第2章 控制系统的数学模型

2024年2月12日发(作者：人教版五数学试卷)

第2章 控制系统的数学模型

§1 系统数学模型的基本概念

一. 系统模型

系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。

物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

二. 系统数学模型

1. 系统数学模型

系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

2. 系统数学模型的分类

数学模型又包括静态模型和动态模型。

(1) 静态数学模型

静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

(2) 动态数学模型

描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。

动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。

三. 系统数学模型的形式

对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。对于线性系统，它们之间是等价的。但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。

经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。

冯大鹏

四. 系统数学模型的分类

1. 按描述方法分类

数学模型的表达虽有多种形式，但按描述方法总体上可分为以下三种。

(1) 外部描述法

外部描述法也称为输入输出描述法。它是将系统的输入与输出之间的关系用数学方式表达出来。如：微分方程、传递函数。

(2) 内部描述法

内部描述法也称为状态空间描述法。它不仅可以描述系统的输入与输出之间的关系，还可以描述系统的内部特性。

(3) 图形描述法

图形描述法即是用直观的方框图或信号流程图模型进行系统的描述。

2. 按变量范围分类

按变量的变化范围可分为以下三类。

(1) 时间域

微分方程(一阶微分方程组)、差分方程、状态方程

(2) 复数域

传递函数、结构图

(3) 频率域

频率特性

冯大鹏

§2 建立系统数学模型的基本方法

一. 系统模型建立的基本方法

系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析法和实验辨识法两种。

1. 解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律，经过数学推导，列写出相应的数学关系式，建立模型。解析法主要用于对系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统。

2. 实验法

人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。实验法通常用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。

对于复杂系统的建模往往是一个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。

二. 系统微分方程模型的建立

1. 系统微分方程模型

系统微分方程模型是最重要的一种模型。系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。如果系统的运动状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。线性定常系统是本课程中研究的重点。

设c(t)与r(t)分别为系统的输出量与输入量，n阶线性定常系统微分方程的一般形式为

c(n)(t)+a1c(n-1)(t)+…+an-1c(1)(t)+anc(t)=b0r(m)(t)+b1r(m-1)(t)+…+rm-1r(1)(t)+bmr(t) (2.2.1)

则称该系统为时不变线性系统，也称定常线性系统。通常n>m，表明系统是稳定的，即系统的输入不会使输出发散。系数a1、…、an和b0、b1、…、bm均为常数，不随时间而变化。

严格地说，很多物理系统是时变的，因为构成物理系统的材料、元件、部件的特性并非都是非常稳定的。它们的不稳定，会导致微分方程式系数的时变性。但是，在工程领域中，常常可以以足够的精确度认为常见的物理系统中的参数a1、…、an和b0、b1、…、bm是时不变的，从而把一些时变线性系统当作时不变线性系统来处理。本课程主要分析讨论线性时不变系统。

2. 系统微分方程的确定

列写系统或元件微分方程的一般步骤为：

(1) 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。根据需要可引入中间变量。

(2) 按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微分方程。

(3) 消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式。

(4) 将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。

3. 系统微分方程的简化

在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进冯大鹏

行折衷考虑。

(1) 线性化 如果系统中包含非本质非线性的元件或环节，而非线性系统的分析和综合是非常复杂的，为研究系统方便，通常可将其进行线性化。线性化即是在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。

非线性系统线性化的方法是将变量的非线性函数在系统某一工作点(或称平衡点)附近展开成泰勒级数，分解成这些变量在该工作点附近的微增量表达式，然后略去高于一阶增量的项，并将其写成增量坐标表示的微分方程。

对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。

线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关。线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围。某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。

(2) 系统阶次 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元(惯性质量、弹性要素、电感、电容等)的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量(信息)的交换。

(3) 动态特性 必须注意，系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。

4. 确定系统微分方程常用定律

在列写微分方程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件或环节所遵循的有关定律。对于机械类的读者，往往需要列写机械系统和电网络系统的微分方程，因此，有必要掌握如表2.2.1所示的常见元件的物理定律。

表2.2.1 常见元件的物理定律

系统类别 元件名称及代号

质量元件m

机械系统

(直线运动)

弹性元件k

阻尼元件c

电容C

电网络系统

电感L

电阻R

f=k(x2- x1)

符号 所遵循的物理定律

fmx

fc(x2x1)

iC(v2v1)

i1(v2v1)

R三. 系统建模实例

例2.2.1 图2.2.1上由电阻R、电感L、电容C组成的无源网络，试列写其以ui(t)为输入量，以为uo(t)输出量的网络微分方程。

解 设回路电流为i(t)，基尔霍夫电压定律可得回路方程为

Ldi(t)1i(t)dtRi(t)ui(t)

dtC由消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程如下

冯大鹏

d2uo(t)duo(t)LCRCuo(t)ui(t)

2dtdt

图2.2.1 RLC串联电路 图2.2.2 机械系统

例2.2.2 图2.2.2所示是一个由弹簧、质量物体和阻尼器所组成的机械系统。其中，K为弹性系数，m为物体的质量，f为阻尼系数。

解 设外作用力F(t)为输入量，质量物体的位移y(t)为输出量。根据牛顿第二定律F＝ma可知

F(t)-Ff(t)-FK(t)＝ma

其中：Ff(t)为阻尼器的粘性阻力，它与物体运动的速度成正比；FK(t)为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比；α为物体的加速度。即

d2y(t)dy(t)Ff(t)= f ，FK(t)=K y(t)，α=

dt2dt消除中间变量，将式子标准化即可得

d2y(t)dy(t)mfKy(t)F(t)

2dtdt

冯大鹏

§3 Laplace变换及应用

一. Laplace变换的定义

设实变量函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数σ，使得limeσtf(t)0，则函数f(t)的Laplace变换存在，并定义为

tF(s)=L[f(t)]=0f(t)estdt (2.3.1)

Laplace变换将实变量函数f(t)变换为复变量函数F(s)。F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。Laplace变换简称为拉氏变换，记为L。

二. 常用Laplace变换

常用Laplace变换见表2.3.1所示。

表2.3.1 常用Laplace变换

原函数

单位冲击函数δ(t)

单位阶跃函数1(t)

单位斜坡函数t

指数函数e-at

象函数

1

1/s

1/s2

1/(s+a)

原函数

幂函数tn(n为正整数)

te-at

sinωt

cosωt

象函数

n!/sn+1

1/(s+a)2

ω/(s2+ω2)

s/(s2+ω2)

三. Laplace变换基本法则

1. 线性定理

叠加性

两个函数和的拉氏变换等于每个函数的拉氏变换的和，即

L[f1(t)+f2(t)]=L[f1(t)]+L[f2(t)]=F1(s)+F2(s) (2.3.2)

齐次性

函数K倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的K倍，即

L[Kf(t)]=KL[f(t)]=KF(s) (2.3.3)

2. 微分定理

初始条件为0时，一个函数导数的拉氏变换等于这个函数拉氏变换与s的导数幂次的积。即，如果初始条件为f(0)= f(1)(0)= f(2)(0)=…= f(n-1)(0)=0，则

L[f(k)(t)]=skL[f(t)]= skF(s) (k=0,1,…,n) (2.3.4)

3. 积分定理

一个函数积分的拉氏变换等于这个函数拉氏变换与s的积分幂次的商。即

L[f(t)dtn]00nttL[f(t)]F(s)n (2.3.5)

nss4. 位移定理

如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则

L[e-atf(t)]=F(s-a) (2.3.6)

5. 终值定理

函数的稳态值(t→∞时的数值)等于函数的拉氏变换与s的积当s→0时的极限值，即

冯大鹏

limf(t)limsF(s) (2.3.7)

ts0四. Laplace反变换

1. 拉氏反变换的定义

由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换，记为L-1。其数学定义式为

f(t)=L-1[F(s)]=12ccF(s)estds (c为实常数) (2.3.8)

2. 拉氏反变换的一个重要性质

如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成分量形式F(s)=得，则

L-1[F(s)]=F(s)，且F(s)的拉氏反变换容易求i1iniLi1n1[Fi(s)]=fi(s) (2.3.9)

i1n3. 拉氏反变换的求取方法—部分分式展开法

(1) 定义法 即直接利用式(2.3.8)求取拉氏反变换。

(2) 性质法 即利用拉氏变换的基本法则求取拉氏反变换。

(3) 部分分式展开法 直接利用式(2.3.8)求取拉氏反变换往往较为复杂，利用拉氏变换表是更为简便的方法。这就要求其拉氏变换式是表中可立即辨识的形式。工程实践中，常对不易辨识的函数先展开成部分分式的形式再利用式(2.3.9)求得拉氏反变换。

例2.3.1 试F(s)=(s+3)/(s2+3s+2)求的拉氏反变换。

解 将F(s)展开成部分分式

F(s)=(s+3)/(s2+3s+2)=(s+3)/(s+1)(s+2)=2/(s+1)-/(s+2)

所以

f(t)=2e-t-e-2t

例2.3.2 试求F(s)=(s+3)/(s2+2s+2)的拉氏反变换。

解 (1) 性质法

F(s)=(s+3)/[(s+1)2+1]=(s+1)/[(s+1)2+1]+2/[(s+1)2+1]

由位移定理得

f(t)=e-tcost+2e-2tsint

(2) 部分分式展开法

F(s)=(s+3)/[(s+1)2+1]=(0.5-j)/(s+1-j)+( 0.5+j)/(s+1+j)

所以

f(t)=(0.5-j)e-(1-j)t+(0.5+j)e-(1+j)t=e-t[0.5(ejt+e-jt)-j(ejt-e-jt)]=e-tcost+2e-2tsint

例2.3.3 试求F(s)=1/s2(s+1)的拉氏反变换。

解 f(t)为有重极点函数，展开成部分分式

冯大鹏

F(s)=1/s2-1/s+1/(s+1)

所以

f(t)=t-1+e-t

五. Laplace变换在解微分方程中的应用

1. 拉氏变换应用的意义

(1) 控制系统的数学模型最基本的描述方式是微分方程，因而求解微分方程是工程实践中必不可少的重要环节。用拉氏变换求解线性常系统所对应的线性常系数微分方程是工程实践中行之有效的简便方法。

通过拉氏变换可将指数函数、超越函数等变换为简单的代数函数，将微分方程变换为易求解的代数方程，从而将微分方程的求解变换为代数方程的求解。

(2) 利用拉氏变换可得控制系统在复数域的数学模型—传递函数。

2. 一般步骤

用拉氏变换求解线性常系数微分方程的一般步骤为

(1) 考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为s域的代数方程。

(2) 求解相应代数方程在s域的解。

(3) 求s域的解的拉氏反变换，得微分方程的解。

例2.3.4 设系统的微分方程为

d2c(t)dc(t)22c(t)r(t)

2dtdt设初始条件为r(t)=δ(t)，c(0)=c′(0)=0，求系统的输出响应。

解 对系统对应的微分方程进行拉氏变换

s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)

因L[r(t)]=R(s)=1，由上式可得

C(s)=1/(s2+2s+2)=1/(s+1)2+1

对上式取拉氏变换即得

c(t)=e-tsint

冯大鹏

§4 传递函数

一. 传递函数的意义

利用拉氏变换可得控制系统在复数域的数学模型—传递函数。传递函数不仅可表征系统动态性能，还可用于研究系统的结构或参数的变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，即以传递函数为基础。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。

二. 传递函数的定义

1. 概念

零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输出量拉氏变换之比称为传递函数。

系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在t=-0时输入r(t)才开始作用于系统，因此，t=-0时，r(t)及其各阶导数均为零；二是指在t=-0时系统处于相对静止的状态，即系统在工作点上运行，因此t=-0时，c(t)输出及其各阶导数也均为零。现实的工程控制系统多属此类情况。

2. 传递函数的形式

n阶线性定常系统微分方程的一般形式为

c(n)(t)a1c(n1)(t)an1c(1)(t)anc(t)

b0r(m)(t)b1r(m1)(t)bm1r(1)(t)bmr(t) (2.4.1)

其中，c(t)与r(t)分别为系统的输出量与输入量，系数a1、…、an和b0、b1、…、bm均为常数，不随时间而变化。在零初始条件下对(2.4.1)进行拉氏变换，得的代数方程

(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s) (2.4.2)

将输出量和输入量两者的拉氏变换之比定义为该系统的传递函数G(s)，即

G(s)=C(s)/R(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)/(sn+a1sn-1+…+an-1s+an) (2.4.3)

三. 传递函数的特性

传递函数具有以下特性

1. 传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。传递函数只取决于系统的结构和参数，与外界输入信号无关。它表征了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型。

2. 传递函数分子中s的阶次m不会大于分母中s的阶次n。这是由于实际系统总是具有惯性的，外部提供能源的功率也总是有限的。

3. 当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉氏变换完全取决于其传递函数。一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。

4. 传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。

5. 不同用途、不同物理组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。同一系统中，不同输出量对同一输入量之间的传递函数是不同的。

6. 传递函数具有符号。当输入量与输出量的变化同向时，对应传递函数具有“+”号，当输入量与输出量的变化反向时，对应传递函数具有“-”号。

7. 传递函数非常适用于单输入单输出线性定常系统的动态特性的描述。对多输入多输出冯大鹏

系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。

8. 系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系(描述系统的外部特性)，未表示系统中间变量之间的关系(描述系统的内部特性)。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。

四. 传递函数的零点、极点和放大系数

1. 概念

传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。根据复变函数知识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于∞的点均称为极点。

将传递函数写成如下因式边乘积的形式

K(sz1)(sz2)(szm) (n≥m) (2.4.4)

G(s)(sp1)(sp2)(spn)其中，-z1,-z2,…,-zm为传递函数的零点，-p1,-p2,…,-pn为传递函数的极点，而将K 为系统的放大系数。

2. 零点和极点对系统动态性能的影响

传递函数的零点和极点的分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状。系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。因此，对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。

五. 典型环节的传递函数

1. 比例环节

微分方程及拉氏变换式

c(t)=Kr(t)，C(s)=KR(s) (2.4.5)

传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=K (2.4.6)

特点

比例环节的特点是其输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化，即信号的传递没有惯性。

实例

电子放大器、齿轮、电阻、感应式变送器等。

2. 惯性环节

微分方程及拉氏变换式

T(dc(t)/dt)+c(t)=Kr(t)，(Ts+1)C(s)=KR(s) (2.4.7)

传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=K/(Ts+1) (2.4.8)

特点

惯性环节包含一个储能元件，对突变输入，其输出不能立即复现，输出无震荡。

实例

直流伺服电动机的励磁回路。

3. 积分环节

微分方程及拉氏变换式

T(dc(t)/dt)=Kr(t)，TsC(s)=R(s) (2.4.9)

传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=1/Ts (2.4.10)

冯大鹏

特点

输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。

实例

电动机角速度与角空间的传递函数、模拟计算机中的积分器等。

4. 微分环节

微分方程及拉氏变换式

c(t) =T(dr(t)/dt)，C(s)=TsR(s) (2.4.11)

传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=Ts (2.4.12)

特点

微分环节的输出量与输入量对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。

实例

实际中不存在纯粹的微分环节，它总是与其它环节并存。实际可实现的微分环节都具有一定的惯性，其传递函数为

G(s)=C(s)/R(s)=Ts/(Ts+1) (2.4.13)

5. 振荡环节

微分方程及拉氏变换式

d2c(t)dc(t)T2Tc(t)r(t)，(T2s2+2ξTs+1)C(s)=R(s) (2.4.14)

2dtdt2传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=1/(T2s2+2ξTs+1) (2.4.15)

可变形为

G(s)=(1/T2)/[s2+(2ξ/T)s+1/T2]=ω2n/(s2+2ξωns+ω2n) (2.4.16)

其中，T为时间常数，ξ为阻尼比，ωn为系统的自然振荡角(圆)频率(无阻尼自振荡角频率)，且有

T=1/ωn (2.4.17)

特点

振荡环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。

实例

RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，以及机械阻尼系统的传递函数。

6. 延迟环节

微分方程及拉氏变换式

c(t) =r(t-τ)，C(s)=e-τsR(s) (2.4.18)

传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=e-τs=1/eτs (2.4.19)

特点

延迟环节的输出波形与输入波形相同，但延迟了时间τ。延迟环节的存在对系统的稳定性不利。

实例

管道压力、流量等物理量的控制其数学模型就包含有延迟环节。

冯大鹏

§5 动态结构图

一. 动态结构图的定义

1. 动态结构图的概念

前面已经介绍了方块图和传递函数的概念。方块图能清楚地表明信号在系统中的传递方向，而传递函数又能明确地表明信号传递过程中的数学关系。如果把两者结合起来，即把组成系统的各个环节用方块图表示，在方块图内标出各环节的传递函数，并将各环节的输入量、输出量改用拉氏变换来表示。这种图形称为动态结构图，简称结构图。如果按照信号的传递方向将各环节的结构图依次连接起来，形成一个整体，这就是系统的结构图。它能更本质地反映系统中各环节间的相互作用及信号传递关系，是一种能描述系统动态特性的数学图形，具有简明、形象、直观、运算方便的优点。在控制系统中得到了广泛的应用。

2. 动态结构图的构成

动态结构图由如下四种基本图形符号组成，称为结构图的四要素。

(1) 信号线

信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数，如图2.5.1(a)所示。

(2) 引出点

表示信号引出或测量的位置即为引出点。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，如图2.5.1(b)所示。

(3) 综合点(比较点或相加点)

综合点是对两个或两个以上性质相同的信号进行取代数和的运算的点。参与相加运算的信号应标明“+”号，相减运算的信号应标出“-”号。有时“+”号可省略，但“-”号必须标明，如图2.5.1(c)所示。

(4) 函数方块

函数方块用来表示元件或环节输入、输出变量之间的函数关系。方块内要填写元件或环节的传递函数，如图2.5.1(d)所示。

图2.5.1 结构图四要素

二. 动态结构图的建立

1. 绘制动态结构图的基本步骤

绘制动态结构图的一般步骤如下。

(1) 明确系统的输入量和输出量，确定各元件或环节的传递函数。

(2) 绘出各环节的方块图，在其中标出传递函数，并将信号的拉氏变换标在信号线附近。

(3) 按照系统中信号的传递顺序，依次将各环节方块图连接起来，便构成系统结构图。

2. 实例

例2.5.1 已知RC阻容网络如图2.5.2所示，其中ur为输入量，uc为输出量，试画出冯大鹏

该网络的动态结构图。

图2.5.2 RC电路 图2.5.3 RC电路结构图

解 该网络系统的输入量为ur，输出量为uc，其遵循的电路原理为

uRiucruc1idtCi1(uruc)R

对以上标准微分方程组进行拉氏变换，得标准变换方程组

1I(s)[Ur(s)Uc(s)]R

Uc(s)1I(s)Cs从输入端开始，依次画出各个子变换方程输入量、输出量关系的传递函数方块图，并连接系统中的各同名信号线，得图2.5.3所示的结构图。

三. 动态结构图的等效变换

1. 等效原则

利用结构图分析和设计系统时，常常要对结构图进行简化和变换。对结构图进行简化和变换的基本原则是等效原则，即对结构图任何部分进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。

以下是根据等效原则给出的几条结构图的变换规则。

2. 变换规则

(1) 串联(开环)环节的等效变换

图2.5.4 环节串联

几个环节的结构图首尾连接，前一个结构图的输出是后一个结构图的输入，称这种结构为串联环节。图2.5.4(a)所示的是两个环节串联的结构，有

U(s)=G1(s)R(s)，C(s)=G2(s)U(s)

由上两式消去U(s)，得

G(s)=C(s)/R(s)=G1(s)G2(s)

其结构等效图如图所示2.5.4(b)。由此可得出，串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积，即有

G(s)Gi(s) (2.5.1)

i1n (2) 并联环节的等效变换

两个及两个以上环节具有同一个输入信号，而以各自环节输出信号的代数和作为总输出冯大鹏

信号的结构称为并联环节。图2.5.5(a)所示的是两个环节的并联结构图。由图得

C1(s)=G1(s)R(s)，C2(s)=G2(s)R(s)，C(s)=C1(s)±C2(s)

由上述三式可得

G(s)=C(s)/R(s)=C1(s)±C2(s)

其等效结构图如图2.5.5(b)所示。由此可见，并联环节的等效传递函数等于各并联环的传递函数的代数和，即有

G(s)Gi(s) (2.5.2)

i1n

图2.5.5 环节并联

(3) 反馈(闭环)连接的等效变换

若传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方块图如图2.5.6(a)形式连接，则称为反镑接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号为负反馈，表示输入信与反馈信号相减。由2.5.6图(a)，有

C(s)=G(s)E(s)，B(s)=H(s)C(s)，E(s)=R(s)±B(s)

消去中间变量E(s)和B(s)，得

G(s)G(s) (2.5.3)

C(s)R(s)Φ(s)R(s)，Φ(s)1G(s)H(s)1G(s)H(s)式中Φ(s)称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数，式中负号对应正反馈连接，正号对应负反馈连接。反馈连接的等效变换如图2.5.6(b)所示。

图2.5.6 环节反馈

(4) 综合点和引出点的移动

在结构图的变换中经常要求改变综合点和引出点的位置。一般包括综合点前移、综合点后移、引出点前移、引出点后移、相邻综合点和相邻引出点之间的移动。

(a) 综合点前移 图2.5.7(a)和图2.5.7(b)分别表示综合点前移变换前后的系统结构图。

图2.5.7 综合点前移

可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系

C(s)=R(s)G(s)±F(s)=[R(s)±F(s)/G(s)]G(s)

(b) 综合点后移 图2.5.8(a)和图2.5.8(b)分别表示综合点后移变换前后的系统结构图。

冯大鹏

图2.5.8 综合点后移

可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系

C(s)=[R(s)±F(s)]G(s)=R(s)G(s)±F(s)G(s)

(c) 引出点前移 图2.5.9(a)和图2.5.9(b)分别表示引出点前移变换前后的系统结构图。

图2.5.9 引出点前移

可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系

C(s)=R(s)G(s)

(d) 引出点后移 图2.5.10(a)和图2.5.10(b)分别表示引出点后移变换前后的系统结构图。

图2.5.10 引出点后移

可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系

C(s)=R(s)G(s)，R(s)=R(s)G(s)·1/G(s)

(e) 相邻综合点之间的移动和合并 图2.5.11(a)和图2.5.11(b)表示相邻综合点之间可以互换位置或进行合并，不会改变该结构输入和输出信号之间的关系。

C(s)=E(s)±R3(s)=R1(s)±R2(s)±R3(s)=R1(s)±R3(s)±R2(s)

图2.5.11 相邻综合点间的移动与合并

(f) 相邻引出点之间的移动 从一个信号流线上无论引出多少条信号线，它们都代表同一个信号，所以在一条信号线上的各引出点之间的位置可以随意改变，效果都是等效的，如图2.5.12(a)和图2.5.12(b)所示。

冯大鹏

图2.5.12 相邻引出点间的移动

四. 由动态结构图求系统传递函数

基本思路 利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。

例2.5.2 化简图2.5.13所示的系统结构图，并求传递函数G(s)=C(s)/R(s)。

图2.5.13 具有交叉反馈的系统结构图

解 (1) 将综合点a后移，得等效图如图2.5.14(a)所示。

(2) 再与b点交换，得到图2.5.14(b)。

(3) 因与并联，与是负反馈环节，可得图2.5.14(c)。

(4) 将图2.5.14(c)的两个串联环节进行合并，得最后化简结果，如图2.5.14(d)所示。

图2.5.14 具有交叉反馈系统结构图等效变换

冯大鹏

§6 信号流图

一. 信号流图的概念及绘制

1. 信号流图的概念

方块图、结构图对控制系统是很有用的。但当控制系统比较复杂时，其结构图的简化就变得很麻烦，而且容易出错。如果把结构图变换为信号流图，再利用梅逊(S. J. MASON)公式去求系统的传递函数，就比较方便了。

信号流图起源于梅逊利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络，信号流图也是一种数学模型。

2. 信号流图的相关术语

节点 代表系统中的一个变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和，用“◦”表示。

支路 连接两个节点的定向线段叫支路，用支路增益(传递函数)表示方程式中两个变量的因果关系，用符号“→”表示，且箭头表示信号传送的方向。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。

源节点(输入节点) 只有输出支路而无输入支路的节点，如图2.6.1中的x1。

阱节点(输出节点) 只有输入支路而无输出支路的节点，如图2.6.1中的x6。

混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点，若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出节点。如图2.6.1中的x2，x3，x4，x5。

通路 沿着支路箭头的方向顺序穿过各相连支路的路径。

前向通路 从源节点开始并且终止于阱节点，与任一节点相交不多于一次的通路，如图2.6.1中的x1→x2→x3→x4→x6，x1→x2→x4→x6，x1→x2→x5→x6。

前向通路(总)增益 前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路(总)增益，一般用PK表示。

回路 通路的起点和终点是同一节点，并且与其他任何节点相交不多于一次的闭合路径称为回路。

回路增益 回路中各支路增益的乘积，称为回路的增益, 用La表示。。

不接触回路 回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中可以有两个或两个以上的不接触回路，如图2.6.1中的x2→x3→x2和x4→x4；x2→x5→x3和x4→x4。

图2.6.1 信号流图实例

3. 信号流图的绘制

信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统的结构图按照对应关系得到。根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制方框图的步骤类似。

(1) 由系统微分方程绘制信号流图 一般应先通过拉氏变换将微分方程变换为s的冯大鹏

代数方程式后再画信号流图。绘制信号流图时，首先对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后，用标明支路增益的支路，根据代数方程式将各节点变量正确连接，便可得系统的信号流图。

(2) 由系统结构图绘制信号流图 结构图中，由于传递的信号标记在信号线上，方框则是对变量进行变换或运算的算子。因此，从系统结构图绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图的方框，便得到支路，结构图也就变换为相应的信号流图了。

二. 梅逊公式

从一个复杂系统的信号流图上，可以通过等效变换规则求出系统的传递函数，但这个过程很麻烦。控制工程上常用梅逊增益公式直接求取从源节点到阱节点的传递函数，而不需要简化信号流图，为信号流图的广泛应用提供了方便。由于系统结构图与信号流图之间有对应关系，因此，梅逊公式也可直接用于系统结构图。

计算任意输入节点和输出节点之间传递函数的梅逊增益公式为

C(s)1nPKK (2.6.1)

R(s)K1式中，Δ为特征式，其计算公式为

Δ＝1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+… (2.6.2)

n——从输入节点到输出节点间前向通道的条数；

PK——从输入节点到输出节点间第K条前向通道的总增益；

∑La——所有不同回路增益之和；

∑LbLc——所有两两互不接触回路的回路增益的乘积之和；

∑LdLeLf——所有不接触回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和；

ΔK——第K条前向通路的余子式，即把与该通路相接触的回路的回路增益置为0后，特征式Δ所余下的部分。

例2.6.1 用梅逊公式求如图2.6.2所示系统的传递函数G(s)/R(s)。

图2.6.2 例2.6.1系统信号流图

解 单独回路四个，即

∑La＝-Gl-G2-G3-GlG2

两个互不接触的回路有四组，即

∑LbLc＝GlG2+GlG3+G2G3+GlG2G3

三个互不接触的回路有1组，即

∑LdLeLf＝- GlG2G3

于是，得特征式为

Δ＝1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf＝1+Gl+G2+G3+2GlG2+GlG3+G2G3+2GlG2G3

从源点R到阱节点C的前向通路共有四条，其前向通路总增益以及余因子式分别为

冯大鹏

Pl＝GlG2G3K，Δl＝1；P2＝G2G3K，Δ2＝1+Gl；

P3＝G1G3K，Δ3＝1+G2；P4＝-GlG2G3K，Δ4＝1

因此，传递函数为

G(s)/R(s)=[PlΔl+P2Δ2+P3Δ3+P4Δ4]/Δ

冯大鹏

本章小结

1. 自动控制系统的数学模型

微分方程、传递函数、动态结构图、信号流图。各模型之间可相互转换。

2. 微分方程

系统微分方程模型是最重要的一种时域模型。其建立的步骤与方法是主要应掌握的内容。

3. 拉氏变换

用拉氏变换求解线性常系统所对应的线性常系数微分方程是工程实践中行之有效的简便方法。通过拉氏变换可将指数函数、超越函数等变换为简单的代数函数，将微分方程变换为易求解的代数方程，从而将微分方程的求解变换为代数方程的求解。

利用拉氏变换可得控制系统在复数域的数学模型—传递函数。

4. 传递函数

系统传递函数是一种复数域模型。不同环节具有不同的传递函数，典型环节主要有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节。系统的传递函数是由系统的特性所确定的。

5. 动态结构图

动态结构图是系统复数域数学模型的一种图解表示法，简明、形象、直观、运算简单。利用等效法则可得系统的传递函数。

6. 信号流图

信号流也是系统复数域数学模型的一种图解表示法。正确确定系统的信号流图，再利用梅逊公式可直接求得系统的传递函数。

冯大鹏

思考题和习题

一. 填空题

2.1 控制系统的模型主要包括 、 与 三大类，系统的数学模型主要包括 与 两大类。

2.2 建立系统数学模型的方法有 与 两种。

2.3 自动控制系统的结构图由 、 、 与 四种基本图形符号组成。

2.4在结构图的变换中经常要求改变综合点和引出点的位置。一般包括 、 、

、 、 和 等移动情况。

二. 简答题

2.1 系统的数学模型的表达方式主要有哪几种？可以如何进行分类？

2.2 建立系统数学模型的方法有哪两种？各自适合什么情况？

2.3 列写系统或元件微分方程一般有哪几个步骤？

2.4 非线性系统线性化的意义何在？

2.5 拉氏变换的基本法则有哪几个？

2.6 拉氏变换在控制理论中主要有哪几方面的应用？

2.7 部分分式展开法主要用于求解哪种情况下的微分方程？

2.8 传递函数具有哪些特性？

2.9 传递函数的零点和极点分别影响系统的动态性能哪些方面？

2.10 机电控制中的典型环节有哪几种？它们各有什么样的微分方程、传递函数的表达式？

2.11 动态结构图主要由哪几个部分构成？绘制动态结构图的基本步骤有哪几个？

2.12 何谓动态结构图的等效原则？动态结构图的变换规则有哪几个？

2.13 为何要研究系统的信号流图？信号流图的绘制有哪两种基本方法？

三. 名词解释

传递函数、状态方程、函数的拉氏变换、传递函数的零点、极点和放大系数、动态结构图、信号流图。

四. 计算设计分析题

4.1 习题图2.1所示为一系统结构图，试分别用化简法与梅逊公式求传递函数C(s)=

G(s)/R(s)。

习题图2.1 控制系统结构图

冯大鹏

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