基于高中数学思维能力培养的“全景式”数学问题设计研究

2023年12月29日发(作者：数学试卷上的解题技巧)

２０２３年１１月上半月　一题释全景　基于高中数学思维能力培养的“全景式”∗数学问题设计研究◉山东省桓台第一中学　苏同安　李晓玲本文中分析了所研究问题的缘由,给出了所建构的全景问题的研究设计模式,用具体案例阐述了如何针对高中数　　摘要:学各章节内容,设计出可体现“知识性质、问题类型、思想方法、思维过程”之全景的“全景式数学问题”旨在用“全景问题”解．决“题海战术”带来的弊端,提高学生学习兴趣和教学效率效果,减轻师生负担,促进各层面学生数学核心素养的培养,推动教师专业成长．关键词:高中数学;全景问题;研究设计全景式”数学问　　基于高中数学思维能力培养的“题设计的研究,是针对高中数学各章节内容,研究设计出体现知识性质、思想方法、思维过程之全景的“全()景式数学问题”简称“一题释全景”旨在用“全景问．题”解决“题海战术”带来的弊端,减轻师生负担,提高学生学习兴趣和教学效率效果,从而全面有效地培养学生的数学思维能力,促进各层面学生核心素养的提升和全面成长;同时,也为相关的教育教学理论落实运用提供“载体”支持．()优化数学思维品质,突破数学思维障碍．２()研创理论运用载体,支持相关方略落实．３()破解数学题海战术,减轻师生教学负担．４()激发学生学习兴趣,提高学生学习效率．５()满足各层学生需求,提升学生学习效果．６()提高教师研创能力,助推教师专业成长．７()科学性１全景问题的设计,要遵循教育教学的科学规律,以相应的教育理论为指导,以高中数学课程标准为依据,运用科学合理的思想和方法;要充分体现高中数学教学的基本理念和内容目标,注重培养数学思维能力,提升数学核心素养;要符合高中学生的认知特点,有利于学生的成长和发展．()全面性２«»普通高中数学课程标准(的基本２０１７年版)３全景式数学问题设计的原则１全景式数学问题的概念()全景１全景是指所涉及内容的基本知识性质、基本问题类型、基本思想方法、动态思维过程的全部或问题由易到难、层层递进的结构全貌．()全景式数学问题２全景式问题是针对某阶段(本研究是高中阶段)的数学各章节内容,能体现“知识问题、思想方法、思“,一个系列问题”简称“一题释全景”．维过程”的全景且由易到难、层层递进的“一道题”或有的全景问题主要体现该章节的知识性质或问“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学[１]上得到不同的发展”．理念中要求:高中数学课程要面向全体学生,实现全景问题设计的“全面性”包括三个方面:一是针对所有学生,促进各层面学生全面成长;二是问题要全面,各章节都要设计出全景问题;三是问题要体现以上所述的全景．()层次性３全景问题设计的“层次性”体现在三个方面:一题类型的全景,有的主要体现思想方法或思维过程的全景,有的则兼而有之．教学中应根据各章节内容特点及关系研究设计全景问题,考虑是需要一个全景问题,还是需要多个或一系列全景问题来逐步体现各类全景．２全景式数学问题设计的意义()培养数学思维能力,提升数学核心素养．１全景式数学问题设计的意义如下:是适合各层面学生的学习和探究,体现“最近发展区”等相关理论的有效落实运用;二是问题难易的层层递进;三是数学思维的层层递进．全景问题既可展)的研究成果．２０２１JXY３１４(本文系山东省教研课题“基于高中数学思维能力培养的‘全景式’数学问题设计的研究”课题编号:∗课题信息:３　　　

一题释全景现知识性质、思想方法的逐步生成和逐层联系,体现知识性质、思想方法之全景,又可基于当前问题,进行追根求源、纵横拓展的全面学习和逐步思悟,体现思维过程之全景(．人们的数学思维方式和智４)多元性能都是“多元”的,而且数学思维能力是数学核心素养的具体体现．比如,“抽象概括思维能力”可体现“数学抽象”核心素养;“逻辑思维能力”可体现“逻辑推理”核心素养;“形象思维能“力数学运算能力”及“空间想象能力”可体现“直观想象”核心素养;、数学思维能力”可体现“数学运算的提升”和核心素养多元智能;等等．数学核心素养的全面发展是一个不可分割的有机整体,全景问题的设计应满足这个整体的提升和发展(．体”．利用数学问题进行学习思考的本质就是一种重要“５数学问题)探究性”是培养学生素养与能力的重要“载“的题量、有意义”的多的少数,学关探键究在活于动激．发探学究活动的质量不在于“现激发学生思维量”的大小,所以设计的全景生问的题探,究要愿能望充以及(全景问题设计要在体６)创新性“思维量”的探究性过程．分体现教材的基本内容、要求的基础上,渗透“大单元教学理念”,体现问题模式的创新．同时为相关教育理论方略的落实提供全面的课程资源支持,在理论方面体现出创新性．实践方面的创新性．可解决“题海战术”带来的弊端,提高学生学习兴趣和效率,减轻师生负担,全面有效地培养学生的数学思维能力[２]．４全景式数学问题设计的策略思维全面性的培养(１)设计“知识问题”方面的全景问题,体现数学念中,«特别普通高中数强调了学提课升程、发标展准学(２０生１７年版)»的基本理“数学学科核心素养”的重要性．数学思维能力是对数学学科核心素养所包含的六个维度要求的具体体现,并形成一个有机整体,教学中应注重数学思维能力的全面培养,不能追求片面．设计“知识问题”方面的全景问题,融入数学思维这个有机整体,全面体现出对逻辑推理能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学运算能力等数学思维能力的培养思维灵活性的培养(２)设计,助推学生数学思维品质的全面提升“思想方法”方面的全景问题,体．现数学数学思维的灵活性是指能根据客观条件或事物的发展变化,善于多方位思考,及时恰当转变思维方　　　４２０２３年１１月上半月向、摆脱思维定式,提出解决问题的新方略或寻找新的解题途径．体现出从不同角度、方面,用多种方法来分析、解决问题的能力[３]．数学思维的灵活性占据数学思维品质的重要位置,体现数学思维能力培养和灵活运用知识分析问题、解决问题的情况,对其培养非常重要．设计“思想方法”方面的全景问题,可培养学生的数学思维能力,提升数学思维灵活性的品质思维深刻性的培养(３)设计“思维过程”方面的全景问题,．体现数学数学思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平,以及思维活动的广度、深度和难度．体现把握问题本质,对数学问题进行追根求源、纵横拓展的思维能力,并在此基础上进行探索创新的能力．数学思维的深刻性占据数学思维品质的核心位置,体现透过现象看本质及举一反三、触类旁通的思维水平．对数学思维深刻性进行培养非常重要．设计“思维过程”方面的全景问题,可培养学生的数学思维能力,提升数学思维深刻性的品质．说明:由于数学思维的各种品质是一个有机的整体,因此设计全景问题,对思维的灵活性、深刻性进行培养,定会同步提升其他的思维品质,如思维的发散性、敏捷性、创新性及批判性．上文只是以思维的灵活性、深刻性为重点进行分析说明．高中数学全景问题设计举例及设计说明针对高中数学各章节内容,依据全景问题设计模式,设计出对应的全景式问题．下面以立体几何为例,设计一个立体几何全景问题,并给出设计说明．．１全景式问题案例如图角梯形,CD１,⊥四B边C形BC＝２AD;四边形,且ABCD是直AD∥BCBCEG是梯,形,且BG∥CEC(EF是平行四边形,CE＝２BG形D．;四边０°,求证(１２))求证若E:AG∥平面BDE．B＝４BG,且∠EBG＝图１AG与平面(３)在:平面(B２E)F的DC条EF所件⊥成下平面ABCD．角,FB⊥DE的正弦值和,∠二F面DC角＝６BＧE０°FＧ．求D的余弦值．M(４)在(３)的条件下,线段AG上是否不存在,使得存在一点CM∥平面EFG确定M的位置;若(,?若存在,５)请说明理由在(２)的条件下．,且FC＝角的余弦值为３DE４,,DE与AG所成求DC∶CE的值．５５６

２０２３年１１月上半月　(６)在且二面角(５)的条N件ＧA下CＧ,B且BG＝１．若N是线段BE上一点,的大小为的位置,并求点N到平面FCB的距３０离°,及试确定点N三棱锥FCBNＧ(的体积７)在(６．)的条件下,若P是直线EF上的点,求EDA与平面C,DA|P,DDFPBC所成角正切值的最大值;若P是以分别为长、宽、高的长方体棱上的一点,且满足|＋|PE|＝m(m＞０求m(的取值范围)的点P的个数为４,８)在(５)的条．件下,若以CDFE为底面,侧棱长均相等的四棱锥的体积最大值为侧棱长;若以上四棱锥外接球的表４面３积,求为此四的取值范围为,棱锥的C(９)在([６)的１,条３件],下求该四棱锥体积的取值范围４π侧棱,取．长BC中点Q包,动括点W在以圆周),若DD为底面半径的圆锥QBC的底面⊥WQEB,C求点内(SW形成的轨迹长度;取BD中点S四面体外接球的体积及该球被几何体的,求面ABCD若四面体,CDTFBE所截得的圆弧长之比;取CSCE中点T内切球的内接圆锥(其高过球心)与,内接正三棱柱的底面在同一平面内,求该圆锥的侧面积与该正三棱柱的体积之比的最小值．５．２案例设计说明该全景问题,以一个可变的“组合体”为载体,以两条互融的“知识线”为导向,自然融合了点、线、面、体等的知识性质,动态展现了它们之间的各种关系及演变,形成知识性质全景,并层层递进演变出问题类型全景,进而诠释出思想方法、思维过程全景．主线之一是重要的“平面图形”与“点、线、面”的融合及关系演变．问题中的“四边形EFDC的层层推进逐步演变为平行四边形、菱形、”矩随形着、问正题方形等各种四边形;另一重要图形“梯形CEABCD同行;直线与平面ABCDABCD的关系也随之形成“从不、平面EFDC”与也平相伴面垂直到垂直的演变”．各要素演变与线线、线面、面面关系及演变密切相连．主线之二是重要的“几何体”与“点、线、面”的融合及关系演变．在重要的平面图形与点线面关系的支持下,逐步演变出棱锥、棱柱、圆锥、球等重要几何体及相关几何体的“接切”关系,相关的重要元素如体积、面积、圆弧、侧棱也相伴相随．对这些重要元素的研究与求解,与点、线、面关系中的“距离”“角度”等重要量又紧密相连(、不可分割问题类型全１)建构知识问题全景．景与知识性,体现思维全面性的培养质全景同行,既有判断、论证各种关系的基本问题,又有利用各种关系进行综合性推理论证的问题;既有关于距离、角、面积、体积等重要量的运算求解问题,又有关于距离、角、面积、体积等要素的范围最值的探究性问题;既有“正向型”典型问题,又有“逆向型”开放问题．这些问题不仅包含一题释全景　立体几何各要素证的基本问题１与,(,还与代数要素产生密切联系问题()问题２),是关于(“平行垂直”的正向．推理论向推理运用与“异面角３)”~“线(５面)是角关”“于二“面平角行”垂的直运”的算逆求解相融合的问题,证中有算,算中有证,充分体现出对逻辑推理、数学运算、空间想象等能力的全面培养;合问题(于距离、６长度)~(、９面积),逐、体积步融等入元多素面的体分与析旋计转算体和,加相入综关关量最值范围的推演探究,在培养逻辑推理、数学运算、空间想象等能力的基础上,体现对抽象概括能力、数据分析能力的培养(该全景问题２)融入思想方法全景,助推数学思维品质的全面提升,以全面丰,富体现思维灵活性的培养．、包容开放的背景和设问,融入了数学思想方法的全景,体现出对数学思想方法的对比选择和全面思悟法均可体现１,各方法中还证,线线有平．问题()的论不行同法思、路面的面选平择行;法问、题向(量中的垂直论证,可融入“算”的方法;问题(解决,则是“几何推演”与“向量运算”两种主３)要~思(５想)２方的)法的碰撞与融合;问题(题,更是与函数、三角、６不)等~式(９,)甚中至关是于圆最锥值曲范围线的等问数学核心知识相结合,广泛体现了等价转化、函数与方程、数形结合等数学主要思想方法的运用及本质联系．此全景问题,可体现从不同角度用多种方法或选择恰当方法分析解决问题的能力,助力突破思维定式障碍,(提升数学思维灵活性的品质互融的知识线及问题与方“３思维量)生成思维过程全景”比“题量”更重,体现思维深刻性的培养．法要的,全由景可,变可组体合悟体到和全两景条问题设计注重数学思维的生成过程,关注数学思维的逻辑性、连续性和递进性．问题(间到二维平面的追根求源７)中求m的范围问题,既可看作从三维空,又可纵横拓展将问题一般化、抽象化,总结规律方法,还可与代数、三角产生联系,展现数学知识的广泛联系和本质内涵,体现数学思维及思想方法的广泛性、灵活性和深刻性．该全景问题,能够让学习者对立体几何、空间向量及相关的数学知识性质、思想方法,有一个全景式思悟和全面深刻的理解把握,进而做到举一反三、熟练灵活运用,推动数学思维走向广泛和深刻．参考文献:[１]中华人民共和国教育部年版)[[２]徐子淳S]．全景．北京:人民教育出版社．普通高中数学课程标准(,式教学模式在小学数２０学１８教．２０１７学中的应用[]教育观察,[３]叶鋆纯,王向东２０２０(１１):４７Ｇ４８．J．]与研究,２０２０８．全景思维在解题中的应用[数学学习():１３１Ｇ１３２．ZJ．５