"1*&’(’($&\"\"\"1’(\"’$!\"’$\"1\".\"0\"’($&\"’$..$#\"\"(>\"’\"1\"所以由比式判别法知正项级数’(因为2\".\"0发散-\"\"\"\"88!&’(!’($\"$&\"’$\"’$**\"所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数\"’*8(\"收敛+当*%8时#正项级数\"8(\"’\"*\"发散-且存在正数%%#对一切\"#%%#有-设\"!-.\"和\"为正项级数#\"7!7\"\"\"\"11-)!7\"\"证明)若级数\"7\"收敛#则级数\"!\"也收敛+若\"!\"发散#则\"7也发散-\"!分析!运用比式判别法进行证明即可#7\"\"\"\"11#由题意#知当\"#%%时#有!即7!证明!若\"\"收敛#)!7\"\"%%故!%\"!!\"\"\"%11))&)777\"\"\"%1\"1%!%\"%17%\"%1*7\"#%%(\"\"!’1!\"\")1!%1\"而%是常数#所以由比式判别法知正项级数!同!\"亦收敛-若正项级数\"发散#\"\"7%\"1%理可证正项级数\"7\"亦发散-#证明*试问反之是否成立.-设正项级数\"*./\"收敛#\"\"亦收敛+’(**!证明!由正项级数\"\"收敛可知!!&\"$%\"’$即(%%+:1#当\"#%%时#有!!%)*\"%\"#从而%)*\"%*\"由比较原则可知#正项级数正项级数\"*#\"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数\"\"\"收敛#但#\"\"\"发散-##&#且!有界#证明*\"$\"###-设*\"*-0\"&%\"\"\"\"收敛-!有界%#可由此设%)\"\"**!分析!注意条件$\"\"\"%)再进行证明#有\"+:1#!证明!由题意可知()#%#*%)\"*\"%)*!!*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#即从而而级数%)*\"%#%)*\"%)\")##\"亦收敛-\"\"\"收敛#由比较原则可知级数#\"*#\"*\"#证明(也收敛--设级数\"**.1\"收敛#\"#%\"\"’有#!证明!对*\"#%及任意正整数\"%%而*\"#\"\"*\"1#)\"\"#’(\"*#\"\"#\"\"都收敛#故#\"\"*\"亦收敛-证明级数!!-设正项级数\"!-2\"收敛#\"\"\"也收敛-1\"!\"’(*8)*18#!分析!注意运用!##及任意正整数\"#有!证明!对!\"#%%)!!!\"\"\")1而级数\"’!\"1!\"\"(1#\"!\"收敛#故由比较原则知级数\"!!\"\"\"收敛-1!证明下列等式)-利用级数收敛的必要条件#.3\"0’\"#\"(’(+’(’(\"*#\"-&’((\"0$%!’#$%!!!#&0(’\"’$\"\"’$*\"\"(设!#则正项级数!\"!解!’\"$#\"\"$’\"0(\"\"\"是收敛的#这是因为#’\"0(&’(\"\"#1’(’\"!\"1\"\"0(\"\"\"1*\"1’(&’($&$#\"’(0-\"\"’$!\"’$,\"’$\"1\"\"1\"\"\"’($%\"\"\"故由柯西准则可知&!’(’(-\"$&#$%\"’$\"’$’\"0(00’’#\"(#\"(’(设!则正项级数!是收敛的#这是因为#\"$\"$\"0\"0\"\"**\"’’’(((0(’!#\"1\"*#\"1\"#\"1#\"\"1*&’(’(’($&$&$%’(0\"\"\"\"11’(0\"’$!\"’$\"’$#\"**\"00’#\"(故由柯西准则知&!’(’(\"0$%-\"$&\"’$\"’$*-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)-4(’\"\"\"\"+\"+(#!!!!!!!’#\"\"1\"\"1\"#$\"’’<#’()\"&)&)\"(\"$.\"&(运用积分判别法#’(分别讨论’1./!分析!’<的不同取值情况#’(.\"(’/\"(设\"!解!’\"+’(&)&)&)\"\"\"\"$.,($+’\",1\"#*!\"*

第十二章!数项级数则+’而,(在,\"#1$(上为非负递减函数#1\"1$?,##$/\"1,故由积分判别法知’(设#\"\"1\"收敛-#\",,1\"则+’而,(在,\"#1$(上为非负递减函数#,($+’#,&’(,*#$\",’$,1\"由’(设.1\"1$,\"发散于是由积分判别法知?,发散#-#\",1\"\"1\"#\"’,&),&)&),(则+’而,(在,.#1$(上为非负递减#,($+’1.1$,(?,$+’\"1.1$?,$’,&),&)&),(11$&)&).?!$1$!\"故由积分判别法知’(设/发散-\"\"’&)\"&)&)\"(\"$.,($+’\"<&),(’&)&),(,’’则+’,(在,.#1$(上非负递减-这时有$(若’$\"#?,<$.,&),’&)&),(当<#\"时级数收敛#当<)\"时级数发散-11$11$?!<&)&).!1$这时有%(若’,\"#?,’<$.,’&),(’&)&),(对任意的<#当’2\"#%时#取;#\"#有11$1?!&)&).>!’(\"!<2’\";*’!&’((<$%2’!’$>\"!!即该积分收敛#当’2\"%%时#有\";*’&’(!(<$1$2’!’$>\"!!即该积分发散-即对任意的<#当’#\"时级数收敛+当’%\"时级数发散-$&为递减正项数列#证明)级数**%-设!/\"\"\"\"\"与\"#*#&同时收敛或同时发散-\"$\"即可证=证发散也可类似此法#(!分析!首先证明(\")=\"#\"收敛2\"收敛+&正项级数则由于!为递减**!证明!设正项级数\"\"的部分和为(\"#\"\"\"#*#&的部分和为=\"#正项数列#即有*!#*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#(**1’1&1*\"$*\"1’#1*.(/1*01*11*2(\"\"2\"191&1*9(***1’1&’\"1’#1*.(/1*01*11*2(##)*999(**#$=\")#\"1##1&1#9!’)*故若正项级数\"#*&&#收敛#则正项级数\"*\"亦收敛-9时#反之当\"&#则\"299((**1&1’1\"1&1*\"&*\"1*#1’.1*/(##\"’\"99(****$=\"1##1//1&1###9##故若正项级数\"*\"收敛#则正项级数\"#*&&#亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对\"的取值分类讨论#\"-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性).\"(**&*’#\"2\"’(\".*\"+\"\"#*/*&*’(#\"#\"1\"\"0’((#,#%-!’\"’(’(&’,1\",1#,1\"((因为\"!解!’!\"\"1\"\"2’(!&\"’$!\"((**&*’*’\"*.*&*’#\"1\"#\"(#\"1\"-*#/’(,\"2$&(((*’\"’$#*/*&*’#\"1##\"1.\"*.*&*’#\"2\"(\"’1\"10.’(’$&$#\"((’\"’$#\"1##\"1.#所以由拉贝判别法知级数收敛-’(因为#’(!\"\"1\"\"2’(!&\"’$!\"\"’$’(’’(0(’(&’\"1\",1\",1#,1\"(’(\"\"2$&,’-((’(&’,1\",1#,1\"1\"\"0\",’($&$,\"’$,1\"1\"所以由拉贝判别法知+当,#\"时级数收敛+当,)\"时级数发散-\"\"222#-用根式判别法证明级数\"#-\"\"’(收敛#并说明比式判别法对此级数无效-!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#\"\"(22’2则#!证明!设!\"$#\"\"\"!&’(!’(\"$&\"’$\"’$#\"#!\"\"’\"(2$\"#由根式判别法知但\"!收敛#\"\"!(\"\"1\"#’\"212’(#$&\"’$!\"’$\"不存在#所以比式判别法对此级数无效-&’(*!$*

第十二章!数项级数其中’#\"().-求下列极限’.\"\"\"+&1\"11,’(’(’\"1\"\"1##\"(-\"\"\"’(11&1#-&’(’’’’(’(&’(\"\"’$’’’\"’$\"\"1\"#1#\"\"收敛由柯西准则知(因为’#\"#\"-!解!’\"\"’当\"#%时#有*!#%#(%+:1#\"\"&1\"’%!’1’’1’((’\"1\"\"1##\"(所以&’(\"’$\"\"\"$%1’1&1’(-,’((\"1\"\"1##\"’’’\"’(因为’#\"#级数由柯西准则知#\"’\"收敛#有*!#%#(%+:1使得对一切\"#%时#\"\"&1\"%!\"\"1\"#1#\"11’’’所以&’(\"’$’\"\"&1\"$%\"\"1\"#1#\"11’’’(#证明数列!’’&’\"与级数\"1*\"1*\"1*/-设*/\"\"#%\"(#(\"(\"同时收敛或同时发散-\"*只需证明一种即可#!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#’’&’\"与级数&有相同的敛散性-因而本\"1*\"1*\"1*\"1*!证明!由于数列!\"(#(\"(\"(\")’题只需证\"*\"和必有\"1*(的敛散性相同-这两者之一若收敛#)’\"&\"*&’(\"$%\"’$且当&*’(\"$%时\"’$\"1*&)’\"(&’($\"\"’$*\"与*)’\"1*(\"&\"&’\"与级数*有相同的敛散性-*(\"1*(\"\"#故由比较原则的推论可知\"\"有相同的敛散性-故数列!’’\"1*\"1\"(\"!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数条件收敛或发散的)-下列级数哪些是绝对收敛#-\"’(\"’(.\"\"\"+8’)\",+\"’(’(#\"2!!!!!!!\"\"0\"1\"\"’(2\"+\"\"1’\"’(/(8’)+2\"\"’\"\"#’(0\"’\"’(\"2\"+1\"\"!(\"’((\"1\"&)’2\"’(+1\"\"1\"*!%*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#\"%%\"+’(\"1\"\"#’(’(0,-2\"3\"2\"\"\".\"1\"-#’-#’(需要将’分为’.%%#\"\"#2%#1$(三段讨论#!分析!’再证条件收敛#’(通常是先证绝对收敛#1’(’((因为\"!解!’而所以\"\"0收敛#\"\"8’)\",\")0\"0\"8’)\",为绝对收敛-\"0’(因为#所以\"\"\"(2\"&’(’$\",%\"1\"\"’$(发散-2\"\"’\"1\"&’(\"’$\"’(2\"’1\"\"\"\"’(当’)%时.故这时级数发散-当’#\"时#由于,%\"’(2\"\"而\"1’\"$\"’\"\"\"\"收敛#故这时级数绝对收敛-’\"当%%’)\"时#令!!!\"$\"1’\"\"则\"’\"\"(1!\"\"\"\"\"\"\"1$$%\"\"!\"’’\"’\"1\"’\"’(’’\"\"1\"1(\"1\"\"1(\"\"\"1(\"\"\"\"\"\"而’\"1\"\"(’’\"’\"\"(’\"1\"\"’$(!’’>#\"#\"从而当\"充分大时#有!\"\"%!\"1即!为单调递减#又有!\"\"&’(!\"$%\"’$\"’(2\"在%%’)\"时条件收敛-\"1’\"\"’故由定理\"莱布尼茨判别法(可知#级数#-\"\"’(因为/而\"##’\"’(8’)2\"\"’$($\"\"#是单调递减且\"发散##即原级数不是绝对收敛级数#但8’)&’(8’)-$%\"\"’$\"\"\"!\"所以由莱布尼茨判别法可知’(由于0\"’(因为1(8’)2\"\"’\"\"#条件收敛-\"’(\"2\"\"发散#’(\"\"收敛#故发散-12\"\"\"\"\"\"!\"!’((\"1\"\"&)’#\"1\"\"1\"*!&*

第十二章!数项级数\"(’(()’\"1\"&)’\"发散#\"1\"2\"即不是绝对收敛级数#但&是单调\"\"1\"\"\"1\"\"1\"减且而!\"(&)’\"1\"&’($%\"’$\"1\"所以’(因为2所以’(因为3\"\"’((&)’\"1\"2\"条件收敛-\"1\"&’(\"’$\"’!\"%%#\"1\"\"1\".%\"($#.\"%%\"1\"\"#(2\"\"’.\"1\"’(绝对收敛-!\"\"16,66,6’($&$\"’$\"’$!\"\">\"’\"1(\"所以当6,6%>时#原级数绝对收敛+当6,6&>时#原级数发散-&’(-##应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性)\"’(’)\",,\"2\"((8(’(+(+\",#%#,+’%###!’&#%!!!’\"\"\"1,\"!’\"\"&#;8\",\"=(’’.\"2\"(\"-(对,进行不同取值情况的讨论#’(对原式进行逐级放大#最后得出一个上界#\".!分析!’(数列\"!解!’#!\",当,#%时有#\"\"1,\"%%同时#当%%,%\"时有\"\",,$\"\"%\"1,,\"\"\"\"1,,%\"\"\"1\"1,\"1,\",严格递减且有界+\"\"1,\"’(2\"#当,$\"时#原级数为满足莱布尼兹条件#即收敛+\"#\"有,#\"时#即!\"\"\"\"1,,\"\"#\"1\"1,\"1,\",严格递增且有界-\"\"1,\"’(2\"又由于故由阿贝尔判别法知原级数收敛-\"\"是收敛的#’(由于当,+’(时#有#%###即!\"$’)3,\"83$\")\",8’)#即而数列’)\",的部分和数列有界#\"8\"!\"’且(单调减#*#%*\"*!’*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#&’(故由狄利克雷判别法知原级数收敛-’(由于.\"\"3#\"*$%\"’$\"(=;83,2\"\"’3$\"$))\"3$\"\"3’(\"2\"3(=;8#3,1\"’2\"#3$\"#3’(2\"\"1##\"\"\"\"3$\"(=;8#3,2\"\"’33$\"\"\"1##\"\"1##;83’,(#1#\"=3$\"8’)’\"1$\"(’,(#1##\"2,##1##8’)#)\"1\",#1#’)/8#\"\"#部分和有界#而数列\"单调递减且&’(=;8\",’(-\"2$%\"\"\"’$\"故由狄利克雷判别法知原级数收敛-即!\"\"\"2#(且&*\"$\"##&(*-设*’(-证明级数\"’2\"..\"#%\"#*\"\"’\"$%1\"’$*\"1*#1&1*\"是收敛\"的-!证明!设则由所给条件知!\"2!\"\"1!\"$*\"1*#1&1*\"\"即数列!单调递减#且!\"\"#%#*\"1*#1&1*\"$%\"’$\"’$\"\"1*#1&1*\"\"\"*2故由莱布尼茨判别法可得出交错级数’(收敛-\"2\"\"!&’(’(\"$&(式所定义#证明)若!则级数3-设’-/\"#\"如’\"都是发散的-<\"\"条件收敛#\"’\"与\"

第十二章!数项级数-写出下列级数的乘积)/0$$’(’\"\"\",\"$\"\"\"2(’(2\"\"’\"$\"$\"\"2\",\"\"2\"’(\"(2\"((+’(’’#-\"0\"\"0\"$%\"\"$%$$再进行综合#!分析!分别先求%#&与%#&1\"#$\"\"\"\"22级数\"当6由柯西定理知这两个级数的((\",\"2\"#\",6%\"时绝对收敛#2\"!解!’\",和\"’\"$\"\"$\"乘积也绝对收敛#从而按对角线相乘$\"3\"\"3\"3\"\"\"322222(,’(’(-$,((,\"231\",3’\"231\"2\"2\"%\"$\"3’\"’3$\"3$\"当\"$#&时#&%#&$,$,#&2\"(2\"\"’3$\"#&23(3’#&231\"#&2\"&,’(’(’(((*’#&(#&2\"#&2#&’&1\"2\"1#2.1&1’2\"&2\"(((’(*#1’*&*\"2’#&2\"#&2#.1&1’&1\"&-1#2\"$,#&2\"*%$%当\"$#&1\"时##&1\"%#&1\"$,#&(2\"\"’3$\"#&1\"32(3’#&1\"231\"#&1\"$,#&,#&1\"#&1\"3#&1\"322(((31\"’3’#&231\"2\"2\"\"’3$\"3$\"-#&1\"$,#&(32\"\"’\"323$\"\"2#1.2/102&2#&1#&1\"$,,’’-#1/1&1#&(/111&1#&(1#2##3#&(&1\",$’$$$故$’\"\",\"$\"$\"\"2(’(2\"\"’\"$\"\"\"2\",\"\"2($(\"1\",\"’\"$%#\"#6,6%\"\"’(\"和2\"是绝对收敛的#故这两级数的乘积亦绝对收敛#且’(由于#\"0\"\"0\"$%\"\"$%\"’(\"(2\"’($’\"0\"\"0\"$%\"\"$%$$$\"\"$%’\"32(\"*’2\"(\"00’\"23(3$\"3$\"$\"1\"\"$\"$\"3’(’(\"0(2\"2\"’\"0’(0\"03$\"3\"23\"\"’(\"2\"$\"\"0\"($\"1\"’2\"\"$\"$$(最关键的一步是按对角线相乘可得出%\"!小结!’\"#\"\"\"’*8*18(#证明级数与绝对收敛且它们的乘积等于--.1\"\"\"00\"0\"$%\"\"$%\"\"$%$!证明!由于\"\"1**666*\"0(6&’(’’($&$%\"’(0\"’$\"’$\"1\"\"1\"*66*!)*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#\"\"*8故级数绝对收敛-同理亦绝对收敛#且\"\"00\"$%\"\"$%\"$$’\"\"*(’8($\"0\"0\"$%\"\"$%\"$$$\"\"$%$’3\"32*8($\"0’(03\"323$%\"\"’\"03\"3(*82\"\"’0(0\"\"32\"$%3$%$\"$\"\"1(-重排级数\"’2\"-2\"\"$%\"’*18(\"0\"#使它成为发散级数-\"!分析!注意将原式展开后进行适当的重新组合#引用括号且适当重排为!解!将原级数展开#1(2\"!\"’\"\"\"\"$\"2$\"2\"\"\"\"\"\"1(121&1’2\"1&#./\"\"\"’\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"121(1’1(2’111(1’111(%\"#\"/\"\".\"0#./1023\"4\"\"\"\"\"\"(’\"\"(&131&131\"131&131\"2!2&2’3133##1##/###\"#.#12112\"\"#33\"2这样#取!则(使\"时有3#%$%$##%及’%$#/!66$\"1!\"1\"1&1!\"1%%%’%$\"\"\"1&13313’(##1##1#%2\"’\"\"\"1&131\"313##1##2#3\"331\"#\"#2#$#’31\"#3(/#2\"//#2\"即这样重排后级数发散-,\"-!’(2\"证明)级数3-/\"\"收敛-引进新的级数进行表示#!分析!将原级数展开再进行适当的重新组合#!证明!由于,\"-!’\"\"\"\"\"\"\"\"\"2\"(\"\"$2\"2#2.1/1\"%!2\"\"\"\"\"\"\"2222111&\"\"\"#\".\"/\"0\"1\"2\"\"\"\"\"#(\"1\"1\"1’(1111$’2\"2\"#./0123’(’(\"\"\"\"\"\"\".(1111112\"1&!1’%\"\"\"#\".\"/\"04\"’(\"\"3&1#\"’(故引进一个级数!11\"2##\"331\"31#3’(且记则!3$\"\"\"1&1##1#331\"31#3\"\"#31\"&1\"#1#1#$#3333%%!3%*\"**

第十二章!数项级数故&’(!3$%且3’$!32!3\"$1’(\"\"\"!21’1&1’,’-(((’(31\"31\"1\"31\"1#31\"\"\"\"\"2’$\"2’2’(((31931\"19(31\"1#’31\"31\"1#31#####3####\"\"\"1&1##1#331\"31#39$%#3$2’2\"’(,’(19-(1#(1#31931\"31\"31\"’31\"31######31\"\"\"9$%#’(#31\"#2’#’##%##(-((,’31#331\"1#331\"1#31\"即数列!单调递减#则由莱布尼兹判别法知级数!\"\"$(!2\"\"’33收敛#因而设\"\"$\",\"-!’(2\"3(的部分和为(\"#’则有!2\"3的部分和为)%#\"\"!%’$(6(\"2)%6%1\"6)6)%1\"2)%6$6’%!’因此即因此级数’(\"’$(\"2)%’%(&’(’()%\"$&\"’$\"’$’(2\"收敛-\"!小结!利用莱布尼兹判别法可得出原级数部分和(\"是收敛的#\",\"-!总练习题若正项级数!且数列!单调#则&-证明)’(\"!!#-\"\"\"\"$%\"\"收敛#\"’$!分析!运用柯西准则将\"!\"收敛的数学表达方式表示出来#即&’(!#!证明!由于正项级数\"!\"收敛#\"$%\"’$故数列!单调递减#由柯西准则知*对一切\"#%#有!!#%#(%#\"\"/%%!!#%1\"1!%1#1&\"%!又当\"#%时从而当\"#%时/%%’\"2%(!#\")!%1\"1!%1#1&1!\"%!当\"##则%#因而故%%&#!%1:$\"###\"2%:&!\"#\"/!\"2%(!#\")’\"%!#’%%\"\"##%(!\"%!&’(\"!\"$%\"’$且成立不等式*-若级数\".#\"与\"都收敛#\"5&(#*\"$\"###\")8\")5\"!’若*#5都发散#试问8一定发散吗.\"8也收敛#\"\"\"可知亦收敛-再由%)82*52*(!证明!由于\"*#\"5收敛#\"’\"\"\"\"\"\"\"\"\"证明级数\"*8\"2\"知\"2)5\"’*\"!*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#收敛-故8*\"(\"\"$\"级数82*(*收敛-但当级数\"*#1\"\"’\"5都发散时#例如*$(15$2.\"8不一定发散#\"\"’\"\".都发散-若取83\"亦满足不等式*%8%5#而8$\"\"\"是发散-\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"’(’(2\"2\"若取8但级数#亦满足不等式*\"$\"%8\"%5\"#\"\"条件收敛#\"\"\"’(’(2\"2\"##若取8亦有但级数*85\"$\"\"\"%%\"\"#绝对收敛-\"#*\"且级数8证明级数*若上述条件中只知道8-若&’($3,%#..\"\"绝对收敛#\"\"也收敛#\"\"\"’$8\"收敛#能推出\"*\"收敛吗.**6\"\"6即&由比较原则知即*’(’(36#%#$6$3,%#!证明!由于&\"6收敛#\"6*\"\"也\"’$8\"’$68\"\"6收敛-若只知则而\"\"’(’(\"#2\"2\"则*设*881\"收敛#\"不一定收敛-例如#\"$\"$\"\"\"\"\"!!\"\"*\"(2\"\"’$($\"1’’\",%!’8\"\"!\"\"’(\"’(2\"2\"收敛#但*发散-1\"$\"\"!\"\"\"’\"8\"$\"!(’(\"\"1(设!且!能否断定!\"-’-/%\"#\"\"为正项级数#\"\"收敛.!\"!\"\"1’(对于级数!但可能条件收敛.#\"不绝对收敛#&\"#能否断定级数\"!\"\"有!\"’(设.\"!\"为收敛的正项级数#能否存在一个正数!使得#&’(!\"-$5#%\"’$\"\"1!\"!分析!本题考虑条件的充分必要性判断#\"#有(否-如!\"!解!’\"$\"!\"*\"\"\"\"1$$%\"!\"1\"\"\"1\"\"但\"!\"$\"\"\"发散-’(否-由#得知从而!\"\"1&\"!\"!!!6\"\"6\"6\"61&6&6#%&’(!\",%\"’$\"!\"发散-\"则有’(不一定-若取收敛级数.*!#%#\"\"\"#*\"\"*

第十二章!数项级数\"\"\"\"&’(’(\"2\"2$&!$%\"’$\"\"’$\"\"1!\"若级数*绝对收敛#则级数*-证明)888-0\"\"2\"(\"也收敛-1\"\"收敛#\"’\"\"*8!分析!由\"\"\"的部分和收敛证明结论#\"*(!证明!设\"\"的部分和为!!!\"$则\"*3$\"3\"*8\"*\"\"的部分和为\"\"\"233\"*83$\"$828\"’33$\"3\"1((8(\"31\"由\"收敛#即(因而()#%\"+:有-使*\"有界#6(\"6%)绝对收敛知收敛#即&#故可得88’(828\"(\"\"2\"(\"$%1\"’\"’$由8\"’\"\"18(\"$%&’(\"\"’$再由6’及88(88323\"(36323\"(11))’因而8\"’\"\"1绝对收敛知88(28\"(323\"(3收敛#1\"’\"*8\"\"收敛-*\"证明级数是收敛的-#-设*.1\"#%\"’(’&’\"1*\"1*\"1*\"#(\"(且其部分和!证明!该级数为正项级数#\"(\"$$\"3$\"\"3$\"*3(’&’’\"1*\"*\"1*1\"#(3(\"2’((\"1*\"1*3\"\"&’3(2\"\",’(&’\"1*\"1*\"-\"$\"2’%\"(&’\"1*\"1*\"\"(即数列!有界#故原级数收敛-(\"\"###若级数*则级数*且8*8-证明)/2\"收敛#\"和\"1\"(也收敛#\"\"与\"8\"\"\"’#’*8\"()\"\"\"**\"8#’’\"*18(()’\"*(#\"#\"\"\"#\"##\"\"###-1’\"(\"8\"!分析!注意运用柯西一施瓦兹不等式与闵可夫斯基不等式#####则有收敛#而*8!证明!由于\"*\"#\"收敛#\"1\"(\"8\"’*86\"\"6)故\"’##*8\"1\"(#\"*8\"\"\"绝对收敛-#又由于!*8\"1\"($\"’*1#*8\"’#\"\"\"#18$\"(\"*1\"81#\"*8#\"#\"\"\"故*18(收敛-\"’\"#*\"#*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#在柯西2施瓦兹不等式\"\"##3\"#3’*83()\"33$\"8\"**\"3$\"3$\"\"和闵可夫斯基不等式\"’####)’#1’8#*8313((\"’\"*3(\"3(\"\"\"\"3$\"3$\"3$\"中令\"’$取极限#即可得到所要证明的不等式-此步为关键#*8!小结!必须先判断\"\"\"是否绝对收敛#*\"$*

!!第十三章函数列与函数项级数内容提要一!函数列及其一致收敛性!\"-函数列收敛与一致收敛的概念设函数列!与函数+定义在同一数集>#\"\"+’(##对,+>#当\"#%时总有$称+\",(,(7+’,(*!#%#(数%’!#%#!$%\"’\"收敛于+#+记为+’#,(,(\"’$(,+>#’+’\"’’(#若对任给的正数!总存在某一自然数%#使得当\"#%时#对一切,+>#都有##,(7+’,($!$%\"’+则称函数列!在>上一致收敛于+#记作\"\"+’(’(#’’+,!\"’$,+>#,(\"’+#-函数列一致收敛的柯西准则函数列!在数集>上一致收敛的充要条件是)对任给正数!总存在正数使得当\"##%#&#\"\"+对一切,+>#都有$%时#,(7+,(#$%!\"’&’+.-函数列!+\"\"在数集>上一致收敛于+的充要条件\"’!$,+>,(7+’,(&’(8@$$+%#A\"’+二!函数项级数及其一致收敛性\"-函数项收敛与一致收敛的概念设!\"是定义在数集?上的函数项级数(,(\"’若!\"在数集,(的部分和函数列#(’,(\"!’\"\"\"’1$#则称(’为!的和函数#记为&#前’((>上收敛于(’,(,(,(,(,(,+>4?#$(’\"’\"\"’*\"%*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#称>为函数项级数的收敛域##-函数项一致收敛的柯西准则略#.-函数项级数的一致收敛性判别法或6#,(,(!,(,(#6(2(6%!1&1!6%!\"\"’\"\"’\"111’’’’若对充分大的\"#恒有实数*使得6B>’>C8DC588判别法)!,(6)*\"#\"’\"对@上任意的,都成$$并且数项级数立#\"*\"$\"\"收敛#则,(在@上一致收敛#\"!’\"\"$\"若在有限区间,上连续函数序列!\"收敛于连续函数(’而对,上E’)’定理)*#8-(,(,(*#8-\"’则!\"在,每一个,#(,(是单调数列#(,(*#8-上一致收敛于(’,(#\"’\"’若在@上’一致收敛#又对@中每一固定的,#数列&单调#而对任,(,(FG>&判别法)\"’\"\"’意\"和@中每一个,有6不依赖于,和\"的定数(#那么&在@上,(,(,(6)A’&\"’\"’’\"\"’一致收敛#$\"设’E’C’=H&>D判别法),(的部分和B,($3’\"\"’\"$\":$\"对@内每一固,(在@上一致有界#\"’’:数列&单调#并且函数列!\"在@上一致收敛于零#则&在@上定的,#,(,(,(,(&\"’\"’\"’’\"\"’一致收敛#四!一致收敛函数列的性质\"-函数极限与序列极限交换定理,(\"’+,’,%&’(+,(+*\"’\"’存在(*+&,(&’(’(+’#69,(,+C,(D’+’’’528%\"’$\",’,%即&(’’(&’(++&’(&’(,(,(#\"’\"’+,’,\"’$7:\"’$,’,%%讨论单侧极限时#只要把以上定理中的,+C与,’,’或C(D’D!’D7,%,%分别改为C%(!7(与,’,或,’,即可#’,%(%’%(#-连续性定理若函数列!在区间E上一致收敛#且它的每一项都在E上连续#则其极限函数+也在E上\"\"+连续#.-逐项求积定理若函数列!在,上一致收敛#且它的每一项都在,上连续#则--*#8*#8\"\"+注!若函数列!的每一项都在,上可积#相应定理结论也成立#*#8-\"\"+18*\"’$,(?,$&,(?,#&’(’(+\"’\"’+\"’$*18/-逐项求导定理设函数列!定义在区间,上#若,为函数列!的一个收敛点#!的每一*#8-*#8-\"\"%+,\"\"\"\"+++项在,上有连续的导数#且!在,上一致收敛#则-*#8-*#8-\"\"+?’?(&’(+&’(+\"’,(,(#\"’+\"’$??,\"’$,*\"&*

第十三章!函数列与函数项级数五!函数项级数的性质\"-逐项求极限定理#-连续性定理.-逐项求积定理/-逐项求导定理典型例题与解题技巧例!$%!求下列函数项级数的收敛域)’(\"\"$\"+\"\"$\"\"1,$\"#\"’((’#,#1,1\"\"’(\"$\"\"\"1\"解题分析!本题考查函数项级数收敛域的基本求法#\"!,(66\"\"’6\"1,61(!&解题过程!’\"’(&’($\"\"1\"’$6\"’$6!,(\"1,6\"’6$8\"#:不存在#9\"%\"#6,6#\",66$,(收敛\"!’\"\"$\"2\"%,)\"方法失效方法失效,$2\"$\"2!%’当6,6%\"时##!,($\"’$(I\"!,(发散#\"’\"’\";’\"1,\"$\"\"2’当,$\"时##!,(;\"’$(I\"!,(发散#’!%\"’\"’#\"$\"$$当,$2\"时#,(不存在#I&’(!\"’\"’$$,(发散#\"!’\"\"$\"故\"\"1,\"$\"\"\"\"的收敛域为’(<’\"\"##2$#1$(’(&’(!’(#!,(6$&6\"’\"\"’$’$!\"\"\"#’#(’(,1,1\"$,1,1\"\"\"1\"$#(当,即’,1\",%%22\"%,%%时\"!,(收敛#1,1\"%\"#\"’\"$\"\"\"令,$%#原级数$收敛#令,$2\"#原级数$收敛#故\"\"’(’(\"$\"\"\"1\"\"$\"\"\"1\"$$$-,(的收敛域为,%#2\"#\"!’\"#\"例\"在%),)\"是否一致收敛.$%,(+,7,!+\"’解题分析!考查区间收敛与一致收敛的逻辑关系注意联系闭区间连续性与一致连续的关系#\"$\"\"\"#\"\"7\"\"解题过程!这里&#令+得(’(’(+&’(’+%++’,\"7#+%#-,(,7,,(%),)\"#,(+\",\"’\"’+\"’$\"’$\"由于’(#\"((所以#在,取极大值#,%而+%++\",(+%#\"+\"#\",&\"’\"’\"+\"点+\"’+##!!*\"’*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#%),)\"\"#\",(7+’,(,7,8@@$+8$+A$A$\"’+%),)\"’(’(\"\"7###+\"/所以,+,*#8-#,(+’,(%),)\"\"’+’=’当8只好诉之于一致或不一致收敛的定义或柯西准则#从@,(7+’,(A$$不好求时#\"’+\"#\"函数列在有限闭区间上收敛#未必一致收敛#!在,上就是上例题也可看出#\",7,%#\"-这与有限闭区间上连续函数一定一致连续不同#如此#历年考研真题评析!题!北京大学#设在,上#一致收敛于+’#一致收敛于F’$%-#%%1年(*#8,(,(,(,(#若存在!’\"’\"’+F正数列!#使得$’-#&()\"\",(,(,+,*#8\"+\"####$))\"#$))\"#$\"’\"’+F证明)*F上一致收敛于+’*F’-,(,(在,*#8,(,(#\"’\"’+分析!本题主要考查一致收敛的知识#证明!先证!\"一致有界#,(\"’+’一致收敛于+’#所以*当\"#%-(,(,(,(7+’,(,+,*#8-#%#-时#!#%#(%$!$%\"’\"’++特别地对!有,(7+’,(+\"#$$%\"\"’+所以$即+’是有界的#,(,(,($!\"))\"!\"#$)$\"’+’+记),(,(,(-@-时#-\"#$#则当\"#%$$!\"))$)$A$\"+8\"’\"’\"!+’++,+,*#8-取)+(&)%\"#则*-#!56)-\")\"#)##\"+%#*#8,($))#*,+,$\"!\"’-#+-同理可证F’是有界的#即()使得$,(,(,+,*#8#-#%#-#$))F’由于+一致收敛于+’#一致收敛于F’#所以对*当\"#%时对,(,(,(,(!#%#(%#%#\"’\"’F-有一切,+,*#8!#!,(7+’,(,(7F’,($%!$$%$\"’\"’+F##))-所以当\"#%时,(,(7+’,(,(!$$\"’\"’+FF’,(,(7+,(,(,(,(7+’,(,($!$$)$\"’\"’\"’\"’+FF’+F’F’,(,(7F’,(,(,(7+’,()$$$$$$!$$\"’\"’\"’+FF’+!!!)+-*%)*!)-#)#故+在,上一致收敛于+’*F’-,(,(*#8,(,(#\"’\"’F$题\"复旦大学#证明级数$%#%%1年(!’(2\"\"’\"$\"$\"\"2\"关于在’上为一致收敛#但,2$#1$(#\"1,对任何,并非绝对收敛#而级数不一致收敛#分析!本题考查一致收敛的证明#$\",\"$\"#\"虽在,+’但并2$#1$(上绝对收敛##\"’(\"1,\"\"2(证明!对级数2\"\"’\"$\"$\"#\"#’(’(\"设&,($\"’\",$2\"###’\"1,\"1,\"则6,(,(6)\"一致有界#$&’\"’’\"1,33$\"\"#单调减且趋于零’由E\"’$(#’C’=H&>D判别法*\"(*

第十三章!函数列与函数项级数知级数\"’(2\"\"关于在’\"\"2’(#(上一致收敛又由\",#&’(22$1$##\"\"’$\"1,\"1,\"$\"$$$\"$\"#\"\"\"2’(\"发散#2\"故级数即级数非绝对收敛#%###\"\"\"$\"\"1,\"$\"\"1,$对级数\"\"$\"#,#,+’2$#1$(有#\"*’(\"1,!$\"\"#,,%9#%\",#\",1\"’$(!!’’#\"8’(\"1,%#,$%:#,在’2$#1$(上绝对收敛##\"\"’(\"$\"\"1,但当,+’2$#1$(时故可知(,($\"’#\"#,,%,\"’(\"(,\"’$($2$!’’#3#\"\"’(’(\"1,%#,$%3$\"\"1,$#\"#,,%,!’(\"的极限函数’(在点不连续故级数在’(,(,,%#$$2$#\"#\"\"’(%#,$%\"$\"\"1,$!!1$(上非一致收敛#课后习题全解!!!9\"!一致收敛性并说明理由)-讨论下列函数列在所示区间>上是否一致收敛#/\"’(\",($\"’+’(#,($\"’+!#,1\"###&#(+>$’\"2\"##\"$\"#\",###&#+>$’2$#1$(##\"$\"#\"1\",\"#(\"1\",1\"#%),)2’9\"1\"&+’(.,($8\"$\"###\"’+\"%#%,%\"#\"1\":,#’(&#’#’-+/,($\"$\"###>$,%#>$,%#\"%%%1$($(%(\"’+\",’(&#’#-#’0,($8’)#\"$\"###>$,G>$’#2G2$#1$($(%(\"’+\"不同小题运用不同的方法#务必掌握#!分析!本题是考察一致收敛知识点的基础题#(由于&((\",($6,6$+’,(,+>$’\"’(2\"#!解!’!’\"’+\"’$,(,(&’(8@’(8@6+2+’6$&6AA\"’\"’$,+>\"’$,+>!#,1\"6,66#2\"’(8@$&A\"’$,+>!\"#\"\"’($&$%\"’$\"\"#,1#16,6\"*\")*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#\"#故,’#(\">$(,+’\"1#6,6#2\"#\"(因为&#’#’(,($%$+’,(,+’2$#1$(\"’+!’’\"’$\"6,6&’(8@’(8@’(,(,(6$&6+2+’$%\"’AA##)&\"’$,+>\"’$,+>\"1\"6\"’$#\",6,故’#%#\">$(,+’2$#1$(##\"1\",(当,$%时#($\"#’.%&’(\"’+’’\"’$当%%,)\"时#只要\"#\"2\"#就有+从而&于是在,上-’(,(,(%#\"$%#$%#\"’\"’+\"’$,的极限函数为\"#!!,$%%#%%,)\"因8#故+’-上不一致收敛#@,(,(\"$\"##&(,(在,%#\"2+’6$\"A6+\"’\"’,($+’!%),)\"’(易见极限函数为+’/,($%#,+,%##1$(,’,(,(@@6$82+’$(因为8A6+A66$1$\"’%),)1$%),%1$\",\"在,#所以!%1$(上不一致收敛#\"\"%%%’’’(8@&’(,(,(6$62$%%(因为!!&A\"’++\"’$,+,%#\"’$\"%%%-\"故#’(#,#%-%%’!\"\"’%\">$,+%\",’(易见极限函数+’0,($%#,G’’@@’)6),(,(\">$(6$8A6+2+’A68$(因为8>%#\"’#-,#-,+,GG,GG2\"\"+2故’%(因为8@A8’),\"#’(#,#-’’%\">$,+2GG,+’2$#1$,+’2$#1$,(,(6$6+2+’\"’(8@A8’)6(,6$\"\",在’故8’)2$#1$(上不一致收敛#\"收敛是一个局部概念#一致收敛是一个整!小结!函数列的收敛与一致收敛是两个不相同的概念#!\"体概念#函数列一致收敛则一定收敛#反之不成立#判断函数列!\"在,-上一致收,(*#8\"’+敛的方法有)’(’’+,?,(5-\"’+,+,*#8-’,(,(\"’$(#8@2+’6’%#A6+\"’G-关于函数序列一致收敛的柯西定理#再用函数项级数判断一致收敛的方法#=-化成相应的函数项级数#((这些方法中最常用的还是’在用’时必须估计8因此往往需要先5#5,(,(@62+’6#A\"’+,+>求6但是带绝对值求导很不方便#这时可以先求’(,(,(,(,(2+’6的极大值#2+’\"’\"’++的极大值#然后求6+,(,(2+’6的极大值#\"’*#**

第十三章!函数列与函数项级数(设+#’若对每一个正整数\"有6,(’+’,(,+>#*\"’$(*#,(-证明)2.#\"’\"’%’\"#%\"’+则!在>上一致收敛于+#,(,+>#6)*\"#\"\"+’+’&(#且*#’#所以,(,(,+>#\"$\"###\"’$(2+’6)*!证明!因6+\"’\"#\"’%&’(8@’(,(,(*6+2+’6)&A\"’\"$%\"’$,+>\"’$故,(\"’+’(#’(#’’+,\">$,+>-判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性)/.,+’(#,#-\"\"’(0,+2//\"2\"\"\"#2’(,#2\"’(’#(+##\",+2$1$\"’\"1,(\"’(.6,6#/&\"+\",\"#-+’(,/,+,%#\"\"\"##\"\"2’(2\"+’(0,+’2$#1$(#\",1\"##,#’#(#\"\",+2$1$#2’(\"1,为更深入地学习一致收!分析!函数项级数在给定区间上一致收敛的判别法同样是基础知识点#敛的各种定理提供必要的理论知识前提#\"\"’(1\"(*,+,-#有\"/2/#!解!’\"\"\",/6,6$)’(0(0(0’’\"2\"\"2\"\"2\"\"\"///\"\"1#令!则!#’(#所以收敛#由)判别法知#%\"$>>$\"$\"’(0(0’\"2\"!\"\"2\"\"\"\"\",在,-上一致收敛#/2/#’(0\"2\"#,’\"\"(2令则*,+’#有’(’(’(#’(##!72$#1$(\",$2\"\",$#\"’(\"1,’&(又对每一个,+’#!\"单调递减#且,(\"$\"####7,(6\"!6)\"#2$#1$(3’\"’3$\"#,\"’知#’#由狄利\">$(7,(%#\">$(,+’#2$#1$(>%\"’#\")’\"\"1,(\"\"#2’(,在’2\"克雷判别法知2$#1$(上一致收敛##\"\"’\"1,(由%)’’\"\"因此当\"\"有\"\")\"且&’(当6,6&/#%时##’(!$.#%\"即/#\"时#\"\"\"\"’$/////6,6收敛#由)判别法知\"\",\"在当/$\"时原级数不一致收敛#,6&/#\"上一致收敛#6\"\"\",\"’\"收敛#,’(-因-#&(#而由)判别法知/,+,%#\"\"$\"###%#\")#####\"\"\"\"在,\"\"上一致收敛#*#!*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#\"’(2\"知’由于’(由莱布尼茨判别法知#02$#1$(上任意一点,#\",#1\"收敛#&’(故\"’$,+’2$#1$8@A,(’(6H6$&\"’(\"$%\"’$\"1\"\"\"2’(2\"2$#1$(上一致收敛#\",#1\"在’’(当,,%时1,+’2$#1$8@A,(6H6$\"’(\"#\"\"$\"2(,+’2$#1$(’\"1,8@A故\"#,在’2$#1$(上不一致收敛##\"\"2’(\"1,-上一致收敛的方法可以总结如下),(在区间E$,*#8!小结!判断函数项级数\"!\"’’#如本题的第’(’(小题#5-\"!@,(在E上一致收敛?8,(\">$(016H6>%#A\"’\"’,+EG-函数项级数一致收敛的柯西准则#如本题第’(’小题#狄利克雷(=-三个判断函数项级数一致收敛的充分条件))判别法#\".判别法#如本题第’阿贝尔判别法#(小题###函数F’-设函数项级数\"!,(在>上一致收敛于(’,(,(在>上有界#证明级数-/\"’,(!’,(在>上一致收敛于F’,((’,(#\"F’\"!分析!本题考察两不同函数项级数的乘积是否一致收敛的判断方法#因!#所以#当\",(,+>#,(在>上一致收敛于(’,(6))#!证明!设6F’*!#%#(%#\"\"’对一切,+>#有#%时#\",(,(6\"!2(’6%3’3$\"!)\"于是#当\"#%时#对任一,+>#有\",(!,(,((’,(,(,(,(6$6F’66\"!6\"F’2F’2(’6%!3’3’3$\"3$\"故,(!’,(在>上一致收敛于F’,((’,(#\"F’\"对任何正整数\"##证明当7级数-若在区间E上#!,(,(,(在E上一致收敛时#66)7.0\"’\"’\"\"’,(在E上也一致收敛#\"!’所以#当\"#%时#对一切,+E和一切7’,(在E上一致收敛#!证明!因\"*!#%#(%#%#\"\"’’’’自然数’#都有6#!故3$\"#从而6!,(,(6%!6)\"1’’\"7\"\"13’3$\"3$\",(,(6)\"7\"3’\"3’11%\"6!3$\",(在E上一致收敛#\"!’\"’&(是,证明)若则-上的单调函数#(都绝对收敛#-设!,(\"$\"###*#8*(与\"!8.1\"’\"’\"’\"!-上绝对且一致收敛#,(在,*#8\"!’\"’&(是,所以,(\"$\"###*#8-上的单调函数#!证明!因!\"’*#\"*

第十三章!函数列与函数项级数&#((!,(!*(!8\"$\"###,+,*#8-61666)66’\"’\"’\"’由收敛#故!’(((*(!’8!’*(!’8*#6166与\"66收敛知)66\"6!’\"’\",(在,\"\"\"\"\"8-上绝对并一致收敛#-上定义函数列-在,%#\"-2\"\"9\"#,$\"#&#!,($8\"$\"###!!!!\"’\"#%#,,\":但它不存在优级数#-上一致收敛#,(在,%#\"\"!’先设!’!分析!本题运用反证法#\",(存在优级数\")#\"\"\"证明级数!证明!因9\"#\"!,$\"1\"\"1\"\"#\"!,$\"1#\"1#!,(,(,(6$861!1&1!\"\"’\"#’\"111’’&!!&\"#\"!,$\"1’\"1’#其他点%:’所以#当%),)\"时#恒有3$\"\"!\"31\"#’’#于是#取%$,(%\"##&(*!#%#’$\"#\"’\"1\"#-和一切自然数’#则当\"#%时#对一切,+,都有%#\"!所给级数在,-上一致收敛#%#\"假设-上存在优级数,(在,%#\"\"!’\")\"\",-3$\"\"!\"31’#故,(%!#取,$\"#则\"\"$#%’(\"\"\")\"&6!,(6$!\"’\"由\")#\"收敛得知\"\"\"收敛#这与\"\"\"发散矛盾故#\"!,(不存在优级数#\"’-讨论下列函数列或函数项级数在所示区间>上的敛散性)-3$’(\"\"’,\"$#\"2#\"-+#,\"#>\"##,(-$2,1’\"2\"1\"(#,\"(#’+#>$’%#’)\"#1$(\"8.’(.\"#,+#>$’%#1$(#-’,(,#(\"1’\"2\",\"1\"’(,#-+/>$,%2\"#\"!\"#\"\"1\",(+’(’(#0\">$’\"22\"#\"#\"1\"\"*##*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#’)\",#’(81>$’%####(\"\"\"$\"(运用函数项级数一致收敛的柯西准则进行判断#’(将原式积化和差进行拆项#’(可\".1!分析!’初步判断该级数不一致收敛#用一致收敛的柯西准则#对任意自然数%#可取\"$%#’$经运算后可凑出!%1\"#%$(因\"!解!’\"\"8’)#.#$,(,(6$6(2(\"\"’1’’$$所以#取%$*!#%#\"2#3##’(-(,,1’32\"\",133$\"1\"1’\"\"1’##3$\"\"1\"’,##\"\"#2##’(13,132\"(\"\"\"\"%##2###)’(,1\"1’,1\"\",1\",!-\"!-当\"#%时#对一切,+,和一切自然数’#都\"1\"#2\"#有6(,(,(#2(6%!\"\"’1’’由函数项级数一致收敛的柯西准则所给级数在,-上一致收敛#\"2\"##\"’(对任意自然数\"#取,#有##.+’%#1$(\"$#,\"\"\"8’)\"$##.所以’(因为.’)\"#8.\"\",在’#%1$(内不一致收敛#\"(,($\"’3$\"\"\",’(\"132\",#\"2\"13,#-\"\"1\"$\"#&\"$\"####$\"2所以’\"#\"’$((’,($\"’\"!’,#\"1\"(\"\"!由函数项级数一致收敛的充要条件知#所给级数在’%#1$(内不一致收敛#%%,%1$8@,(,(2(6&A6(’\"’’(#\"’2,(’(记!’(’(#’(#则-#对每一个,+,/,\"7,,()\"#,+,%$2$2\"#2\"\"3’\"!3$\"\"!\"’2,(\"-#!(\"单调递减且#可见7##’’’\"%7\"’$(,(%\">$(,+\",\"’)’%\"!\"!\"\"’’,#-#由狄利克雷判别法知在,,-上一致收敛#%%2\"#2\"#\"!\"#\"\"#\"\"11,\"\",与’类似可得#’在’上不’(记!(##(((0,(7,(/\"\"$’2\"$22\"#\"’\"’\"#\"1\"#\"1\"一致收敛#\"*#$*

第十三章!函数列与函数项级数\"\"对任意自然数#\"-#’(取!,##8’)#1%存在\"$%#,%$%$’$%1\"#’(+%#.##%1\"使!,,,1!1&1!6!6\"\"’%(\"#’%(\"%(111’’$\"%1\"\"%1#%1\"#&1\"88’)’8’)’)11(%1##’(’(#%1\"#%1\"%1\"%1\"#%1\"\"\"\"\"\"\"8’)11&1$!%#%1\"##%1\"%1#.#’)#8故’(\"8’)\"#在’#(上不一致收敛%###\"\"\"(-上绝对并一致收敛#级数但由其各项绝对值组成的级数在,’\"2,(在,%#\"-证明)2\"/4\"’,-上却不一致收敛#%#\"\"\"1#得到!,(\"2,(,,(的最大值后进行证明#6)’!分析!首先判断出6H\"’\"\"’1\"\"\"\"11再求函数!!在,上的最大值#由#-H,(\"2,(,,(\"2,(,%#\"6)’$’!证明!易见6\"’\"\"’1\"\"1\"(-上的最大值#知!在,$\"1\"时达到,所,($’\"1#,2,#,(%#\"!-\"\"’\"\"’11\"1#\"1#’(以,(6H6)\"’因此$\"\"1\"\"1#\"1#’(\"\"1%\"\"1#&’(8@&’(,(6\"’A6H\"’$%),)\"$\"$%\"’$\"1#故数\"\"\"\"在,上一致收敛#对各项绝对值组成的级(-(,’\"2,(%#\",’\"2,(2\"2\"\"’\"’\"$%$\"$%\"\"2\"\"3\"$\"2,且#由于!(’\"2,(,($’\"2,(\",’\",\"$%3$%(,($(’,($&’(\"’\"’$可见%),)\"\"#%),%\"%#,$%8@,(,(6$\"2(’A6(\"’!--故所给级数在,上绝对并一致收敛#但其各项绝对值组成的级数在,上却不一致%#\"%#\"收敛#,(在证明中起着非常重要的作用#!小结!H\"’记(内的任一函数#%-设+为定义在区间’*#8.\",($\"’+-,\",(+’#&#\"$\"###\"证明函数列!在’*#8(内一致收敛于+#\"\"+!证明!由于\",’(\"&,(\"$\"###6\"2\"6)!+,-+’\"\"\",(,(6$6+2+’\"’所以#取%$*!#%#\"1\"#*#8(均有6+’,(,(2+’,!-则当\"#%时对一切,+’#故!\"在’,(*#8(内一致收敛于+’,(#6%!\"’+-\"为,上正的递减且收敛于零的函数列#每一个!都是,上的单调函数#!,(*#8-,(*#8\"-设!/\"\"’\"’*#%*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#则级数!,(,(,(,(2!1!2!1&\"’#’.’/’在,而且一致收敛#*#8-上不仅收敛#!分析!运用狄利克雷判别法进行判断#\"(#则,($’2\"!证明!记7\"’\"’-(#&7,(,+,*#8\"$\"###6\"6)\"#!3’3$\"-上单调#因!则,(在,*#8\"’#-#&%%!,()!8(*(,+,*#8\"$\"###1!!\"’\"’\"’又!#所以*当\"#%时有6(收敛于零#(#*(!8!*(81!6%!!#%#(%#%#\"’\"’\"’\"’从而对一切,+,-#有*#8!,(!*(8(62%6)61!2%6%!\"’\"’\"’故!,(\"’’,#-又对每一个,+,(#-#!\"递减#由狄利克雷判*#8!’,(’’%\">$,+*8#\"所给级数在,别法知#-上一致收敛#*#8此题根据定义证明#!小结!注意证明一致收敛的方法#9#!一致收敛函数列与函数项级数的性质在所定义的区间上)-讨论下列各函数列!.\"\"\"+(!与!的一致收敛性+’-5\"\"\"\"++’(!是否有定理\"G.-4#\".-\"%#\".-\"\"的条件与结论#\"\"+\"#,1\"#,-+-+’(’(,#’(’(#\"+,+%8!#+,+,%#\"\",$\",$,2,1\"\"\",2’(#-.,($\">,+,%#\"#,\"’+(’#(-&’(\"5,($\"$+’,(,+,%#8!解!’\"’+\"’$#%),)8,(,(8@@A2+’6$8A6+\"’%),)8,8\">$($>%!’,1\"81\"由于\"##--,($,($%$F’,(,+,%#8-’(\"’\"’++#&’\"’$,1\"(从而\"\"-,(,(\">$(8@@2F’$>%!’6$8A6+A’\"’#%),)8%),)8,1\"(\"故!\"与!\"都在,-,(,(%#8-上一致收敛#\"’\"’++,1\"在,#-上一致收敛#,1\"具有定理且每一项都连续#所以#’(因#\".-4#G%8,1\",1\"!\"!\"从而具有定理结论#又\".-\"%的条件#\"!\",1\"具有定理连续#且!\"在,所以#,(%#8-上收敛#\".-\"\"的条件和结论#+’!,1\"\"\"’$#,1\"在,#-上一致收敛#每一项在,-%8%#8-,1\"(’#’(因为!!&-’(#5,($,$+’,(,+,%#\"\"’+*#&*

第十三章!函数列与函数项级数从而\",\"’,(,(\">$(8@@2+’>%6$8A6+A66$\"’%),)\"%),)\"\"\"\"所以!,2,\"’(#’(,#-’’,$+,\">$,+%\"又\"#%),%\"\"’$%#,$\"从而!\"的每一项在,!\"的极限函数在,故-上连续#-上不连续#,(%#\",(%#\"--\"’\"’++!-上不一致收敛#\"在,-,(%#\"\"’+\"\"2#&’(-,($\"2,-,($\"’\"’++!\"\"且每一项连续#所以,2,具有定理\"’(因,2,在,-上一致收敛#.-4#G%#\"\"\"-由于!\"在,上不一致收敛#所以!\"不-,(%#\",(\".-\"%的条件从而具有定理结论#\"’\"’++具有定理\"又+#从而不具有定理\".-\"\"的条件#-’,($,-$\",&’(-,(.-\"\"的结\"’+!\"!\"\"’$论#\",2’(易见!!&-(’#.5,($&>,(%#\"’(’(\",$%$+’!,+,\"’+\"’$\"’$\",2,(,(>8@@,2+’6$8A6+A\"\"’%),)\"##%),)\"由+-,($\">\"’#\",2\"达到,#-上的最大值#’所以\"2#,(在,$%\"\",#(知+\"’#\"!%),)\"#8@,(,(6$A6+2+’\"’!#\"2\"\"’$(>#’$’#\",2\"在,-上不一致收敛#故!>%#\"\",因为所以,’-,($\"\"2#,2\"\",#(\"’+1$#,$%\"的每一项在,上连续#其极限函数在,上不连续#故!\"在,!-----,(%#\"%#\",(%#\"\"’\"’++上不一致收敛#\"’$&’(-,($\"’+!%#%%,)\"’(因!-上都不一致收敛#\"与!\"在,所以!\"不满足定理\"G,(-,(%#\",(.-4#\"’\"’\"’+++-上连续#又!\"的极限函数+’在,故,(,($%#%#\"\".-\"%#\".-\"\"的条件#\"’+\"\"’(,(?,$%\"’+,&\"’$%%\"’$#由于!\"在,$%不收敛#所以!\"具有定理\"不具有定理\"-,(,(.-\"%的结论+.-4#\"’\"’++\".-\"\"的结论#在三个定理条.-4#\".-\"%#\".-\"\"结论成立的充分而非必要条件#!小结!函数列一致收敛是定理\"件满足的前提下极限运算可以与极限运算换序#极限运算可以与积分运算换序#极限运\",2&’(\",>?,$1\"#1算可以与求导运算换序#而当函数列不一致收敛时三个定理的结论可能成立也可能不成-上不一致收敛#如第.小题!\"与!\"都在,但极限运算可以与极限运立#-,(,(%#\"\"’\"’++算换序#而极限运算与积分运算和求导运算就不能换序#-上一致收敛#若函数列!在,则!在,*#8-上满足定理\"*#8-证明).-\"\"的条件#-#\"\"\"\"++*#’*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#先假设+#再进行证明即可#.-\"\"的条件为充要条件#-,(一致收敛于F’,(!分析!定理\"\"’!证明!设-,(\"’+(#’(’,#-’’F,!\">$,+*8因对,-上的任意,#有*#8,%#(-’;?;1+,($&,($+’,(?;’(1F’+’+’1;(,($+,1\"’\"’%(+\",,%\",\"\"’$%,%所以,(,(,,2+’6$6+2+’1!6+\"’\"’%(%(,,6162+’\"’%(%()6+\"%%((--’;;?;2F’6+1,,%\",((--’;;?;2F’6+1,((,(,(-’;;;612+’2F’6?)6+’16+,%\",,%\",由!\"在点,当\"#%\"#有,(*!#%#(%\"#\"’%收敛知#+!,,6+2+’6%\"’%(%(#又+-,(\"’,-#有*#8#’(##对上述!#%#当\"#%’(,#-(%#’’F,\"’$,+*8##!时#对一切;+!((-;;6+2F’6%’\"’#82*(取%$(#则当\"#%时#从而6+!56%\"#%#\",(,(#!&成立#2+’6%!\"’因此+,\"’#’(#’(,#-’’+,\">$,+*8#$&-证明定理\".-\"#和\".-\"/#..-上任意一点#!-上一致收敛于(’设,#则当*#8,(在,*#8,(.-\"#之证)!证明!定理\"%为,\"\"’\"$\"-时,+,*#8,(,,(,(,(,,,6(’2(’2(1(2(1(2(’66$6(’%(\"’\"’\"’%(\"’%(%(,(,(,(,,,2(2(2(’6616(616(\"’\"’\"’%(\"’%(%()6(’$因在,上一致收敛于(’#从而*当\"#%时#对一切,+,,(*#8-,(*#!#%#(%#\"!’\"\"$\"-#有8!#!,(,(,,6(’2(6%6(2(’6%\"’\"’%(%(..由!-上连续’&(知)对取定的\"#%#-上连续#所以,(在,*#8\"$\"###(,(在,*#8\"’\"’对上述!当,+,-#且6,2,#*#8((#%#%6%(时,(,6(2(6%\"’\"’%(!.于是当6,2,*#8-时有%6%(且,+,,(,6(’2(’6%!%(*#(*

第十三章!函数列与函数项级数故和函数(’由,定理\"’-连续#.-\"#得证#,(在,,(在,*#8%点连续#%的任意性知(下证定理\".-\"/#设在,上一致敛于(-’,(*#8-\"!\",@’#由!在,上连续及定理\"函数,(-,(*#8-.-\"#知#\"’$$又由定理\"(@’,(在,*#8-上连续#*#8-.-\".知#*,+,1*((’;?;$@1*$,(-;?;$\"’\"!\"$\"$(!-’;?;\"1\"$%*\",,(*($(’,(*($\"!2\"!2(’\"’\"’\"$\"\"$\"故(@’两端关于,求导#得(;?;$(’,(*(#2(’*$1,,($(@’,($(-’$-#,(*#8*,+,\"!’\"\"$\",($-设(’./\"\",2,#,#(-#计算积分,\"\"(’;?;#+2#\"%\"$\"\"1$\"\"2\"\"\"\"22,\"’,,,##,#-#’-(#由判别法知在上一致收敛显然,\"\")\"\"22!解!)#+###\"$\"\"\"\"\"$\"\"-上连续#&(#在,由定理\"\"###\".-\".知2\"#$1%$,((’;?;$\"1\"$\",\"\"2;;$#?%\"\",.\"\"$\"\"$,($-设(’.0,=;8\",#’#((#计算积分(’,;?;#21$$+\"%\"$\"\"!\"1=;8\",\"=;8\",在’#由)判别法知上一致收敛#显,+’2$#1$(2$#1$(!解!).#\"\"!\"\"$\"\"!\"\"#;8\",’#&(在’由定理\"然=#.-\".有\"$\"#2$#1$(上连续#\"!\"$1%$,$($(’;&).&)#\"1\"$\"=;8\";?;$%\"!\",\"\"8’)\",#\"$\"\"!$-设(’,($-1\",2计算#>,#%#\"\"\"$\"(;?;#1(’,再计算#需要用到定理\"(\"I2\".#\".#-%%#!分析!先判断出’\",,#22(\">-$2\">\"!解!由’%%有\",&)#\"22#-&)##&).\">>!,+,)\"$对级数>\"\"\"$\"&)#\"2#有\">!$$&)#\"2\"&)#\"2\"\"\"!!\">$($&’%\"!’)#$##>\",2在,上一致收敛#显然\"&(#在,-’&)##&).&)>\"$\"###\"\"于是>\"\"\"$\"收敛#从而>\"\"\"$\"\",2-上连续#由定理\"##&)..-\".知1&).&)#$((’;?;$\"1\"$\"&).&)#\">?;$\";2\"’\"$\"$\"\"\"$\"2\"#.#(*#)*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#函数+’-证明),($.2\"8’)\",在’且有连续的导函数#2$#1$(上连续#.\"8’)\",\"而\"收敛#8’)\",由)判别法知2$#1$(上一致收敛#!证明!由).#..\"\"\"\".在’\"\"’)\",;8\",=;8\",#=;8\",在’\"由\"收敛知因8而=上-$2$#1$()##.####\"\"\"\"\"\"\"\"’(;8\",’又=&(在’上连续#从而由定理\"具有一致收敛#\"$\"###,(.-\".知+’2$#1$(#\"连续的导数#从而+’,(也连续#$\"定义在,(#满足定理\"-上的函数项级数-证明);8\",’.-\".条件#且%##%%/%\"-3#\"/=\"$%?,$#;8\",(##\"/=1’\"%##$\"$%$\"再运用定理\"/=;8\",是一致收敛的#.#\".#!分析!先证\"\"$%$$\"\"\"\"#(收敛#-上一致收敛#而/故/又/%%/%\"%##=;8\",6)/;8\",在,!证明!因6#\"’\"=\"$%\"$%$\"\"-上连续#所以/且/%##=;8\",在,;8\",满足定理\".-\".的条件##\"=\"$%\"1%##$$?,$;8\",(’\"/=\"$%?,;8\",\"1/=\"\"$%%##因#=&(#所以,$#?,$%!’\"$\"###;8\",#1?1%%####?,$#;8\",(#\"/=1’\"%##$\"$%可微性和可积性)-讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性1.4\",2&#-+’(##\",($,>\"$\"###,+,G2G\"’+#\",#&#\"$\"###\",1\"’#’’,+,%#,+,*#*#%(#1$(1$($(%((由于\"!解!’#-#,($%$+’,(,+,G&’(2G\"’+(’#,($\"’+\"’$从而#\"2\"\",2’’8@8@,(,(,>>#>%\">$(6$6266AA\"’++)#-#-,+,GG,+,GG22#\"!所以\",2,>#’(#,#-’’%\"’$,+2GG#\",2#-#-因极限函数+’知+’在,上连续1可积1可微#且由,在,上连,(,(GG>GG$%#22续及定理\".-\"%有1*$**GG\"’$2&’(’(,(?,$&\"’+\"’$2G,(?,1+’\"G

第十三章!函数列与函数项级数\",2’但由+-,($>\"2#\",#(知\"’%#%%6,6)G,%&’(-,($\"’+\"’$\"#,$%因此-,&,&’(’(,(-,(\"’\"’++#!\"’$\"’$(’’#$(易见\"%%,%1$由于!\"的每一项在,上连续#而+’在,上不连续#所以!\"#,(%#,(%,(1$(1$(\"’\"’++#在,所以!\"在,%,(%#1$(上不连续#1$(上不一致收敛#\"’+\"’$&’(,($+’,($\"’+!%,$%由+,($\"’’%(因为!%#,$%知#可积1不可微#,(在,%#1$(上不连续1+’\"#%%,%1$#&’(,($\"$+’,(,+,*#1$(\"’+\"’$所以,(,(@@6+2+’!86$8A(A\"’,#,#,+*1$,+*1$(\",2\",\"1\"@$8A,#所以,+*1$(\"\"\"’$($’%!’,\"1\"*\"1\"\",#(\"!’\"’$(,+,*#*#%1$(!’,\"1\"由+’可微#不可积#,($\"知+’,(在,*#1$(上连续1%-证明函数/\"’’(’,($在’且有连续的各阶导数#\"#1$(内连续#\"\"\",再证其一致收敛#即得出结论#,(连续#!分析!先证(’\"’\"’#取\"%’%,则%%\"收敛#从而(又(\"#1$(!证明!*,%+’%#,)’,&’#\"’’#\"\"\"\"$\"\"$\"\"\"在,#上一致收敛#由\"&(在,上连续及定理\"’##.-\"#知#1$(’1$(’#,,\"$\"#\"\"$\"函数(’在,上连续#特别(’在,由,在’’,(,(,(\"#1$(1$(%连续#%的任意性知(’#内连续#因\",\"$’(’3(3\"(内连续#’&(##取’\"在’\"#3$\"###\"#&)3$’2\"1$(1$(*,%+’,\"&)3\"33’&)\"&)\"3(#则’#固定3#取)使’#)#\"#由\"2\"\"#,,&’(%-+’)’’,\"\"\")\"’($&)3&)3)3\"\"’\"收敛#\"在,#3&((#’(#’及收敛知于是%\"\"\"2$)’’’#,2’’))\"\"\"\"\"\"\"显然#1$(上一致收敛#\"\"在由逐项求导及连续性定理知,#\"时收敛#,\"*$!*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#)\"3&(2\",\"\"’\"’(在,上连续#特别在,由,在’内连续#故(3’,(\"#1$(1$(%点连续#%的任意性知#’#(’,(在’\"#1$(内连续且有连续的各阶导数#’((3’,($’(\",\"’3(3$,(有连续的各阶导数#!小结!运用逐项求导及连续性定理证(’’\"(#记J且在任何有限区间内\"-设+在’2$#1$(上有任何阶导数#.\"\"$+J\"#\">$(*’’’,’(试证*’,($5>5为常数#\"(上有任何阶导数#所以+’在任何有限区间’内有连续的导数#*#8(2$#1$(!证明!由于+在’\"(\"\"(1((又+’在’内一致收敛于*’#且+’在’内也一致收敛于*’#由定理\"*#8,(*#8,(.-\"\"知’’’\"(\"(\"\"(1#(&’(’(,’(-’,($,,(,+’*#8$*’+-$&+-$&+*\"’$\"’$\"’$,,2令F’#则F#常数(#即*’’-’,($>,(,(,(,(>#$%#2$#1$($5*,+’F’35*’总练习题下列函数列!一致收敛)-试问3为何值时#.\"\"\"+32,(#’\",($,>\"%),%$+\"\"’+3#,\"9%),)3\"#\"’(#,($\"’+\"#2,(’\"#\"##%,)\"\"#%,)\"#\"#&’(,($%$+’,(,+,%#1$(\"’+\"’$:(因为\"!解!’所以%#,+,%#1$(,32,(,(>\"8@@\"2+’6$8A6+A,\"’,#(,+%1$,+,%#1$(\"达到,#32,’由+所以-,($\">\"\"2\",(在,$%1$(上的最大值#,(知+\"’\"’\"3\"2\"#于是#当32\"%%#即3%\"时#有,(,(8@2+’6$\"2>A6+\"’,+,%#1$(8@,(,(\"’$(2+’6’%!’A6+\"’1$#3#\"\"’$(!’3$\"当32\"&%#即3&\"时#有98@,(,(6$8\"6+2+’A(\"’,#,+%1$#:>’(当,$%时#所以#,($%#\"’+32,\"在,故当3%\"时#!>\"%#,\"1$(上一致收敛#,($&,($%’(\"’+’+\"’$当%%,)\"时#只要\"###就有+所以+’,($%#,($%#\"’,*$\"*

第十三章!函数列与函数项级数于是!\"在,#-上的极限函数为+’,(%\",($%#\"’+因为@,(,(2+’6A6+!8\"’,#-,+%\"%9\"3\"2\"#3$\"!’\">$($+$\">8\"\"1$#3#\":%#3\"’(-上一致收敛#故仅当3%\"时#!\"在,,(%#\"\"’+’(若+-证明)\",(-#\"’的+’(若+#,(\"’界#一致有界#需要先证出6+,(,(#2+’6%!!分析!要证!\"\"\"’+设6由+(\",(,+E#,(6))\"#!证明!’\"’+’’(’知#对!$\"#当\"#’(((%#’’+,\">$,+E’(#且对每个正整数\"#’(#+’’+,\">$,+E\"’(##且在上有界#则!+\"至多除有限项外在E上一致有界’’+,,+E+E\"在E上有界#则!在E上一致有\"\"+对一切,+E#有6+从而*,+E%时#,(,(2+’6%!$\"#\"’,(\"#%(6+6%\"1)\"!’\"’故!\"除前%项’有限项(外在E上一致有界#,(\"’+’(因+#,(\"’’(#由柯西准则*当\"#%1\"#%时#’(#!$\"#(%#’’+,\">$,+E对一切,+E有,(,(6+2+%1\"’6%!$\"\"’所以当\"#%1\"时#又对每个正整数\"#,(,(,(66%661\"#*,+E#\"’\"’++%1\"’+在E上有界#设&#,(\"$\"###%1\"#,+E(6+6))\"!’\"’!’令)$(&##则对一切正整数\"#有6+)\"#)##)%1\"\",(,+E(#566))1\"\"’证明)-设+’,(为\"#..\"上的连续函数##\",-’(!\"在\"#上收敛+\",+’,(,#\"-($%#’(!\"在\"#上一致收敛的充要条件是+’#,+’,(\",#\"-\"%#),%\"9\"#’(’(证明由于\"在\"#且极限\",,,,(&’($8!!!从而!++’\"上收敛#\"’$#(#,$\"\"+’:\"\",-函数为%#),%\"9#’(F,$8(#,$\"\"+’:\"*$#*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#’(必要性!因+’#,(在闭区间\"上连续#所以+’,(在\"##\"-,\",#\"-上有界#又#!\"在\"#上一致收敛#’&(在\"#上连续#所以其极,+’,(,+’,(\"$\"###,#\"-,#\"-限函数F’上连续#从而,(在\"#,#\"-\"($F’($&\"\",($%’(+’F’,’\"充分性!设6+’,(6))#,+\"考虑6,,(3%#,(2%6#F’+’’,-(\"#\"#\"#($%知!由+’\"的极限函数\",,(+’由于+’从而*’不妨设(%\"(#当\"2(%,)\",(在,$\"连续#!#%#((#%##时6+’从而(#,(\",(2+’6%!6$6+’\"当\"2(%,)\"时#,(,(6,+’2%6)6+’6%!\"\"\"当\"),)\"2(时#而’#所以#(’,(\"2(()#\"2()>%\"’$(6,+’2%6)’#对上述!#当\"#%时#对一切,+(%##有#\"2(-,\"##故,(2%6%!#\"有6,+’,\"#-\"\"\",(\"2(()%!6,+’2%6)’综上#当\"#%时#对一切,+*!#%#(%#\"\"在\"#!,,(+’\"上一致收敛##-上可积#的每一项在,试证*#8-上连续改为在,*#8-若把定理\".-\"%中一致收敛函数列!//\"\"+!-上也可积#在,*#8-上的极限函数在,*#8\"\"+\",--可积#即要证)存在分割=#使%,(的极限函数+’,(在,*#8,!分析!要证+*!#%#\"’:%\":’:$\"#可令%利用+一致收敛于+’及任一+可积的,(,(,(@,-(,.(2+’6#!A6:$8\"’\"’+’#,-,.+’:将6定义#,-(,.(,-(,.(,-(,-(,-(6162+’6分成三部分#62+’6)62+%’+’+’+’+%’,.(,.(,.(,616+%’2+%’2+’6上不等式右端的第二个绝对值与’:相乘作和可小于!’!因为+%’#第一及第三个绝对值都小于因为+’,(可积(,(\"’’..82*(\"#’(’’+,\"’!即可得#这两项各与’,相乘作和各小于#,#$(:’:%!\"%.:$\"对,-任作一分割=#,(的极限函数为+’,(#*#8,(在’!证明!设+\"’:上的振幅为+’@,-(,.(A6+’2+’6%:$8,-#,.+’:因+,(\"’’(,#-’(##所以#使*!#%#(%#’’+,\">$,+*8!,-(,-(6+%’2+’6%’.82*(*$$*

第十三章!函数列与函数项级数!,.(,.(,-#,.+,#*#8-6+%’2+’6%’.82*(!#又+%’在,上可积#所以对上述!只要A=A%(#有其-#,(*#8-,((#%#%’::%\".:$\"中@,-(,.(-6+%’2+%’6%A:$8于是#当,-#,.+’:时\",-(,.(,-(,-(,-(,.(,.(,.(616+%’616+%’6+’2+’6)6+’2+%’2+%’2+’6#!-1%:%’.82*(从而\":$\",\"%’::):$\"#!,’--1%\",’.82*(:\"\"\":#\"#!,-,$’1’%’!!$!:1::%\"\".82*(..:$\":$\"故+’,(在,*#8-上可积#必须牢牢掌握#!小结!此题考察了极限函数的基本定义#证明*-设级数\".0\"收敛#1,’%&’(\"*\",$\"\"*#\"\"\"\"#(#且所以\"单调一致有界#又*’,+,%#1$(!证明!因,)\",,),\"\"收敛#’(\"\"\"1\"\"!\"从而\"*\"在,由阿贝尔判别法知%#1$(上一致收敛#\"\"*\"在,%#1$(上一致收敛#,*\"\"’##显然*&(#在,由连续性定理知在,故%#%#1$(连续#1$(上连续#,\"$\"#,\"\"\"\"**\"*’(,$\"\",$\"&11\",’%,’%\"在,!在,证明)!在,-设可微函数列!*#8-上收敛#-*#8-上一致有界#*#8-上一致收-1\"\"\"\"\"\"+++敛#&’(\"\"的一致收敛性#即要证*当\"#%时#,(!分析!可用一致收敛的柯西准则证明!!#%#(%#\"’+对一切,+,*#8-和一切正整数’都有,(,(6+2+6%!\"’\"1’’可将6利用!\"的一致有界性#!\"在,上-,(,(,(,(*#8-2+6放大为两部分#\"’\"\"’\"’+++1’’收敛及拉格朗日中值定理#可证每一部分都小于!#即可证得6+,(,(#2+6%!\"’\"1’’#-上取’(个点#’&#-(#对!#%#在,-,(\"$\"###,+,*#8*#8&2\"6))#!证明!设6+\"’*$,%%,\"%&%,&2\"%,&$8!’使它们把,有限(小区间’且’*#8-分割成&个’,,,:$:$,:\"#:-:$,:2,:\"%22/)#&#因!\"在,上收敛#所以对’当\"#%\"###&(#,(*#8-,(%\"’:上任取一点:#:#%:时#+!’对任意自然数0#有6#对函数+应用微,,,+’,(,(2+6%2+\"’:(\":(:(\"’\"+11’’’’#*$%*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#分中值定理知),*,+’(位于,与:#:之间的\"使得,(,(,,6+2+2+1+6\"’\"\"’:(\":(11’’’’!(()*--$6+66,2,2+\"’\":61%#’’\"\"/)于是#,(,(,(,(,,6+2+6)6+2+2+1+6\"’\"\"’\"\"’:(\":(111’’’’’’,,16+2+6\"’:(\":(1’’!!1$!##!取%$(&##则当\"#%时#对一切,+,#有%\"#%&\"*#8-56#-上一致收敛#故!\"在,,(,(,(*#86+2+6%!\"’\"\"’+1’’%*$&*

!!第十四章幂!级!数内容提要一!幂级数的收敛区域与收敛半径!\"-阿贝尔第一定理如果&则#-设幂级数\"*,\"的收敛半径为H#’(!*$$+\"\"+存在#\"+%\"’$$\"当%%幂级数的收敛半径为H+\"+’(\"+%!$时#+当++%时#幂级数的收敛半径为H+!$+(’#当++!$时#幂级数的收敛半径为H+%#’(.$*\"!\"如果&则.-设幂级数\"’($*,\"的收敛半径为H#$+\"+#\"+K\"’!$*\"\"当%%’(\"H+++%!$时#+’(当++%时##H+!$+当++!$时#’(.H+%#二!幂级数的性质\"-阿贝尔第二定理$(*,\"的收敛半径为H’##-设幂级数\"\"#%\"$%则在,上一致收敛#其和函数(’在,$H点左’(若幂级数在右端点,$H处收敛#\"%#H-,(连续+(若幂级数在左端点,$2H处收敛#-’则在,上一致收敛#其和函数(’在,$2H#%,(2H#处右连续#*$’*

!!数学分析同步辅导及习题全解\"下册#三!幂级数和函数的解析性质\"-幂级数的收敛半径#-连续性.-逐项微分/-逐项积分四!幂级数的展开\"-函数可展开成幂级数的条件#-几个常用的初等函数的展开式#\",,,’(+\"!,!0!&!0!&’\">7$%,%!$(#\".#\"7\",\"7\",’(&’(&’#8,+,70!!7\"7$%,%!$(’)(0!’.#\"7\"##\",\",’(&’(;8.=,+\"70!!7\"’(!&’7$%,%!$(##\"0#.\",,\"7\",’(’(&’(()\"!,+,7!7!7\"7\"%,)\"/&!&’#.\".0#\"!\",,\",’(&’((05,+,7!7!7\"!&’C=D5)7\"),)\".0#\"!\"&(’’\"!,(+\"!1’7\"((&’\"!\"&7\"\"\"&&L,#L&&+\"\"0\"$\"$’(其收敛域为9-#7\"%’E+87\"#\"&%%(#&)7\"’7\"#\":特别当&+7\"时#即为几何级数\"#\"\"((+\"7,!,7\"7\"%,%\"7&!’,!&!’\"!,-#&#%,7\"#\"典型例题与解题技巧$$%例!%#!设*\"&试证)级数8\"收敛#&+\"*\"$\"$\"’\"$\"$\"\"\"!&*\"#\"(\"的收敛半径H满足不等式))H)\"#>&$\"解题分析!本题考查收敛半径的求法#\"8,&&\"&&解题过程!因\"*)!\"’!\"$\"\"$\"&$$$&&&\"\"\"1&*8>\"$!&)!\"&($&\"$\"*$>*!\"*!\"$\"\"$\"\"注意到&’(&’$所以我们有\"*$\"#!\"\"$\"*$(*

第十四章!幂级数\")&8’(!&)>\"’$&从而对于收敛半径H有\")H)\"#>,$?>2\"作为的幂级数#\"$%例\"并推出\"$\",#!展开(0\"+\"’,?,\"1\"’(解题分析!本题主要考查幂级数的展开#解题过程!因#\",,,>$\"1,101&01&’2$%,%1$(#\",\"#\"\"22>,,,2\"(,,%$\"101&1’11&’(0,#\"2\"\"0逐项微分得,\"#2’(\",\"2\">\"#,\"2\",2\"(’(&’-$0101&1,,%1’(01,#.\"0\"1\"’故即\"$,>2\"-,(,$\",,,>7>1\"$#,$\",$\"’(\"#\"&1\"2\"1&110’(01#0.0\"\"1\"\"\"$\"’(0\"+\"\"1\"$历年考研真题评析!\"0#$%-题!东北师范大学#,1,,+’%#\"##%%1年(证明不等式8’),15C=8’),##!’\"#分析!本题考查常用函数的泰勒展开#证明!应用8由’),与5C=8’),的泰勒展开式#$\"\"#\"!\"(#7\",+’7$#!$(8’),$\"’’(0,\"+%#\"!\"$5C=8’),+得到8’),!5C=8’),++由于\"’00#\"(\"$%(00’#\"7\"#\"!\"#-,,+,\"7\"#’(#\"!\"\",’00#\"(\"$%$$(00’#\"7\"\"#\"!\"\"(!’7\"(’’(0,#\"!\"#\"!\"-\"*\"$%#\"!\"#\"!\"-,\"7\"#!!!,+,\"##%#***!!\"+.+0+\"#(00’#\"7\"\"\"(*!’7\"#\"!\"+(00’(0’(’#\"#\"!\"#\"!\"’(00#\"7\"\"’(7’&’(0(0#%!\"#\"#\"!\"#\"!\"-因此当,+’时#有%#\"*$)*