2024年3月23日发(作者：小升初数学试卷满分120)
第一章 实数集与函数
习题
§1实数
1、 设a为有理数，x为无理数。证明：
（1）a+ x是无理数；（2）当a≠0时，ax是无理数。
2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：
2
（1）x（
x
-1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）
x1
-
2x1
≥
3x2
。
3、 设a、b
R。证明：若对任何正数
有|a-b|<
，则a = b。
4、 设x≠0，证明|x+
1
|≥2，并说明其中等号何时成立。
x
5、 证明：对任何x
R有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。
6、 设a、b、c
R
（
R
表示全体正实数的集合）。证明
|
a
2
b
2
-
a
2
c
2
|≤|b-c|。
你能说明此不等式的几何意义吗
7、 设x>0，b>0，a≠b。证明
axa
介于1与之间。
bxb
8、 设p为正整数。证明：若p不是完全平方数，则
p
是无理数。
9、 设a、b为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：
（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b；（3）|
x
-a| §2数集、确界原理 1、 用区间表示下列不等式的解： （1）|1-x|-x≥0；（2）| x+ 2 1 |≤6； x （3）（x-a）（x-b）（x-c）>0（a，b，c为常数，且a （4）sinx≥ 2 。 2 2、 设S为非空数集。试对下列概念给出定义： （1）S无上界；（2）S无界。 3、 试证明由（3）式所确定的数集S有上界而无下界。 4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）S={x| x <2}；（2）S={x|x=n！，n N }；（3）S={x|x为（0，1）内的无理数}； （4）S={x|x=1- 2 1 ，n N }。 2 n 5、 设S为非空有下界数集。证明：infS= S =minS。 6、 设S为非空数集，定义 S ={x|-x S}。证明： （1）inf S =-supS；（2）sup S =-infS。 7、 设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，x A，y B}。证明： （1）sup（A+B）=supA+supB；（2）inf（A+B）=infA+infB。 8、 设a>0，a≠1，x为有理数。证明 sup{ a |r为有理数，r r a x = inf{ a r |r为有理数，r §3函数概念 1、 试作下列函数的图象： 3x,|x|1, 3 22 2 （1）y= x +1；（2）y= (x1) ；（3）y=1- (x1) ；（4）y=sgn（sinx）；（5）y= x,|x|1, 3,|x|1. 2、 试比较函数y= a 与y=log a 分别当a=2和a= xx 1 时的图象。 2 3、 根据图1-2写出定义在[0，1]上的分段函数 f 1 （x）和 f 2 （x）的解析表达式。 4、 确定下列初等函数的存在域： （1）y=sin（sinx）；（2）y=lg（lgx）；（3）y=arcsin（lg xx ）；（4）y=lg（arcsin）。 1010 5、 设函数f（x）= 2x,x0, x 2,x0. 求：（1）f（-3），f（0），f（1）；（2）f（Δx）-f（0），f（-Δx）-f（0）（Δx>0）。 6、 设函数f（x）= 1 1 2 ，求f（2+x），f（2x），f（ x ），f（f（x）），f（）。 f(x) 1x 7、 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成： sin （1）y= (1x) ；（2）y= (arcsinx) ；（3）y=lg（1+ 1x 2 ）；（4）y= 2 2022 2 x 。 8、 在什么条件下，函数y= axb 的反函数就是它本身 cxd 9、 试作函数y=arcsin（sinx）的图象。 10、试问下列等式是否成立： (1)tan（arctanx）=x，x R； (2)arctan（tanx）=x，x≠kπ+ ，k=0，±1，±2，… 2 11、试问y=|x|是初等函数吗 12、证明关于函数y=[x]的如下不等式： （1）当x>0时，1-x 11 ]≤1；（2）当x<0时，1≤x[]<1-x。 xx §4具有某些特性的函数
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