2024年3月14日发(作者：云南师大月考数学试卷)
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,2019 年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)
第 I 卷（选择题)
一、单 题选
1．已知集合
2
M x 4 x 2 ，N { x x x 6 0
，则
M N
=
A．
{ x 4 x 3
B．
{x 4 x 2
C．
{ x 2 x 2
D．
{ x 2 x 3
2．设复数 z满足
z i =1
，z在复平面内对应的点为 (x，y)，则
A．
2 2
2
( x+1) y 1
B．
2
(x 1) y 1
C．
2
( 1)
2
1
2
( y+1)
2
x y
D．
x
3．已知
0.2 0.3
a log 0.2, b 2 ,c 0.2
，则
2
A．
a b c
B．
a c b
C．
c a b
D．
b c a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5 1
2
（
5 1
2
≈ 0.61，8 称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5 1
2
．若某人满足上述两个黄金分割
比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B． 175 cm C．185 cm D．190cm
5．函数 f(x)=
sin
x x
在 [— π， π的] 图像大致为
cos
2
x x
A． B．
专业资料
1
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C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个
爻组成，爻分为阳爻“ —— ”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一
重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是
A．
5
16
B．
11
32
C．
21
32
D．
7．已知非零向量 a，b 满足
a
=2
b
，且
（
a
–
b） b，则 a 与 b 的夹角为
A．
π
6
B．
π
C．
2π
3
3
D．
5π
6
1
8．如图是求
2
1
的程序框图，图中空白框中应填入
2
1
2
A．A=
1
2 A
B．A=
2
1
C．A=
1
A 1 2A
1
1
D．A=
2A
9．记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前 n 项和．已知
S
4
0，a
5
5
，则
A．
a2n 5
B．
a
2
n
n
3n 10
C．
S 2n 8n
D．
n
S
n
10．已知椭圆 C 的焦点为
F
1
( 1,0) ，F
2
( 1,0)
，过 F
2
的直线与 C 交于 A，B 两点.若
专业资料
11
16
1
2
n 2n
2
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│AF│
2
2│F
2
B│
，
│ AB│ │BF│
1
，则 C 的方程为
2
2 2
A．
x
2 2
2
1
x y
C．
x y
2 2
1
D．
x y
1
2
y
1
B．
3 2 4 3
5 4
11．关于函数
f (x) sin | x| | sin x |
有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（
, ）单调 增递
2
③f(x)在
[ , ]
有 4 个零点 ④ f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编 是号
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB =PC，△ ABC 是边 为长2 的正
三角形， E，F 分别是 PA，PB 的中点，∠ CEF =90°，则球 O 的体积为
A．
8 6
B．
4 6
C．
2 6
D．
6
第 II 卷（非选择题)
13．曲线
2 x
y 3(x x)e
在点
(0,0)
处的切线方程为 ___________．
14．记S{a
n
为等比数列
n
} 的前 n 项和．若
1
2
a ，a a
，则 S
5
=____________ ．
1 4 6
3
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜队该，时利获胜，决赛
结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依 为次“主主客客主客主 ”．设甲队主场取胜
的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶ 1 获胜的概
率是 ____________．
2 2
16．已知双曲线 C：
x y
的左、右焦点分别为 F
1
a
2
b
2
1(a 0,b 0)
， F
2
，过F
1
的直线与C
的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若
F A AB
，
F
1
B F
2
B 0
，则 C 的离心率为
1
____________．
17
．
V ABC
的内角
A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设
2 2
(sin B sin C) sin A
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sin B sin C
．
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（1）求 A；
（2）若
2a b 2c
，求
sinC
．
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18．如图，直四棱柱 ABCD
–
A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形， AA
1
=4，AB=2，∠BAD =60° ，E，M，
N 分别是 BC
，
BB
1
，A
1
D 的中点．
（1）证明： MN∥平面 C
1
DE；
（2）求二面角 A-MA
1
-N 的正弦值．
3
19．已知抛物线 C：y
的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交
2
=3x 的焦点为 F，斜率为
2
2
=3x 的焦点为 F，斜率为
点为 P．
（1）若|AF |+|BF |=4，求 l 的方程；
（2）若
AP 3PB
，求 |AB|．
sin x ln(1 x)
，
f (x)
为 f (x) 的导数．证明： 20．已知函数
f ( x)
（1）
f (x)
在区间
( 1, )
存在唯一极大值点；
2
（2） f ( x) 有且仅有 2 个零点．
21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验． 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．
只施以甲药，另一只施以乙药．
对于两只白鼠， 随机选一
一轮的治疗结果得出后， 再安排下一轮试验．当其中一种药
4 只时，就停止试验， 并认为治愈只数多的药更有效． 为 治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多
了方便描述问题， 约定： 对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则
甲药得 1 分，乙药得
甲药得
1
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得
1 分，
α
1
分；若都治愈或都未治愈则两种药均得
X．
0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为
和 β，一轮试验中甲药的得分记为
（1）求
X
的分布列；
（2）若甲药、 乙药在试验开始时都赋予 4 分，
( 0,1, ,8)
表示 “甲药的累计得分为 i 时，
p i
i
最终认为甲药比乙药更有效 ”的概率，则
p
0
0
，
p
8
1
，
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p ap bp cp (i 1,2, ,7)
，其中
a P(X 1)
，
b P(X 0)
，
i i 1 i i 1
c P( X 1)
．假设
0.5
，
0.8
．
(i)证明：
{ p
i
1
p
i
} (i 0,1,2, ,7)
为等比数列；
(ii) 求
p
4
，并根据
p
4
的值解释这种试验方案的合理性．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程 ]
2
x
1
2
，
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
1
t
（
y
t
1
4t
为
参
2
数
t
）
，
以
坐
标
原
点
为
t
O
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0
．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
23．[选修 4-5：不等式选讲 ]
已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1．证明：
（1）
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
；
3 3 3
（2）
(a b) (b c) (c a) 24
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法， 渗透了数学运算素养． 采取数轴法，
形结合的思想解题．
【详解】
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利用数
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由题意得，
M x 4 x 2 , N x 2 x 3
，则
M N x 2 x 2
．故选 C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误， 区分交集与并集的不同， 交集取公共部分， 并集包括二者部分．
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2．C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（
(0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C．
【详解】
z
x，y）和点
x yi, z i x ( y 1)i ,
2
z i x
( 1)
2
1,
2
y
则
x
( 1)
2
1
y
．故选 C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，
法，利用方程思想解题．
3．B
【解析】
【分析】
运用中间量 0
比较
a, c
，运用中间量
1
比较
b , c
【详解】
a
渗透了直观想象和数学运算素养． 采取公式法或几何
log 0.2 log 1 0,
b
2
2 2
0.3 0
2 1,
0 0.2
0.4 0
0.2 1,
则
0 c 1,a c b
．故
选 B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，
转化与化归思想解题．
4．B
【解析】
【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】
26
渗透了直观想象和数学运算素养． 采取中间变量法， 利用
设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则
26 x
y 105 x
5 1
，
2
得
x 42.07 cm, y 5.15cm
．又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以其
专业资料
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身高约为 42．07+5．15+105+26=178 ．22，接近 175cm．故选 B．
【点睛】
本题考查类比归纳与合情推理，
想解题．
5．D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得
确答案．
【详解】
f (x) 是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正
渗透了逻辑推理和数学运算素养． 采取类比法， 利用转化思
由
sin( x) ( x)
2
sin x x
2
，得 f (x) 是奇函数，其图象关于原点对
f ( x)
cos( x) ( x)
f (x)
cos x x
f ( )
4 2
0
．故选 D．
2
1 2
称．又
f
( )
1,
2
1
2 ( )
2
2
【点睛】
本题考查函数的性质与图象， 渗透了逻辑推理、 直观想象和数学运算素养． 采取性质法或赋
值法，利用数形结合思想解题．
6．A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，
等数学素养， “重卦”中每一爻有两种情况，
渗透了传统文化、 数学计算
基本事件计算是住店问题， 该重卦恰有 3 个阳
爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】
爻有
6
由题知， 每一爻有 2 中情况， 一重卦的
2
6
情况， 其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有
3
6
6
3
C ，
6
所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为
C
2
【点睛】
对利用排列组合计算古典概型问题，
专业资料
5
，故选 A．
=
16
首先要分析元素是否可重复， 其次要分析是排列问题还
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是组合问题． 本题是重复元素的排列问题， 所以基本事件的计算是“住店”问题，
事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
7．B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、
学计算等数学素养． 先由
(a b)
公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为
(a b)
a b
=
2
b
，所以
(a b) b a b b
2
=0，所以
a b b
，所以
2
满足条件
夹角与垂直问题， 渗透了转化与化归、 数
b
得出向量 a,b 的数量积与其模的关系， 再利用向量夹角
cos
| b|
2
1
，所以
a
与
b
的夹角为
2
，故选 B．
a b
【点睛】
2 |b |
3
对向量夹角的计算， 先计算出向量的数量积及各个向量的摸，
的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为
8．A
【解析】
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，
在利用向量夹角公式求出夹角
[0, ]
．
渗透阅读、 分析与解决问题等素养， 认真分析式子结构特
征与程序框图结构，即可找出作出选择．
【详解】
1
1 1
=
A , k 1 2
是， 因为第一次应该计算
2
1
2 A
2
2
，
k
执行第 1 次，
k 1
=2，循环，
执行第 2
次，
k 2 2
，是，因为第二次应该计算
2 2
，否，输出，故循环体为 执行第 3 次，
k
1
1
1
=
2
，
k k 1
=3，循环，
1
2 A
2
2
，故选 A．
1
A
A
2
【点睛】
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1
秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为
A
．
2 A
9．A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前 n 项和公式．本题还可用排除，对 B，
a
5
5
，
2
4( 7 2)
S
4
10 0
，排除 B，对 C，
S
4
2
1
2
0, a
5
S
5
S
4
5
2 5 8 5 0 10 5
，
排除 C．对 D，
S
4
0,a
5
S
5
S
4
5
2
2 5 0
2
5
，排除 D，故选 A ．
【详解】
由题知，
d
4a
1 4
S
a
5
，∴
3
a
4 3 0
，解得
d 2
n
a
1
2 5
n
，故选 A．
a
1
2
4d 5
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式， 渗透方程思想与数学计算等素养． 利用等
差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，
算即可做了判断．
10． B
【解析】
【分析】
由已知可设
解出首项与公差， 在适当计
F
2
B n
，则
AF
2
2n, BF
1
AB 3n
，得
AF
1
3
2n
，在
△AF
1
B
中求得
1
cos
F AB
，再在 △AF
1
F
2
中，由余弦定理得
n
1
，从而可求解 .
3
【详解】
法一：如图，由已知可设
2
F
2
B
AF
1
n
，则
AF
2
2a AF
2
2n, BF
1
AB 3n
，由椭圆的定义有
2a BF
1
BF
2
4n, 2n
．在
△AF
1
B
中，由余弦定理推论得
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cos F AB
4n 9n 9n
1
2 2n 3n
2 2
2 2 2
1
．在 △AF
1
F
2
中，由余弦定理得
3
3
．
1
2 2n 2n
3
4n 4n
4
，解得
n
2
专业资料
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2 2 2
2 2
2a 4n 2 3 , a
故选 B．
法二：由已知可设
F B
2
3 , b a c 3 1 2 ,
所求椭圆方程为
x y
2
1
3
，
n
，则
AF
2
AF
1
2
2n , BF
1
AB 3n
，由椭圆的定义有
2a
2
BF
1
BF
2
4n, 2a AF
2
2n
．在
△
AF
1
F
2
和
△BF
1
F
2
中，由余弦定理得
AF
2
F
1
, BF
2
F
1
互补，
4n
2
4 2 2n 2 cos AF F
2 1
4n ,
2
，又
n 4 2 n 2 cos BF F
2 1
9n
2
0
，两式消去
cos AF
2
F
1
, cos BF
2
F
1
，得
2
3n 6 11n
，
2 2 2
cos AF F
2 1
cos BF F
2 1
解得
3
2
n
2
2a 4n 2 3 , a
．
3 , b a c 3 1 2 ,
所求椭圆方程为
2
x
3
y
2
1
，故选 B．
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，
落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
11．C
【解析】
【分析】
化简函数
f
考查数形结合思想、 转化与化归的能力， 很好的
x sin x sin x
，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
f
x
x
sin x
时，
f
sin x sin x sin x f x , f x
为偶函数，故①正确．当
2
x 2sin x
，它在区间
,
2
单调递减，故②错误．当
0 x
时，
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f x
f x
0
x 2k
2sin x
，它有两个零点：
0
sin x sin x
；当
x 0
时，
，故
f
时，
f
2sin x
，它有一个零点：
2k , 2k
时，
f
x
在
x
, 3
个零点：有
，故③错误．当
x k N
2sin x
；当
为偶函数，
, 2k 2 k N
x sin x sin x 0
，又
f x
正确，故选 C．
f x
的最大值为
2
，故
④
正确．综上所述，
①④
【点睛】
画出函数
f x sin x sin x
的图象，由图象可得①④正确，故选 C．
12． D
【解析】
【分析】
先证得
PB PAC
，再求得
PA
平面
PB PC 2
，从而得
P ABC
为正方体一部分，
. 进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解
【详解】
解法一 :
PA PB PC, ABC
为边长为 2 的等边三角形，
P ABC
为正三棱锥，
PB AC
，又
E
，
F
分别为
PA
、
AB
中点，
AC
，又
EF CE
，
CE AC C,
PA PB PC
EF / /PB
，
EF
PAC
，
平面
PAB
EF
PAC
，
PB
平面
2
，
P ABC
为正方体一部分，
4
3
2R 2 2 2 6
，即
6
,
2
V
4
R
3
6 6
6
，故选 D．
8
R
3
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解法二 :
设
PA
PB PC 2x
，
E,F
分别为
PA, AB
中点，
1
PB x
，
2
CE
ABC
为边长为 2 的等边三角形，
2
EF / /PB
，且
又
EF
CF
3
CEF 90
1
, AE
2
3 x PA x
2
AEC
中余弦定理
2
4
cos EAC
x
AD
PA
3
x
1
2x
PD
，作
4 3
4x
AC
于
D
，
PA PC
，
1
2x
2 2 x
Q D
为
AC
中点，
cos EAC
，
x
2 2
x
，
2 2
1
x
2
2
，
2
x
1 2
x
PA PB PC 2
，又
AB=BC =AC=2
，
2
2R 2 2 2
6
，
R
6
2
PA PB PC
两两垂直，
, ,
4
3
，
4
R
3
6 6
6
，故选 D.
8
V
3
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【点睛】
本题考查学生空间想象能力， 补体法解决外接球问题． 可通过线面垂直定理， 得到三棱两两
互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
13．
3x y 0
.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义， 通过求导数， 确定得到切线的斜率， 利用直线方程的点斜式求得
切线方程
【详解】
详解：
所以，
/
y
k
3(2 1)
x
3(
2
x e x
|
x
3
y
0
2 x
/
)
x
x e
3(
2
3 1)
x
,
x x e
所以，曲线
y x
3(
x
在点
(0,0)
处的切线方程为 y 3x ，即
3x y 0
．
)e
【点睛】
准确求导数是进一步计算的基础， 本题易因为导数的运算法则掌握不熟，
导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
121
14． .
二导致计算错误． 求
3
【解析】
【分析】
本题根据已知条件， 列出关于等比数列公比
q
的方程，
应用等比数列的求和公式，
计算得到
S
．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
5
【详解】
1
设等比数列的公比为
q
，由已知
a
1
2
,a
4
3
所以
q 3,
所以
5
1
3 2
( q )
a
，所以
0
，
6
3
5
1
5
q ,
又
q
3
1
(1 3 )
q
(1
1
．
S
5
a
) 3
1 3
121
3 1 q
【点睛】
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准确计算， 是解答此类问题的基本要求． 本题由于涉及幂的乘方运算、 繁分式分式计算，
部分考生易出现运算错误．
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15．0.216.
【解析】
【分析】
本题应注意分情况讨论， 即前五场甲队获胜的两种情况， 应用独立事件的概率的计算公式求
解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】
前四场中有一场客场输， 第五场赢时， 甲队以 4:1 获胜的概率是
前四场中有一场主场输， 第五场赢时， 甲队以 4:1 获胜的概率是
3
0.5
0.5 0.5 2 0.108,
2 2
0.4 0.6 0.5 2 0.072,
综上所述，甲队以 4:1 获胜的概率是
q 0.108 0.072
【点睛】
0.18.
由于本题题干较长， 所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意； 易错点之二是思
维的全面性是否具备， 要考虑甲队以 4:1 获胜的两种情况； 易错点之三是是否能够准确计算．
16．2.
【解析】
【分析】
通过向量关系得到
F
1
A
可得
BOF
2
离心率 .
【详解】
如图，
AB
和
OA F
1
A
，得到
AOB
0
AOF
1
，结合双曲线的渐近线
b
0
tan 60
AOF
1
,
BOF
2
AOF
1
BOA 60 ,
从而由
a
3
可求
由
F
1
A AB,
得
F
1
A AB.
又
OF
1
OF
2
,
得 OA是三角形
F
1
F
2
B
的中位线，即
2OA.
由
F B F B
1 2
BF
2
/ / OA, BF
2
，得
F
1
B F
2
B,OA F
1
A,
则
OB OF
1
有
0
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AOB AOF
，
1
又 OA与 OB都是渐近线，得
BOF
2
0
AOF
1
,
又
BOF
2
b
AOB AOF
1
，得
BOF
2
AOF
1
0
BOA 60 ,
．又渐近线 OB的斜率为
a
tan 60
3
，所以该双曲
c
线的离心率为
e
a
【点睛】
b
2 2
1 ( )
a
1 ( 3)
．
2
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，
养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
17．（1）
A
；（2）
渗透了逻辑推理、 直观想象和数学运算素
3
【解析】
【分析】
sin
C
6
4
2
.
（1 ）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：
2 2 2
b c a
2 sin A
bc
，从而可整理出
cos A
，
sin B 2sin C
，利用 根据
A 0,
可求得结果； （2 ）利用正弦定理可得
sin B sin A C
、两角和差正弦公式可得关于
sin C
和
cosC
的方程，结合同角三角函
数关系解方程可求得结果 .
【详解】
（1 ）
sin B sin C
2 2 2 2
sin B 2sin B sin C sin C sin A sin B sin C
即：
sin
2
B sin
2
C sin
2
A sin B sin C
由正弦定理可得：
2 2 2
b c
1
2
a bc
2 2
2
cos A
b c a
2bc
A
（2 ）
0,π
2a b
A=
3
2c ，由正弦定理得： 2 sin A sin B 2sin C
又
sin B sin A C sin A cosC cosAsin C
，
A
3
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