2024年4月13日发(作者：饶平二中试题数学试卷)
2024年高考仿真模拟数试题（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.若一组数据
1,1,a,4,5,5,6,7
的75百分位数是6，则
a
（）
A.4B.5C.6D.7
【答案】
C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求解即可．
【详解】这组数据为：
1,1,a,4,5,5,6,7
，但
a
大小不定，因为
80.756
，
所以这组数据的
75%
分位数为从小到大的顺序的第
6
个数和第
7
个数的平均数，
经检验，只有
a6
符合．
故选：
C
．
2.已知椭圆
E
：
x
2
y
2
a
2
b
2
1
a
b
0
的长轴长是短轴长的3倍，则
E
的离心率为（
A.
2
3
B.
22
3
C.
3
3
D.
23
3
【答案】
B
【解析】
【分析】根据题意可得
2a6b
，再根据离心率公式即可得解.
【详解】由题意，
2a6b
，所以
b
a
1
3
，
则离心率
e
c
a
1
b
2
1
2
22
a
2
1
3
3
.
故选：
B
.
3.设等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，若
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
20
，则
S
17
（）
A.150B.120C.75D.68
【答案】
D
【解析】
【分析】由等差数列
的
性质及求和公式计算即可得解
.
【详解】由等差数列的性质可知
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
5a
9
20
，
）
所以
a
9
4
，
S
17
故选：
D.
17
a
1
a
17
2
17
a
9
68
，
4.已知空间中，l、m、n是互不相同直线，
、
是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（
A.若
//
，
l
）
，
n
，则
l//n
B.若
l//
，
l//
，则
//
C.若
m//
，
n//
，
m
，
n
，则
//
D.若
l
，
l//
，则
【答案】
D
【解析】
【分析】对
A
、
B
、
C
选项，可通过找反例排除，对
D
选项，可结合线面平行的性质及面面垂直的判定定理
得到
.
【详解】对A选项：若
//
，
l
，
n
，则
l
可能与
n
平行或异面，故A错误；
对B选项：若
l//
，
l//
，则
与
可能平行或相交，故B错误；
对C选项：若
m//
，
n//
，
m
，
n
，可能
m//n
，
此时
与
可能平行或相交，故C错误；
对D选项：若
l//
，则必存在直线
p
，使
l//p
，
又
l
，则
p
，又
p
，则
，故D正确.
故选：
D.
5.7
个人站成两排，前排
3
人，后排
4
人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（
站排方式．
A.672
【答案】
D
【解析】
【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这两种情况解答即可
.
5
【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有
4A
5
480
种站
）种
B.864C.936D.1056
排方式；
当甲不站在每一排的两端时，有
3
种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可
选，剩下的人随便站，有
3C
2
C
4
A
4
576
种站排方式；
114
故总共有
4805761056
种站排方式.
故选：
D
．
1,0
)
，
B
0,3
，动点P满足
OPxOAyOB
，且
xy1
，则
6.在平面直角坐标系
xOy
中，已知
A
(
下列说法正确的是（
A.P
的轨迹为圆
C.P
点轨迹是一个菱形
【答案】
C
【解析】
）
B.P
到原点最短距离为
1
D.
点
P
的轨迹所围成的图形面积为
4
x
a
【分析】由题意得
b
，结合
xy1
可知
3ab3
，画出图形可知P点轨迹是一个菱形，故C
y
3
错误
A
正确；由点到直线的距离即可验证
B
；转换成
ABC
面积的两倍来求即可
.
x
a
a
x
【详解】设P点坐标为
a,b
，则由已知条件
OPxOAyOB
可得
，整理得
b
．
b
3
y
y
3
又因为
xy1
，所以P点坐标对应轨迹方程为
3ab3
．
a0
，且
b0
时，方程为
3ab3
；
a0
，且
b0
时，方程为
b3a3
；
a<
0
，且
b0
时，方程为
b3a3
；
a<
0
，且
b0
时，方程为
3ab3
．
P
点对应的轨迹如图所示：
k
AB
k
CD
3
，且
ABBCCDDA10
，所以P点的轨迹为菱形．A错误，C正确；
原点到
AB
：
3ab30
的距离为
轨迹图形是平行四边形，面积为
2
故选：
C
．
7.已知函数
f
(
x
)
3sin
4
x
3
3
2
1
2
310
1.
B错误；
10
1
2
3
6
，D错误．
2
4sin4
x
，设
xR,x
0
R,f(x)f
x
0
，则
3
6
2
tan
4
x
0
3
A.
等于（
）
4
3
B.
3
4
C.
3
4
D.
4
3
【答案】
B
【解析】
【分析】根据诱导公式得到
f(x)
最大值，即得到关于
x
0
的关系式，代入
tan
4
x
0
2
利用诱导公式即可.
3
【详解】
f
(
x
)3sin
4
x
4sin4
x
3sin(4
x
)4sin(4
x
)
，
3
6323
f
(
x
)
3sin(4
x
)
4cos(4
x
)
，
33
4
f
(
x
)
5sin(4
x
)(tan
)
，
33
f(x)
max
5
，
xR,x
0
R,f(x)f
x
0
，
4
x
0
2
k
(
k
Z)
，
32
13
tan(
2
k
)
.
2tan
4
2
tan
4
x
0
3
故选：
B.
x
2
y
2
8.已知双曲线
C
:
2
2
1(
a
0,
b
0)
的左焦点为
F
1
，离心率为e，直线
ykx(k0)
分别与C的左､右
ab
两支交于点M，N.若
MF
1
N
的面积为
3
，
MF
1
N60
，则
e
2
3a
2
的最小值为（）
A.2
【答案】
D
【解析】
B.3C.6D.7
【分析】作出辅助线，
S
F
1
NF
2
S
MF
1
N
3
，由面积公式求出
NF
1
NF
2
4
，利用双曲线定义和余弦定理
3a
2
1
2
3
3a
2
7
.
2
a
4
b
2
3
22
2
求出
F
，求出
，进而求出
e
3a
1
b3
NFN
12
a
2
3
【详解】连接
NF
2
,MF
2
，有对称性可知：四边形
MF
1
NF
2
为平行四边形，故
NF
2
MF
1
,NF
1
MF
2
，
FNF
12
120
，
S
FNF
12
S
MF
1
N
3
，
由面积公式得：
1
NF
1
NF
2
sin120
3
，解得：
2
NF
1
NF
2
4
，
由双曲线定义可知：
F
1
NF
2
N2a
，
2
2
F
1
N
2
F
2
N
2
4
c
2
F
1
N
F
2
N
2
F
1
N
F
2
N
4
c
在三角形
F
1
NF
2
中，由余弦定理得：
cos120
2
F
1
N
F
2
N
2
F
1
N
F
2
N
2
F
1
N
F
2
N
4
b
2
1
，
2
F
1
N
F
2
N
2
4
b
2
解得：
F
，
1
NF
2
N
3
4
b
2
所以
4
，解得：
b
2
3
，
3
故
e
2
3a
2
1
当且仅当
33
2
3a
1
2
3a
2
7
，
22
aa
3
3a
2
，即
a
2
1
时，等号成立.
2
a
故选：
D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数
f
x
sin
x
A.
f
x
为奇函数
C.
f
x
的图象关于直线
x
【答案】
AD
【解析】
【分析】对于A，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B，判断
f
xπ
f
x
是否成立即可；对于C，
判断
f
2
，则下列结论正确的有（
sin2
x
）
B.
f
x
是以
π
为周期的函数
π
对称
2
D.
x
0,
时，
f
x
的最大值为
4
π
2
2
2
π
π
π
x
f
x
是否成立即可；对于D，可得
x
0,
时，
f
x
单调递增，由此即可得解.
2
2
4
2
k
π
,
kZ
（关于原点对称）
的定义域为
x
，且
sin2
x
2
【详解】对于A，
f
x
sin
x
f
x
sin
x
22
sin
x
f
x
，
sin
2
x
sin2
x
22
sin
x
f
x
，故B错误；
sin2
x
sin
2
x
π
22
cos
x
sin2
x
，
π
sin
2
x
2
对于B，
f
x
π
sin
x
π
π
π
f
x
sin
x
对于C，
2
2
π
π
f
x
sin
x
2
2
22
cos
x
sin2
x
，
π
sin
2
x
2
但
f
π
π
π
x
f
x
，即
f
x
的图象不关于直线
x
对称，故C错误；
2
2
2
π
2
ysinx,ysin2x
y
时，均单调递增，所以此时也单调递增，
4
sin2
x
2
π
f
2
.
4
2
对于D，
x
0,
所以
x
0,
故选：
AD.
π
时，
f
x
单调递增，其最大值为
4
10.已知复数
z
1
，
z
2
，则下列命题成立的有（）
A.若
z
1
z
2
z
1
z
2
，则
z
1
z
2
0
2
0
，则
z
1
z
2
C.若
z
1
2
z
2
B.
z
1
z
1
,
n
Z
D.
z
1
z
2
z
1
z
2
n
n
【答案】
BCD
【解析】
【分析】举例说明判断
A
；利用复数的三角形式计算判断
B
；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意
义计算判断
CD.
【详解】对于A，当
z
1
1i,z
2
1i
时，
z
1
z
2
2z
1
z
2
，而
z
1
z
2
20
，A错误；
nn
对于B，令
z
1
r(cos
isin
),r0,
R
，则
z
1
r
(cos
n
isin
n
)
，
于是
|
z
1
|
r
|cos
n
isin
n
|
r
，而
|z
1
|r
，即有
|
z
1
|
r
，因此
z
1
z
1
成立，B正确；
nnnnn
n
n
设复数
z
1
abi(a,bR)
，
z
2
cdi(c,dR)
，
2
0
，得
(a
2
b
2
c
2
d
2
)(2ab2cd)i0
，
对于C，由
z
1
2
z
2
a
2
b
2
c
2
d
2
0
22
则
，
z
1
z
2
(a
2
b
2
)
2
(c
2
d
2
)
2
0
，因此
z
1
z
2
，C正确；
2
ab
2
cd
0
对于D，
z
1
z
2
(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i
，则
z
1
z
2
(acbd)(adbc)i
，
z
1
z
2
(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i
，因此
z
1
z
2
z
1
z
2
，D正确.
故选：
BCD
11.已知函数
f
x
满足：①对任意
x,yR
，
f
xy
f
x
f
y
f
x
f
y
2
；②若
xy
，
则
f
x
f
y
.则（
A.
f
0
的值为2
C.若
f
1
3
，则
f
3
9
【答案】
ABC
【解析】
【分析】对于A，令
xy0
，结合“若
xy
，则
f
x
f
y
”即可判断；对于B，由基本不等式相关
推理结合
2f
0
40
即可判断；对于C，令
y1
得，
f
x1
f
x
33f
x
2
，由此即可判断；
对于D，令
f
x
）
B.
f
x
f
x
4
D.若
f
4
10
，则
f
2
4
3
x
1
，即可判断.
【详解】对于A，令
xy0
，得
3f
0
f
0
2
，解得
f
0
1
或
f
0
2
，
若
f
0
1
，令
y0
，得
2f
x
1f
x
2
，即
f
x
1
，
但这与②若
xy
，则
f
x
f
y
矛盾，
所以只能
f
0
2
，故A正确；
2
f
x
f
x
yx
f02
对于B，令，结合
得，
f
x
f
x
f
x
f
x
，
2
解得
f
x
f
x
4
或
f
x
f
x
0
，
又
f
0
2
，所以
2f
0
40
，
所以只能
f
x
f
x
4
，故B正确；
对于C，若
f
1
3
，令
y1
得，
f
x1
f
x
33f
x
2
，
所以
f
x1
2f
x
1
，所以
f
2
2f
1
1615
，
所以
f
3
2f
2
11019
，故C正确；
对于D，取
f
x
2
3
x
1
，
x
则
f
x
f
y
2
3
1
3
y
1
2
x
3
x
y
3
3
xy
3
f
xy
f
x
f
y
且
f
x
满足
f
4
10
，但
f
2
故选：
ABC.
3
1
单调递增，
4
，故D错误.
3
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是构造
f
x
3
x
1
，由此即可证伪.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.设集合
M
2,0,1
，
Nxxa1
，若
MN
的真子集的个数是1，则正实数
a
的取值范围
为
______.
【答案】
0,1
1,3
【解析】
【分析】分
MN
0
和
MN
2
讨论即可.
【详解】
Nxxa1
，则
1xa1
，解得
1ax1a
，
若
MN
的真子集的个数是
1
，则
MN
中只含有一个元素，
因为
a
为正实数，则
1a1
，
1a1
，
1
a
0
若
MN
0
，则
1
a
2
，解得
0a1
，
a
0
0
1
a
2
若
MN
2
，则
1
a
2
，解得
1a3
，
a
0
综上所述，
a
的取值范围为
0,1
1,3
.
故答案为：
0,1
1,3
.
13.已知正四棱台
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的上、下底面边长分别为4、6，高为
2
，则正四棱台
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的体积为______，外接球的半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用棱台的体积公式计算即可得第一空，根据棱台与球的特征结合勾股定理计算即可得第二空.
【详解】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：
S
1
416,S
2
636
，
所以正四棱台
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的体积为
V
22
①.
762
3
②.
26
1762
；
S
1
S
1
S
2
S
2
2
33
连接
AC
，
BD
交于点
O
2
，连接
A
1
C
1
，
B
1
D
1
交于点
O
1
，如图所示：
当外接球的球心
O
在线段
O
1
O
2
延长线上，
设
OO
1
h
，外接球半径为R，则
O
2
O
2
h
2
，
2
因为
O
1
O
2
则
D
1
O
1
2
，上、下底面边长分别为4、6，
1
1
B
1
D
1
22
，
DO
2
BD
32
，
2
2
2
所以
R
2
D
1
O
1
2
h
2
DO
2
h
2h32,R
2
26
当外接球的球心
O
在线段
O
2
O
1
延长线上，显然不合题意；
当球心
O
在线段
O
1
O
2
之间时，则
O
2
O
2
故答案为：
2h
，同上可得，
h32
，不符舍去．
2
762
；
26
.
3
14.若
sin
0
，则
【答案】
2
【解析】
cos
的最大值为______．
【分析】借助基本不等式有
值即可，再应用三角函数的单调性即可得
.
2
2sin
消去
、
，对
2sin
cos
求最大
【详解】由题意得：
0
sin
1
，
0
，
0
，
则
2
2
2
，
当且仅当
时等号成立，
即
2
2sin
，
2sin
cos
，即
cos
0
sin
1
π
则有
，则
2
k
π
2
k
π
，
kZ
,
2
0
cos
1
有
sin
在
2
k
π
，
2
k
π
单调递增，
2
π
π
cos
在
2
k
π
，
2
k
π
上单调递减，
2
π
2
k
π
，
2
k
π
上单调递增，故
2sin
cos
在
2
则当
π
2
k
π
时，即
sin
1
、
cos
0
时，
2
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