初中数学教材典型题——手拉手模型

2024年4月1日发(作者：广西高考数学试卷及)

初中数学教材典型题——手拉手模型

一、习题来源：人教版八年级数学上册83页，习题13.3第12题.

如图，△ABD，△AEC都是等边三角形.求证BE=DC.

证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，

∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，

∴∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC．

二、小结：

1.知识点：等腰三角形的性质、全等三角形的判定

2.该题可以演化出初中几何模型——手拉手模型

具有公共顶点且顶角相同的两个等腰三角形构成手拉手（旋转相

等）模型.

如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，

∠BAC=∠DAE=



.

结论：△BAD≌△CAE。

手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现.

三、练习：

1.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形，

AN交CM于点E，BM交CN于点F.

求证;（1）AN=BM；

（2）EF∥AB.

2.(2021·贵港节选)已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，

将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连

接AE，CF.

（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量

关系是；

（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然

成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

3.(2022·龙东节选)△ABC和△ADE都是等边三角形．将△ADE绕

点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想

线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明.

4.(2020·烟台节选)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上

一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，

连接CF．如图，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD.

参考答案

1.证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，

∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，

即：∠ACN=∠MCB，

在△CAN和△CMB中，



AC=MC





∠ACN=∠MCB



NC=BC



∴△CAN≌△CMB（SAS），

∴AN=BM

（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN=∠CMB，

又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB

=180°-60°-60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE，

在△CAE和△CMF中，

∴△CAE≌△CMF（ASA），

∴CE=CF，

∴△CEF为等腰三角形，

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF为等边三角形．

∴∠CEF=∠MCA=60°

∴EF∥AB

2.（1）AE=CF（2）成立

=PA+PC

4.略