2024年3月21日发(作者：王朝霞六上数学试卷题)
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1991年全国高考数学试题及其参考答案
(理工农医类)
考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分
一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．
(1) 已知sinα=
(A)
4
3
4
，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于
5
34
3
(B)
(C) (D)
43
4
(B) y
2
=－8(x+1)
(D) y
2
=－8(x－1)
( )
(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是
(A) y
2
=8(x+1)
(C) y
2
=8(x－1)
( )
(3)函数y=cos
4
x－sin
4
x的最小正周期是
(A)
( )
(B) π (C) 2π (D) 4π
2
(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，
( )
(B) 24对 (C) 36对 (D) 48对
( )
异面直线共有
(A) 12对
(5) 函数y=sin(2x+
(A) x=－
2
(C)
x
8
(6) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角
都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的
(A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心
( )
5
)的图像的一条对称轴的方程是
2
(B) x=－
4
5
(D)
x
4
(7) 已知{a
n
}是等比数列，且a
n
>0，a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25，那么a
3
+a
5
的值等
于
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
( )
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(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=
(A) （0，0），（6，π）
(C) （0，0），（3，0）
16
，那么它的焦点的极坐标为
53cos
( )
(B) (－3，0)，(3，0)
(D) (0，0)，(6，0)
(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型
电视机各1台，则不同的取法共有
(A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 (D) 35种
( )
(D) 第四象
限
(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条
件但不是乙的必要条件，那么
(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
(C) 丙是甲的充要条件
(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
( )
( )
(10) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过
．．．
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限
1111
(12)
lim[n(1)(1)(1)]
…(1－)]的值等于
n
345n2
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
( )
(13) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间
[－7，－3]上是
(A) 增函数且最小值为－5
(C) 减函数且最小值为－5
(B) 增函数且最大值为－5
(D) 减函数且最大值为－5
( )
( )
(14) 圆x
2
+2x+y
2
+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为
2
的点共有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
(15) 设全集为R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M={x|f (x)≠0}，N={x|g (x)≠0}，
那么集合
{x|f (x)g (x)=0}等于
(A)
MN
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( )
(B)
MN
(C)
MN
(D)
MN
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二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
11
(16) arctg+arctg的值是____________
32
(17) 不等式
6
x
2
x2
<1的解集是___________
(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的
角是45°，那么这个正三棱台的体积等于
(19) (ax+1)
7
的展开式中，x
3
的系数是x
2
的系数与x
4
的系数的等差中项．若实
数a>1，那么a=
(20) 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且
PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是
三、解答题：本大题共6小题；共60分．
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin
2
x+2sinxcosx+3cos
2
x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集
合．
(22) (本小题满分8分)
z
2
3z6
已知复数z=1＋i, 求复数的模和辐角的主值．
z1
(23) (本小题满分10分)
已知ABCD是边长为4的正方形，E
、
F分别是AB、AD的中点，
GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．
(24) (本小题满分10分)
根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x
3
+1在(－∞，+∞)上是减函数．
(25) (本小题满分12分)
已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式
log
a
x－log
a
2
x＋12log
a
3
x＋…＋n (n－2)
(26) (本小题满分12分)
n1
1(2)
n
log
a
n
x>log
a
(x
2
－a)
3
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双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为
的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．
1991年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种
较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
参照评分标准制定相应评分细则．
二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的
评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的
解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但
3
5
不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，
就不给分．
三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在
解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．
四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
五、只给整数分数．
一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．
(1)A
(8)D
(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B
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(2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A
(14)C (15)D
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二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．
(16)
a
2
三、解答题
(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．
解：y=sin
2
x+2sinxcosx+3cos
2
x
=(sin
2
x
——1分
=1sin2x(1
——3分
=2＋sin2x+cos2x
=2+
——5分
当sin(2x+
2
10
14
(17) {x|－2 5 3 4 ＋cos 2 x)＋2sinxcosx+2cos 2 x ＋cos2x) sin(2x+ 4 )． 4 )=－1时y取得最小值2－ 2 ． ——6分 使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ－ Z}． ——8分 (22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分． z 2 3z6(1i) 2 3(1i)6 解：= z11i1 3 π，k∈ 8 = ——2分 =1 i． ——4分 1－i的模r= 1 2 (1) 2 = 2 ． 3i 2i － 精品文档 精品文档 因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=－1，所以辐角的主值 θ= 7 4 π． ——8 分 (23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及 逻辑推理和空间想象能力．满分10分． 解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC 、 EF、BD分别交AC于H、O． 因 为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点． BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面 的ABCD上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距 离就是点B到平面EFG的距 离． ——4分 ∵ BD⊥AC， ∴ EF⊥HC． ∵ GC⊥平面ABCD， ∴ EF⊥GC， ∴ EF⊥平面HCG． ∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交 线． ——6分 作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所 以线段OK的长就是点B到平面EFG的距 离． ——8分 ∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2， ∴ AC=4 2 ，HO= 2 ，HC=3 2 ． ∴ 在Rt△HCG中，HG= 32 2 2 2 22 ． 由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG． ∴ OK= 精品文档 HOGC22211 ． HG11 22
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