2020年陕西省中考数学试卷含答案解析

2023年12月2日发(作者：贵州高考数学试卷评价)

2020年陕西省中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．﹣18的相反数是（ ）

A．18 B．﹣18 C． D．﹣

2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ ）

A．57° B．67° C．77° D．157°

3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（ ）

A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103

4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）

A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃

5．计算：（﹣x2y）3＝（ ）

A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．﹣x6y3 D．﹣x5y4

6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）

A． B． C． D．

7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4

第1页（共23页）

D．6 8．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）

A． B． C．3 D．2

9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）

A．55° B．65° C．60° D．75°

10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11．计算：（2+）（2﹣）＝ ．

12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．

13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ．

14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ．

第2页（共23页）

三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）

15．（5分）解不等式组：

16．（5分）解分式方程：﹣＝1．

17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：

（1）这20条鱼质量的中位数是 ，众数是 ．

（2）求这20条鱼质量的平均数；

（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

第3页（共23页）

20．（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．

21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

第4页（共23页）

22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AB＝12，求线段EC的长．

24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

第5页（共23页）

25．（12分）问题提出

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ．

问题探究

（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为（xm），阴影部分的面积为y（m2）．

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

第6页（共23页）

第7页（共23页）

2020年陕西省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．﹣18的相反数是（ ）

A．18 B．﹣18 C． D．﹣

解：﹣18的相反数是：18．

故选：A．

2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ ）

A．57°

解：∵∠A＝23°，

∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．

故选：B．

3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（ ）

A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103

B．67° C．77° D．157°

解：990870＝9.9087×105，

故选：A．

4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）

A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃

解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，

故选：C．

5．计算：（﹣x2y）3＝（ ）

第8页（共23页）

A．﹣2x6y3

解：（﹣x2y）3＝故选：C．

B．x6y3

＝C．﹣x6y3

．

D．﹣x5y4

6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）

A． B．

＝，

＝3.5，

C． D．

解：由勾股定理得：AC＝∵S△ABC＝3×3﹣∴∴∴BD＝故选：D．

，

，

，

7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，

解得，，

∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），

∴△AOB的面积＝故选：B．

8．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）

3×2＝3，

第9页（共23页）

A． B． C．3 D．2

解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，

∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，

∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，

∴F是AG的中点，

∴EF是梯形ABCG的中位线，

∴CG＝2EF﹣AB＝3，

又∵CD＝AB＝5，

∴DG＝5﹣3＝2，

故选：D．

9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）

A．55°

解：连接CD，

∵∠A＝50°，

∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，

∵E是边BC的中点，

∴OD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴∠ODB＝∠ODC＝故选：B．

第10页（共23页）

B．65° C．60° D．75°

BDC＝65°，

10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

）2+m﹣），

，m﹣﹣3），

，

D．第四象限

解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣∴该抛物线顶点坐标是（，m﹣∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（∵m＞1，

∴m﹣1＞0，

∴∵m﹣∴点（故选：D．

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11．计算：（2+）（2﹣）2

）＝ 1 ．

＞0，

﹣3＝，m﹣＝﹣3）在第四象限；

＝﹣﹣1＜0，

解：原式＝22﹣（＝4﹣3

＝1．

12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是

144° ．

解：因为五边形ABCDE是正五边形，

第11页（共23页）

所以∠C＝所以∠BDC＝＝108°，BC＝DC，

＝36°，

所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，

故答案为：144°．

13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为 ﹣1 ．

解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，

∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，

∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，

∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），

∴3×2＝﹣6m，

∴m＝﹣1，

故答案为：﹣1．

14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 2 ．

解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，

得矩形AGHE，

∴GH＝AE＝2，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，

∴BG＝3，AG＝3＝EH，

第12页（共23页）

∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，

∵EF平分菱形面积，

∴FC＝AE＝2，

∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，

在Rt△EFH中，根据勾股定理，得

EF＝故答案为：2＝．

＝2．

三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）

15．（5分）解不等式组：

解：由①得：x＞2，

由②得：x＜3，

，

则不等式组的解集为2＜x＜3．

16．（5分）解分式方程：解：方程﹣＝1，

﹣＝1．

去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，

解得：x＝，

经检验x＝是分式方程的解．

17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

解：如图，点P即为所求．

第13页（共23页）

18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

证明：∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠C．

∵∠B＝∠C，

∴∠B＝∠DEC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形．

∴AD＝BE．

19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：

（1）这20条鱼质量的中位数是 1.45kg ，众数是 1.5kg ．

（2）求这20条鱼质量的平均数；

（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

第14页（共23页）

解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，

∴这20条鱼质量的中位数是故答案为：1.45kg，1.5kg．

（2）＝∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；

（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），

答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．

20．（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．

＝1.45（kg），

＝1.45（kg），众数是1.5kg，

第15页（共23页）

解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，

∴∠CEF＝∠BFE＝90°，

∵CA⊥AM，NM⊥AM，

∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，

∴CE＝BF，ME＝AC，

∠1＝∠2，

∴△BFN≌△CEM（ASA），

∴NF＝EM＝31+18＝49，

由矩形性质可知：EF＝CB＝18，

∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．

答：商业大厦的高MN为80m．

21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），

第16页（共23页）

则：20＝15k，

解得k＝，

∴y＝；

当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），

则：，

解得，

∴y＝，

∴；

（2）当y＝80时，80＝33﹣15＝18（天），

∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．

22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；

（2）画树状图得：

，解得x＝33，

第17页（共23页）

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，

∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝．

23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AB＝12，求线段EC的长．

证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，

∴∠OCE＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝90°，

∵∠AOC+∠OCE＝180°，

∴∴AD∥EC

第18页（共23页）

（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝60°，

∴∠D＝∠ACB＝60°，

∴sin∠ADB＝∴AD＝∴OA＝OC＝4＝8，

，

，

∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，

∴四边形OAFC是矩形，

又∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴CF＝AF＝4，

∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，

∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∵tan∠EAF＝∴EF＝AF＝12，

．

，

∴CE＝CF+EF＝12+424．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、第19页（共23页）

E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，

故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），

故OA＝OC＝3，

∵∠PDE＝∠AOC＝90°，

∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，

设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，

故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），

故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；

当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，

综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．

25．（12分）问题提出

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是

CF、DE、DF ．

问题探究

（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠，解得，

APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线第20页（共23页）

段CF的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为（xm），阴影部分的面积为y（m2）．

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形CEDF是矩形，

∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE＝DF，

∴四边形CEDF是正方形，

∴CE＝CF＝DE＝DF，

故答案为：CF、DE、DF；

（2）连接OP，如图2所示：

∵AB是半圆O的直径，＝2，

∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，

∴∠ABP＝30°，

同（1）得：四边形PECF是正方形，

∴PF＝CF，

第21页（共23页）

在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝＝4CF，

，

∵PB＝PF+BF，

∴PB＝CF+BF，

即：4＝CF+CF，

； 解得：CF＝6﹣2（3）①∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵CA＝CB，

∴∠ADC＝∠BDC，

同（1）得：四边形DEPF是正方形，

∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，

∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：

则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，

∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，

∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），

在Rt△ACB中，AC＝BC＝∴S△ACB＝AC2＝×（35AB＝×70＝35，

）2＝1225，

∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；

②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，

在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，

∴×50×PF＝×40×30，

解得：PF＝24，

∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），

∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．

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＝＝50，

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