高中数学线性回归方程公式

2024年4月2日发(作者：上海初1数学试卷)

高中数学线性回归方程公式

1. 引言

在高中数学学习中，线性回归是一种重要的统计方法，用于模拟和预测两个或

更多变量之间的线性关系。线性回归方程是深入了解线性回归的基础，本文将介绍

高中数学中线性回归方程的公式及其应用。

2. 线性回归方程的定义

线性回归方程是一种用于描述两个变量线性关系的方程。通常情况下，我们用

x来表示自变量（输入变量），用y来表示因变量（输出变量）。线性回归方程可

以用下面的形式表示：y = ax + b，其中a和b是常数，称为回归系数。

3. 确定回归系数

为了确定回归方程中的回归系数a和b，我们需要一组已知的数据点，其中包

含自变量x和因变量y的取值。通过求解回归系数，我们可以找到最佳拟合线，

使得该线尽可能地接近数据点。

3.1 最小二乘法

最小二乘法是一种常用的确定回归系数的方法。其基本思想是通过最小化预测

值和真实值之间的残差平方和来找到最佳拟合线。

考虑到一组包含n个数据点的数据集{(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)}，回归方程

的系数可以通过以下公式计算得到：

a = (n∑(xi * yi) - ∑xi * ∑yi) / (n∑(xi^2) - (∑xi)^2)

b = (∑yi - a * ∑xi) / n

计算a和b之后，线性回归方程就可以得到。

4. 应用案例

线性回归方程在实际问题中有广泛的应用。以下是一个简单的应用案例：

假设我们希望预测一个人的体重（y）与他们的身高（x）之间的关系。收集了

一组数据点如下：

身高(x)（厘米）：165, 170, 175, 180, 185

体重(y)（千克）：55, 60, 65, 70, 75

使用最小二乘法计算回归系数：

n = 5

∑(xi * yi) = 165*55 + 170*60 + 175*65 + 180*70 + 185*75 = 169750

∑xi = 165 + 170 + 175 + 180 + 185 = 875

∑(xi^2) = 165^2 + 170^2 + 175^2 + 180^2 + 185^2 = 148500

∑yi = 55 + 60 + 65 + 70 + 75 = 325

a = (5 * 169750 - 875 * 325) / (5 * 148500 - 875^2) ≈ 0.7647

b = (325 - 0.7647 * 875) / 5 ≈ -29.4118

得到线性回归方程：y ≈ 0.7647x - 29.4118

通过该方程，我们就可以预测其他身高对应的体重。

5. 总结

线性回归方程在高中数学中是一种常用的统计方法，用于描述两个变量之间的

线性关系。通过最小二乘法来确定回归系数，可以找到最佳拟合线。线性回归方程

在实际问题中有广泛的应用，可以帮助我们预测和模拟数据的变化趋势。