2024年1月24日发(作者：数学试卷分析与反思400)

高一数学 集 合

一、集合的含义与表示

1、集合的含义：指定的某些对象的全体称为集合。

2、集合的构成---元素：集合中的每个对象我们称为元素。元素是集合构成的主要部分。

元素的三个特性：

(1) 确定性 如：世界上最高的山、身高在185cm的高二男生

(2) 互异性 如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3) 无序性 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3、元素与集合的关系

元素与集合有属于（∈）和不属于（）这两种关系。

如果a是集合A的元素就说a属于集合A，记作：a∈A

如果a不是集合A的元素就说a不属于集合A，记作：aA

4、常用的数集的表示

非负整数集（即自然数集）：N , 正整数集:N*或N+, 整数集:Z, 有理数集:Q,

实数集:R

5、集合的表示方法

1）列举法：{a,b,c……}

注意：①元素元素之间必须用“，”隔开。②集合中的元素必须是明确的。

③元素可以没有顺序的出现。④集合中的元素不能出现重复或漏掉的情况。

⑤元素可以是任何的具体的事物。⑥如果元素的数量无限，表示的时候必须表示出规律然后用省略号

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2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR|x-3>2} ,{x| x-3>2} （符号描述法）

语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

3）Venn图:

6、集合的分类

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB，或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。即：若aA则aB，那么称集合A称为集合B的子集

注意：①A如果是B的子集，那么A中的元素全是B中的元素。

B ②当A不是B的子集，那么A不包含于B，或者说B不包含A 。表示为A（只 A

要A中有一个元素不是B中的元素，A就不是B的子集）

③任何一个集合都是他本身的子集

④空集是任何集合的子集。（没有任何元素的集合我们称为空集，表示为∅）

⑤韦恩图表示子集与集合之间的关系

2、集合相等

如果集合A中的任何一个元素都是元素B的元素，同时集合B中的任何一个元素都是A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B，读作A等于B

3、真子集：如果AB，并且AB，那么集合A成为集合B的真子集，记为AB或，如：aa,b。

BA，读作“A真包含于B或B真包含A”

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注意：①空集是任何非空集合的真子集。

②集合与元素之间的关系式属于和不属于这两种，集合和集合之间的关系主要是包含（包含于）与不包含（不包含于）两种关系。

③如果A是B的真子集，B是C的真子集，那么A是C的真子集。

4、空集对集合的影响

①空集是任何集合的子集。同是空集是任何非零集合的真子集。

②空集在题目中具有独特性，所以为了防止空集的出现会影响题目的正确性，我们首先要考虑空集这种情况。

三、集合的基本运算

1、并集：一般地，由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB（读作“A并B”），即：AB=BA，AAB，BAB。

2、交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB（读作“A交B”），即：AB=x|xA,且xB。

AB=BA，ABA，ABB。

3、全集和补集

补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为CsA，读作“A在S中的补集”，即CsA=x|xS,且xA。

全集：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集。通常全集记作U。

运算交 集

类型

并 集 补 集

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定 由所有属于A且属于义 B的元素所组成的集合,叫做A,B的交由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作CSA，即

CSA={x|xS,且xA}

S

集．记作AB（读作集．记作：AB（读作‘A交B’），即AB=‘A并B’），即AB

｛x|xA，且xB｝． ={x|xA，或xB})．

韦

恩

图

性 A

A=A AΦ=Φ

质

AB=BA

AA=A AΦ=A

AB=BA

ABABA

图1

图2

(CuA)

 (CuB)= Cu (AB)

(CuA)

 (CuB)= Cu(AB)

A (CuA)=U A (CuA)= Φ． ABA ABB ABＡ ABB

2、集合的运算性质与运用

交换律：A结合律:(ABBA;ABBA.

B)CA(BC);(AB)CA(BC)

分配律:.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)

0-1律：IA,UAA,UIAA,UUAU

等幂律：AAA,AAA.

求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U

反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)

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