2023年12月16日发(作者：7年级数学试卷下载)

数理逻辑习题

判断题

1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （

√

）

2． 公式p(pq)是永真式 （

√

）

3．命题公式(pq)p是永真式 （

√

）

4．命题公式pqr的成真赋值为010 （

×

）

5．xA(x)Bx(A(x)B) （ √ ）

6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （

×

）

7．p(pq)p （ √ ）

8．x(F(x)G(x))是永真式 （

× ）

9．“我正在撒谎”是命题 （

× ）

10．

xF(x)xG(x)是永真式（ √ ）

11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （

× ）

12．p(pq)p （ √ ）

13．x(F(x)G(x))是永假式 （

× ）

14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ）

15．若p:雪是黑色的，则公式pq是永真式 （ √ ）

16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （

× ）

17．公式pq的特异（主）析取式为pq （

× ）

18．命题公式

p(qr)的成假赋值是110 （ √ ）

19．一阶逻辑公式x(F(x)G(x,y))是闭式（

× ）

单项选择题

1． 下述不是命题的是（ A ） A． 花儿真美啊! B． 明天是阴天。

C． 2是偶数。 D． 铅球是方的。

2．谓词公式（y）（x）（P（x）→R（x,y））∧yQ（x,y）中变元y （ B ）

A． 是自由变元但不是约束变元

C． 既是自由变元又是约束变元

B． 是约束变元但不是自由变元

D． 既不是自由变元又不是约束变元

3．下列命题公式为重言式的是（ A ）

A．p→ （p∨q）

C．q∧┐q

4． 下列语句中不是命题的只有（ A ）

．．A．花儿为什么这样红？

C．飞碟来自地球外的星球。

B．2+2=0

D．凡石头都可练成金。

B．（p∨┐p）→q

D．p→┐q

5．在公式(x)(y)(P(x,y)Q(z))(y)P(y,z)中变元y是（ B ）

A．自由变元 B．约束变元

C．既是自由变元，又是约束变元 D．既不是自由变元，又不是约束变元

6．下列命题公式为重言式的是（ A ）

A．p→ （p∨q）

C．q∧┐q

7．给定如下4个语句:

（1）我不会唱歌。 （2）如果天不下雨,我就上街。

（3）我每天都要上课。 （4）火星上有人吗?

其中不是复合命题的是（ B ）

A．（1）（4） B．（3）（4）

C．（1）（3） D．（1）（3）（4）

8．下列含有命题p，q，r的公式中，是特异（主）析取范式的是 （ D ）

A．（p  q  r）  （p  q） B．（p  q  r）  （p  q）

B．（p∨┐p）→q

D．q→┐p

C．（p  q  r）  （p  q  r） D．（p  q  r）  （p  q  r）

9．设个体域为整数集,则下列公式中值为真的是（ A ）。

A． （y）（x）（x·y=2） B．（x）（y）（x·y=2）

C． （x）（x－y=x） D．（x）（

y）（x+y=2y）

10． 下述不是命题的是（ D ） A． 花儿是红色的 B． 月亮上有水

C． 3是偶数 D．

x3

11． 用P表示：天下大雨；Q表示：他乘公共汽车上班。将“如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。”符号化正确的是（ A ）

A．PQ B．QP

C．PQ

D．PQ

12．谓词公式（y）（x）（P（x）→R（x,y））∧xQ（x,y）中变元y （ C ）

A． 是自由变元但不是约束变元

C． 既是自由变元又是约束变元

B． 是约束变元但不是自由变元

D． 既不是自由变元又不是约束变元

13．下列命题公式为永假式的是（ C ）

A．p→ （p∨q） B．p∧q→q

C．q∧┐q

14．下列语句中，不是命题的是（ C ）

A． 铅球不是球。

B． 要是他不上场，我们就不会输。

C． 刘翔跨110米栏用了不到13秒钟，你说他是不是运动健将呢?

D． 刘翔跨110米栏用了不到13秒钟，他是一个真正的运动健将。

13．关于命题变元P和Q的成假赋值为01对应的极大项是（ C ）

A．┐P∧Q B．┐P∨Q C．P∨┐Q D．P∧┐Q

D．p→q

14．谓词公式（y）（x）（P（x）→R（x,y））∧yQ（x,y）中变元y （ B ）

A． 是自由变元但不是约束变元

C． 既是自由变元又是约束变元

B． 是约束变元但不是自由变元

D． 既不是自由变元又不是约束变元

15． 设p:开关A开，q：开关B开,则“开且只开A、B中一个开关”的命题公式是（ C ）

A．

pq B．

pq

C． （pq）（pq） D． （pq）（pq）

16．下列等价式正确的是（ C ）

A．┐(x)A(x)┐A B．(x)(y)A(x)(y)A

C．┐(x)A(x)┐A D．(x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)

17．在论域D={a,b}中与公式（x）A（x）等价的不含存在量词的公式是（ B ）

A．A(a)A(b)

C．

A(a)A(b)

B．

A(a)A(b)

D．

A(b)A(a)

18．下列命题公式为重言式的是（ C ）

A．p→ （p∧q）

C．p∨┐p

B．（p∨┐p）→q

D．p→┐q 19．下列命题中真值为1的是（ B ）

A．若2+2=4, 则3+36 B．若2+2=4, 则3+3=6

C．2+2=4, 当且仅当3+36 D．2+24, 当且仅当3+3=6

20．设个体域为整数，下列公式中真值为1的是（ B ）

A． xy（x + y = 1） B． xy（x + y = 1）

C． xy（x + y = 1） D．  xy（x + y = 1

21． 下列命题中真值为0的是（ C ）

A．若2+2=5, 则3+36 B．若2+2=4, 则3+3=6

C．2+2=5, 当且仅当3+36 D．2+24, 当且仅当3+3=6

22．谓词公式x(M(x)y(E(y)L(x,y))中变元x （ C ）

A． 是自由变元但不是约束变元

C． 既是自由变元又是约束变元

B． 是约束变元但不是自由变元

D． 既不是自由变元又不是约束变元

23．设个体域为整数，下列公式中真值为1的是（ B ）

A． xy（x + y = 1） B．xy（x + y = 1）

C． xy（x + y = 1） D． xy（x + y = 1

填空题

1．n个命题变元的极小项有 2n 个。

2．设p:220,q:3是奇数，则pq的真值是 1 。

3．含n个命题变项的重言式的特异（主）合取范式为 1

4．设个体域为整数集合Z，命题xy(xy3）的真值为 1

5．公式xP（x）xQ（x）的前束范式为

x(P(x) Q(x))

6．设p：我很累，q：我去学习，命题：“我很累，但我还去学习”的符号化为

pq

7．设P表示：天下大雨；Q表示：他乘公共汽车上班，则命题“如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。”的符号化是

pq

8．设P：2+2＝4，Q：3是奇数,则命题“2+2＝4，当且仅当3是奇数．”的符号化为

PQ

9． 含n个命题变项的矛盾式的特异（主）析取范式为 0

10．命题公式pq成假的解释是 01,10

11．pq的成假解释为 01,10 计算题

1．求xF(x)xG(x)的前束范式。

解：

xFxxGx

xFxxGx3分

xFxGx3分2．求(pq)r的真值表，并写出它的特异（主）析取范式和特异（主）合取范式。

解：真值表如下：

故主析取范式为pqrpqrpqrpqrpqr

主合取范式为

pqrpqrpqr

3．求命题公式的((pq)r)p成真赋值。

解：pqrp

pqrp

 = =pqrp =pqrp

=prqrp

成真赋值 100，010，101，110，111

4．将公式(xP(x)yR(y))xF(x)化为前束范式。

解：

xPxyRyxFx

xyPxRyxFx

xyPxRyzFz

xyzPxRyFz

5．求公式 （p∨（q∧r））→（p∧q∧r） 的特异（主）析取范式，并求成真赋值。

解：pqrpqr

pqrpqrpqrpqr

pqprpqrpqrpqrpqrpqr 成真赋值为：000，001，010，111

6．用谓词公式表示“有人喜欢吃所有的食物”。

解：Mx:x是人，Ny:y是食物

Hx,y:x喜欢吃y

符号化：xMxyNyHx,y

7．

用作真值表方法确定下列命题公式的类型：

((pq)(qp))(pq).

解： 设原式=A，真值表如下： pq(pq)(qp)pq1101A11

11则原式为永真式。

8．用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间不能相联”。

解：Cx：x是计算机，Dx：x为外部设备，

Px,y：x与y相联

符号化为xy(C(x)D(y)P(x,y))

9．在个体域D{a,b}，消去公式x(F(x)yG(y))的量词。

解：原式＝(F(a)yG(y))(F(b)yG(y))

＝(F(a)(G(a)G(b)))(F(a)(G(a)G(b)))

＝(F(a)F(b))(G(a)G(b))

10．

给定一阶逻辑公式xP(x,y)yQ(y)，求该公式的前束范式。

解：原式xPx,yzQz

xzPx,yQz

11．用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间能相联”。

解：

Cx：x是计算机，Dx：x为外部设备，

Px,y：x与y相联

符号化为xy(C(x)D(y)P(x,y))

12．用等值演算求命题公式┐（p∨q）∧（q→r）的特异（主）析取范式，并判断该公式的类型。

解：原式pqqr

pqqpqr

pqpqr

pqrpqr

公式类型为非永真的可满足式。

13．设一阶逻辑公式

Gx(yP(x,y)(zQ(z)R(x)))，试将G化成与其等价的前束范式。

解：Gx(yP(x,y)(zQ(z)R(x)))

＝xy(P(x,y)z(Q(z)R(x)))

＝xyz(P(x,y)(Q(z)R(x)))

14． 设公式G的真值表如下，试求出G的特异（主）析取范式和特异（主）合取范式。

p q r

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

解：

主析取范式

(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)

主析取范式(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)

G

1

0

1

1

0

1

0

0 15．求公式xF(x)yG(x,y)的前束范式。

解：原式＝xF(x)yG(z,y)

＝xy(F(x)G(z,y))

证明题

1．用等值演算证明等值式(pr)(qr)(pq)r。

证明：

2．设P,Q,R是三个命题，构造下列推理证明：

前提：PQ,QR,P

结论：R

证明：

左边(pvr)(qr)(pq)r(pq)r(pq)r右边

12345

PPQQQRR前提引入前提引入12析取三段论前提引入4分

4分34假言推理3．证明下列推断

前提：p(qs)，q，rp

结论：rs

证明：（1）r 附加前提引入

（2）pr 前提引入

（3）p (1)（2）拒取

（4）pqs 前提引入 （5）qs (3)(4)假言推理

（6）q 前提引入

（7）s (5)(6) 假言推理

4．用构造证明法证明下列推理：

前提：pq,(qr)r,(ps)

结论：s

证明：

12s 否定结论引入

ps 前提引入

3ps

2置换

4p

13析取三段论

5prr 前提引入

6pr

5简化

7r

5简化

8r

46析取三段论

9rr

78合取

5．证明：p(qr)(pr)q。

证明：左边pqr

prq

prq

prq

prq

＝右边

6．证明公式G＝（（P→Q） ∧（Q→P）∧P） →P是永真式。

证明：

G((PQ)(QP)P)P

＝((PQ)P)P

＝((PP)(PQ))P

＝(PQ)P

＝PQP

＝1Q

＝1

G为永真式


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公式,命题,下列,引入