数学竞赛学习解读(一直向前篇)

2023年12月27日发(作者：数学试卷的绘图软件哪个好)

数学竞赛学习之路——一路向前篇

质心教育 黄靖旻

引言：本文写给那些想要深入学习竞赛的同学。无论是你出于对数学的浓厚兴趣，还是有着这方面的天赋想要挑战自己，或者是想要寻找到保送大学的机会给自己一个出路，都可以借助本文提供的指导，结合自己的个人情况去进行学习。如果你发现你能够按照这样的进度一路向前，那么恭喜你真的在竞赛上有一些天赋也愿意努力，坚持到高三拿个省一，进个省队，甚至可以冲击冬令营、集训队等等。如果你发现这些要学习的内容对你太难，也没有关系，放平形态，简化这些步骤，去挑选相对容易的内容学习，不用学那么深，你可以参考下一篇文章（自招收获篇）提供的道路，最终的成果也是丰厚的。

阶段1 准备阶段（初中毕业至高一上学期放假前）

阶段解读：初中毕业后一些同学可能就解放自我了，而另一些同学则会抓住这个机会去努力。这个阶段的付出其实是十分重要的，因为一旦进入高中，时间就变得没有那么充裕了，你将会有更多的功课要学习题要做，所以在这个阶段，你需要想清楚自己想要达到一个什么样的高度，如果想要走数学竞赛这条路，那么这几个月将是你最宝贵的准备时间。

目标1:快速完成高中数学内容，短时间达到高考要求

目标解读：找到当地所用数学教材或通用人教版教材（可以在官网上找到电子课本），结合高中上课的一般顺序（也可以在网上查到）进行自学，当然这里需要参考一些教辅书籍（一般用高三复习的那种，要选讲的比较精细的）和有一些辅导课程最好（自己学习还是会有些重点不知道在哪儿）。通过这个过程我们将掌握高中数学所需要的数学知识，这个过程要细，虽然高中还会更系统地学习一遍，但如果自己学的这一次不够细，那么将来自己的数学学习中将会有很多现在落下的毛病。之后再找到近年各地的高考题自己给自己做模拟测试。坚持下去你会发现，大家还在学高一数学，而你已经在一旁拿出一套高考真题做测试了，但不要骄傲，这只是竞赛之路的开始，要想比别人有更高的成就就要学会走在别人的前面。当然，你会遇到一些比你走的更早的，他们初中就开始接触高中数学和高中竞赛了，如果你是这样的学生，那么你之后的学习都会快人一步，如果不是，从初中毕业就开始学习，也是完全充裕的了。从初三或者更早开始学有一个好处，你可以申请看能不能初三参加一下联赛预赛，高一便可以参加一次联赛，尽管可能会考的云里雾里，但有过这样一次经历也对之后参加考试很有帮助，但如果有一定竞赛底子恰好拿了个省二三也不错（尤其是如果初中竞赛学的顶尖，平面几何非常好的同学，假期里学学高中平几，高一参加联赛二试做出平几和组合是完全有可能的，哪怕是其中一个，好些省也足够省二三了，这会是很不错的资本，当然也会有奇才拿省一的）。这个阶段会一直持续到高一上结束左右，根据不同人学习能力不同可快可慢，切记不要急，这并不是一个假期能赶工的，要慢慢学懂每个知识点。

推荐书目：

（1）人教版教材全部：

简评：除了一定要学的必修选修必须看完，一些额外的选修也可以简单阅读，也会对之后的学习有一些帮助，最好还能配合一些相关的课程去学习，更深入理解重点难点；

（2）《五年高考三年模拟》B版，或类似的总复习专题书一本

简评：一边看教材，一边拿着一本厚厚的各专题复习书啃题型和解题方法，同时也是让自己熟练这些知识怎么运用，选一本自己喜欢的即可，五三大家用的比较多，因为是真题，1

而且也比较全面；

（3）最近一年各地的高考题套题一本（质心教育会免费整理高考套题，自行下载即可）：

简评：做一做套题，再自己批改，看看自己有哪些问题，一般分数达到120左右就基本过关了，不过学竞赛的同学，还是要在之后的不断巩固中，达到随随便便140以上的水平。

目标2:步入竞赛大门，初识数学竞赛思考方式

目标解读：并不建议大家直接从系统化的竞赛知识开始学习，因为这个时候进入系统学习竞赛知识的节奏，一方面高中知识不全，能学的东西很少，另一方面本来就不熟悉竞赛的思维模式很容易被劝退。这时候可以看一些竞赛边缘的与竞赛有关的讲思维方法的数学书，尤其是单墫老师的书，以及补充一些初中竞赛知识（一些初中竞赛的基本技巧如果没有学过，到高中竞赛的时候会显得底子差一些，比如一些因式分解，平面几何等等，高中不会单独去讲这些），同时做一些可以开脑力的竞赛题（不太需要高中数学和类似数论那样知识基础的一些题目）让自己在学习高中课本知识的同时，保持学习竞赛的一个状态和头脑。这个目标可以延续到高一快结束，之后就得开始慢慢系统学习竞赛知识了。同时，因为初中已经学完了课本内的平面几何，所以暑期和高一上学期是可以趁热学习一些高中竞赛的平面几何知识的。另外，推荐大家在这个阶段简单学习一下高一上学期数学对应的竞赛知识，因为高一上学期的数学课本内容其实初中暑假很快就可以学完弄懂，且这个部分相对比较简单，在这个基础上对应的竞赛知识学起来也不会特别吃力，但学好这一部分，可以在学校里如竞赛班选拔考试、各种竞赛班测验考试等取得比较好的成绩，会比较容易得到老师和学校的支持、重视和帮助，也有更多的机会接触高年级学习竞赛的大牛，这些其实也是很有必要的。另外，因为高中不会再单独学习平面几何，一些初中平面几何比较好的同学也可以在这个阶段趁热打铁，先学习一些高中竞赛平面几何的基本内容。

推荐书目：

（1）《解题研究》单墫

简评：这本书对于数学解题的思维方式和技巧有着很深刻的讲解，适合大家入门竞赛的时候阅读，有了这些技巧，在之后系统化的学习竞赛的过程中，许多问题包括例题你都可以尝试着自己先想一想再看解答，能自己做出问题，一方面是锻炼思维，一方面是提高信心。

（2）单墫老师教你学数学一套共7本可选读1-3本。

简评：这套书的风格是有趣轻松，里面的一些问题其实是很难的，但在作者条理化的解答下却迎刃而解了，多体会这样的过程，让自己也具备思考问题的能力。推荐选读《平面几何中的小花》以及《棋盘上的数学》。像《解析几何的技巧》等一些需要一些基本知识储备，像《覆盖》是相对难的组合几何里的问题，所以读起来困难一点，先挑轻松一点的读，其余的也是好书，可以之后来补。但是，这套书目前几乎绝版，只能买旧书或者影印版。

（3）数学奥林匹克小丛书（初中卷）全套共8本

简评：不要觉得这是一套初中版就轻视它，其实这套书对于刚刚初中毕业，初中接触竞赛比较少的同学来说难度还是不小的。对于初中接触竞赛多已经有相当竞赛理解的同学，可以大体看一看，有不会的地方多做做就行了。这套书对于从初中到高中竞赛，有着一个承上启下的作用。其中的一些技巧如因式分解等，在高中很少会单独来讲，但却是一些数学基本素养上的东西，会提升你的解题速度，增加一些解题技巧。当然，整个一套书量比较大，建议快速阅读掌握方法，习题简单思考当作联系，不必在这个上花太多时间。

（4）数林外传系列《趣味数学100题》单墫

简评：这本书上的大部分问题，都是可以通过思考完成的而不借助许多现有结论，所以对于初学者扩展思维是比较有帮助的，一个小本本，100个题，平时没事做几个思考思考。

（5）《奥赛经典·奥林匹克数学中的几何问题》沈文选 张垚 冷岗松

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简评：这本书最适合高中平面几何入门，因为它是完全按照考点来分块讲的，基本学完就掌握了所有高中竞赛平几知识。另一方面，这本书的题目相对基础联系一些，很多习题都是纯粹为了熟练而出的，做起来简单而且有加强记忆的效果。不过这本书的很多题都比较老了，所以离联赛和冬令营真正会遇到的考题还是会有一些区别的。另外这本书除平面几何外还有立体几何和解析几何的部分，这两部分可以在攻坚一试专题的时候看看，现在只用看平面几何即可。

（6）《奥数教程·高一年级》熊斌、冯志刚，附有学习手册、能力测试配套使用

简评：如果能力再强一点，能够很快学完高中课程，可以在这个阶段去接触高一年级课程对应的竞赛知识了，那么这个系列的高一年级是比较适合这个阶段去读的，可以先看基础篇为主，有余力才考虑提高篇（这部分可以以后再读，是一些比较难的专题和一些向二试过度的东西）。学习手册是教程的答案和一些选讲补充，基本是起个答案的作用，答案可以用来参考，但题目还是要自己去想才会有提高，一定要先自己做题再看答案。能力测试是应对于教程的每个章节的更多的练习，其实做完教程的习题就挺够的了，对自己要求再高一点的同学可以考虑用能力测试来提供更多的练习。

阶段2 一试基础（高一上寒假开始到高一下学期末）

阶段解读：这个阶段要做的，是将一试的基础打好，一试的内容，实际上是高中数学的延展。所以我们学完高中数学的常规知识，有开了一些竞赛数学的头，懂得一些基本的竞赛思维方式过后，便要系统性地学习竞赛数学了。这一部分的打基础，对于整个竞赛的学习都是至关重要的，学的扎实一些，之后的二试也会轻松一点（部分二试内容也是和一试内容相关的）。

目标3:系统地完成一轮高中数学联赛一试的学习

目标解读：尽快完成一轮系统地高中数学联赛一试的好处是可以有更多的时间攻坚二试，巩固一试和做模拟训练，如果达不到这个效率也可以往后面延一延。一试的考试大纲，其实就是高中数学的考试大纲，只是方法上有所提高而已，所以高中竞赛的内容其实也就是对应着高中的各个专题点。书的话也是要找一些系统性的书籍一个点一个点的打扎实。这个阶段的学习，大多是跟随学校里竞赛班的教学节奏走再自己课外多做一些练习多看一些书。老师一般会选一本或者一套书作为自己的教学教材，可能就是推荐书目里的某本，自己选其他的用来再加强即可，当然也可以考虑参加专门的辅导班学习。学的比较快的同学，可以考虑参加这个学期的联赛预赛，预赛的题只比高考难一点，学的比较多的同学应该是可以驾驭的，通过预赛取得联赛的考试名额，就可以在高二上参加联赛了，这也是一个很好的机会。（个别地区有不需要参加预赛就能拿到的联赛名额，需提前向高年级竞赛老师说明自己想法并询问是否参加预赛等）

推荐书目：

（1）《奥数教程·高二年级》余红兵，以及高三年级的前四讲，附有学习手册、能力测试配套使用

简评：高一下开始系统学习，可以继续完成这套书的高二高三年级中偏一试的部分，也就是高一高二每本书的基础篇全部，提高篇加上高三年级前四讲，这些是应该学习一试内容的时候就完成的部分。这套书的特点是比较细比较精，三本读完下来基本可以涵盖一试所有知识点，但是这套书的二试知识是不全面的，平面几何没有，其他板块的也不够齐全，学习二试的时候，也可以作为参考读一读。当然如果时间充裕也可以现在就把剩下的两本读完，因为这套书的二试内容虽然不全但难度也不会太高，比较适合用来跨入二试的门槛。

（2）《高中数学竞赛培优教程·一试》李胜宏、李明德；《高中数学联赛考前辅导》熊斌、3

冯志刚……这种类型的数学竞赛教材至少选一本阅读

简评：这类型的书，对竞赛的每个知识点分专题去详讲，是非常多的。这里列举了两本比较好的且算比较新的书（李老师的培优教程一直在更新版本所以也算比较新的），选这两本之外的其他书也可。这种书类似于数学竞赛的教材，就是一个专题又一个专题地学过去就可以了。无论是例题还是习题都自己做一做会有收获一些。

（3）一些一试真题或模拟题，当成试卷考一考

简评：选真题或者模拟题都可以，只考一试部分。其实真题一试单独考比较好，因为真题二试的题很多时候会被平时学习做到，而二试题一旦做过，那整个考试难度变化就太大了。所以不用觉得把卷子拆了会亏，以后多的是套题可以做。

阶段3 二试及专题突破（高一寒假开始到高二下期中）

阶段解读：这个比较长的阶段，一个寒假一个暑假一个半学期，我们拿来攻坚二试及一些各种各样的专题。这些专题或一试或二试，查漏补缺。这个部分的阅读会比较灵活，所以后面会有补充书目供大家选择。这个部分的目标当中，如果对自己的要求不高，只是想着省一到省队这个样子，那么二试四个模块的目标，选择两到三个学精也是可以的（二试做出三题，一试正常已经是比较高的水平了）。

目标4:系统地完成一轮高中数学联赛二试的学习

目标解读：这个阶段我们会把高中联赛的4个部分做一个简单的学习，一方面基本了解四个模块的所有内容，这样拿到二试题，我们起码能读懂每个题的意思并且可以做初步的思考，一些简单的或者和做过的类似的题目至少是可以得到解决的，所以这里推荐阅读的都是每个部分类似于启蒙教材的书籍，其中平面几何完成了奥赛经典的几何那一本就已经算比较有基础了，因为阶段一推荐过所以几何就不再列了。然后也可以用一些系统讲二试的书巩固一下。当然由于二试题的整体难度较高，仅仅靠这些书只能说是有了做题的资本，遇到难题还是远远不够的。如果寒假里已经高二上开学初便能完成这个部分的大概，那么高二那次联赛便有很大可能能够提前得奖接触更多的学习和考试的机会。这个阶段的学习，参加一些培训机构组织的课程会有不少收获，目前现有的九章、希望杯、中等数学、协作体等举办的数学竞赛培训都可以参加，当然质心教育之后也会逐步开启数学竞赛的线上班、短期班等等，欢迎有需要的同学前来学习。

推荐书目：

（1）《数学奥林匹克小丛书·高中卷10·数论》余红兵

简评：别看这本书薄薄一本，确是将高中数学竞赛所需的基础数论知识讲了个十之八九。是数论这一部分最好的入门书，没有之一。里面的题目难度合适，且需要一点想法，有些例题习题也是一些重要结论（可作为一些难题的引理）。用这本书打打数论基础，之后便可以开启数论的世界了。

（2）《数学奥赛辅导丛书·第二辑·重要不等式》蔡玉书

简评：代数方面其实包含的内容比较广，除了不等式，函数、多项式、数列等各方面都设计代数问题。不过《奥赛教程》对于函数和多项式讲的还是比较过关的，而且这些内容有一些比较接近一试，所以之前的学习当中都会有一些接触，即使在二试中遇到，也不会完全慌了手脚。但不等式这一部分，二试的要求会高出一试很多。这里选取这本书，是因为这本书内容相对较少又涵盖了均值、柯西、排序、切比雪夫、琴生、舒尔不等式这些常用不等式的使用技巧。这些技巧也可以用于其他方法解不等式。这本书的难度也相对比较亲和，读起来不会那么难受，比较适合不等式入门（一些高手更喜欢小丛书来入门不等式，但小丛书的2

那两本不等式其实不是那么简单的）。

（3）《数学奥林匹克小丛书·高中卷11·组合数学》张垚

简评：用这本书可以基本熟悉组合数学的基本技巧和思考方式，算是一本组合数学入门教材。小丛书一整套基本都是要读完的，只是阅读顺序上会根据需要有些安排。但这本书对于组合数学来说，也是远远不够的。组合数学包括的图论等带一定新知识性的模块并未在这里做介绍，所以想能够接触到二试的组合数学，还得补充一本图论教材。

（4）《数学奥林匹克小丛书·高中卷12·图论》熊斌、郑仲义

简评：小丛书的图论，也可以说是最好的图论启蒙教材了，里面的内容比较全面，难度也很合适，读起来会有需要思考的地方，是很合适的教材，作为初步入门学习组合的补充是再合适不过的了。

（5）《高中数学竞赛培优教程·专题讲座》李胜宏、李明德

简评：在学完前4本书以及几何的那本奥赛经典后，对于数学竞赛二试的各个模块，应该都有了一些基本的认识和把握。之后可以借助这本书来以专题形式，整体过一遍每个板块涉及的各种的知识点。因为前面这些本都比较精巧，所以这样补充过后，整个二试内容的学习才算比较完整。同时，前面学过的部分，也算是复习了一遍，收益还是不小的。

目标5:逐个击破二试各个模块

目标解读：上一个目标完成后，我们已经初步掌握了二试的四个模块的知识，且对自己擅长哪个模块应该也有了一定的了解，这个时候便可以按着最擅长到最不擅长的顺序，逐个击破二试的各个模块。这里会将四大模块的优秀书籍或可选书籍都罗列出来，学生需要自己去选取读哪些，每个模块读多少（感觉这个模块已经学透就少读几本，学不透就反复吃读过的本或读新书再看看新的思路，因为这里涉及的书太多，后面的推荐会略去简评并给出重点阅读的书目，有没有囊括到的书籍也很正常，大家可以一边学习一边了解）。对自己要求高一些的同学，应当不落短板的对每个部分都有不错的认知，当然可能其中一两个能达到特别专精的程度。二试的学习不比一试，要学会长考，就是对一个问题长时间的思考，而不是想个10分钟完事，要学会不断去挑战问题，尝试用自己的思路去解决它而不是简单学习已有的答案。有机会的同学，可以跟着参加一下集训队训练和国家队选拔考试（可能会有旁听且参考的名额，这个参考是旁听的学生在几个教室考，是不会算到正规竞赛考试里的）。

几何部分推荐书目（读后感觉选择适合自己的阅读，标红为重点书目，下同）：

（1）《平面几何证明方法全书》沈文选

（2）《平面几何的解题规律》周沛耕 刘建业

（3）《数学奥林匹克小丛书·高中卷7·平面几何》范端喜 邓博文

（4）《数学奥林匹克小丛书·高中卷9·几何不等式》冷岗松

（5）《高中数学竞赛专题讲座·平面几何》虞金龙 马洪炎

（6）《高中数学竞赛课程讲座·几何问题》中等数学编辑部

（7）《高中数学竞赛解题策略·几何分册》沈文选、杨清桃

（8）《高中数学竞赛专题讲座·平面几何解题思想与策略》过伯祥

（9）《命题人讲座·圆》田廷彦

（10）《数林外传系列·平面几何100题》单墫

（11）《几何变换》（老版小丛书）萧振纲

（12）《几何变换与几何证题》萧振纲

（13）《三角与几何》（老版小丛书）田廷彦

（14）《几何新方法与新体系》张景中

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（15）《面积关系帮你解题》张景中 彭翕成

（16）Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads by Evan Chen（陳誼廷）

（17）《近代欧式几何学》R·A·约翰逊

（18）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·几何不等式》单墫

（19）《面积与面积方法》（小丛书老版初中卷）田廷彦

（10）《数林外传系列·反射与反演》严镇军

数论部分推荐书目：

（1）《初等数论》潘承洞 潘承彪

（2）《华章数学译丛·数论概论》约瑟夫H.西尔弗曼

（3）《整数与多项式》冯克勤、余红兵

（4）《初等数论难题集》（共两卷）刘培杰

（5）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·初等数论》王慧兴

（6）《高中数学竞赛课程讲座·初等数论》中等数学编辑部

（7）《高中数学竞赛解题策略·数论分册》杨樟松

（8）《高中数学竞赛专题讲座·初等数论》边红平

（9）《命题人讲座·初等数论》冯志刚

（10）《奥赛经典·奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 张垚 冷岗松

（11）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·不定方程》单墫、余红兵

（12）《基础数论典型题解300例》曾荣、王玉

（13）《数论导引》华罗庚

（14）《算术探索》高斯

代数部分推荐书目：

（1）《命题人讲座·函数迭代与函数方程》单墫

（2）《命题人讲座·数列与数学归纳法》单墫

（3）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·母函数》史济怀

（4）《高中数学竞赛课程讲座·初等代数》中等数学编辑部

（5）《高中数学竞赛解题策略·代数分册》沈文选、杨清桃

（6）《高中数学竞赛专题讲座·代数变形》蔡小雄

（7）《高中数学竞赛专题讲座·递推与递推方法》李世杰

（8）《高中数学竞赛专题讲座·周期函数与周期数列》李世杰

（9）《高中数学竞赛专题讲座·不等式》李世杰

（10）《高中数学竞赛专题讲座·函数与函数方程》黄军华

（11）《命题人讲座·代数不等式》陈计

（12）《奥赛经典·奥林匹克数学中的代数问题》沈文选 张垚 冷岗松

（13）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·有趣的差分方程》李克大、李尹裕

（14）《数学奥林匹克小丛书·高中卷2、3、4、5、6》熊斌等

（15）《不等式的秘密·第一卷》（越南）Pham Kim Hung

（16）《不等式的秘密·第二卷》（越南）范建熊

（17）《高中数学竞赛专题讲座·复数与多项式》岑爱国

（18）《初等不等式的证明方法》韩京俊

（19）数林外传系列大量代数方面的专题科普书籍，其中如磨光变换等是比较不错的

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组合部分推荐书目：

（1）《命题人讲座·组合几何》田廷彦

（2）《命题人讲座·图论》任韩

（3）《命题人讲座·集合与对应》单墫

（4）《命题人讲座·组合问题》刘培杰、张永芹

（5）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·趣味的图论问题》单墫

（6）《高中数学竞赛课程讲座·组合数学》中等数学编辑部

（7）《高中数学竞赛解题策略·组合分册》

（8）《中数学竞赛专题讲座·组合构造》冯跃峰

（9）《高中数学竞赛专题讲座·组合问题》王建中

（10）《高中数学竞赛专题讲座·染色与染色方法》王慧兴

（11）《奥赛经典·奥林匹克数学中的组合问题》沈文选 张垚 冷岗松

（12）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·组合几何》单墫

（13）《数学奥林匹克小丛书·高中卷1、13》刘诗雄等

（14）《中学生数学思维方法丛书》（全套12本）冯跃峰

（15）《数学奥赛辅导丛书（第一辑）·1、13》

（16）数林外传系列大量代数方面的专题科普书籍，其中如巧用抽屉原理等是比较不错的

综合类推荐书目：

（1）《数学竞赛研究教程》（上下两册）单墫

（2）《我怎样解题》单墫

（3）《中外数学竞赛100个重要定理和竞赛题精解》

（4）《高中数学竞赛课程讲座·奥林匹克原创题集》中等数学编辑部

（5）《奥赛经典·奥林匹克数学中的真题分析》沈文选 张垚 冷岗松

（6）《数学奥林匹克小丛书·高中卷14》熊斌 何忆捷

（7）《高中数学竞赛教程》严镇军

（8）《陶哲轩教你学数学》陶哲轩

（9）一些试题集萃类的书籍也可以阅读

目标6:一试的一些重点专题加强训练

目标解读：这个过程其实和二试的学习是并行的，自己把握好这个比重，免得成天学二试反而一试退化了。一试里面的一些比较难的部分，也是可以单独成不少小册子的。阅读一下这些书强化一些一试重点专题的理解，这不仅对一试有帮助，对二试不少题目也会有帮助。（比如二试也可能出现一些带立体几何背景的组合题，或者带数列背景的不等式，类似的还有很多，这个时候对这些一试元素的认知不清晰，也是会摔跟头的）

推荐书目（书目较多，不再依次简评，但会对重点书目标红以便大家选取）：

（1）《命题人讲座·三角函数与复数》

（2）《命题人讲座·向量与立体几何》

（3）《命题人讲座·解析几何》

（4）《数学奥赛辅导丛书（第二辑）·解析几何的技巧》

（5）《数学竞赛专题讲座·复数与多项式、集合与简易逻辑、三角函数、立体几何、解析几何》

（6）《数学奥林匹克小丛书·高中卷3、8》

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（7）《解析几何竞赛读本》

（8）《奥赛经典几何》的立体几何和解析几何部分

（9）《高中数学竞赛课程讲座·几何问题》的立体几何和解析几何部分

（10）《复数》（老版小丛书）

（11）《概率与期望》（老版小丛书）单墫（注：如老版不好买可买数林外传系列的概率与期望，也是单墫写的，老版小丛书的内容基本都涵盖且会多一些内容）

（12）数林外传系列的一些关于一试内容的科普书籍

阶段4 知识拓展（高二下期中到高二结束前）

阶段解读：到了这个阶段，一试二试的内容应该基本上都接触和练习过了，可能有一些还有漏洞的要慢慢去理解。这个时候，重要的是需要拿出一些时间来接触一些相对比较难，比较新的竞赛数学来开拓自己的视野，之前推荐的陳誼廷的几何书，越南人的不等式，里面的一些内容和观点都是其他书很难有的。所以这个时候要做的，就是去收集和阅读一些这方面的资料，强化自己对于数学的理解。

目标7:接触更高端前沿的数学竞赛

目标解读：因为前沿一直在变化，所以这里就不列举推荐书目了，但同样也会给大家指明一些可以去具体查阅的方向。对于想要冲击省队且之后冲击冬令营金牌或进入集训队的同学，这部分积累是至关重要的。当然，主要也看阶段三的完成情况，来决定这个阶段具体花多长时间去做。除了以下给出的这些资料网站或者书籍，还可以对人去找，比如几何方面找找叶中豪老师的讲稿，数论找找余红兵的等等，对着每个板块去找一些大牛写的资料来阅读。也可以对事去找，比如有一些重点的培训，去搞一搞好一点的学生笔记，回来读一读收获也很大。不过从另一个角度讲，这个阶段的学习也不单单是为了数学竞赛了，这些开拓视野的东西，对未来的数学学习也会有不少帮助，如果是真心喜爱数学，可以阅读得更广泛一些，甚至可以少量看一些大学的数学书籍（数学竞赛并不涉及大学数学，只是极少题可能有大学数学的背景，大学数学这部分只能作为兴趣和培养情操，并不算在数学竞赛的学习历程中，其实待数学竞赛之路走完后再去慢慢阅读这些内容，也是不错的）

一些可以去查阅的方向:

（1）《中等数学》（期刊，你甚至可以尝试讲自己的一些见解想法去投稿）

（2）网站（许多国外试题和各种资料）：art of problem solving（）

（3）网站（IMO官方网站）：

（4）网站（陳誼廷个人网站）： /

（5）网站（各种脑洞和题目）：

（6）网站（数学新星网）：

（7）网站（三蓝一棕的b站空间，各种数学视频）：/88461692

（8）网站（数学竞赛吧，百度贴吧，自己找就行了，有很多大牛的经验和各种题目讨论）

阶段5 模拟测试（高二结束到联赛考前）

阶段解读：这个阶段则是通过做模拟试题，来寻找联赛的感觉。同时，在做题的过程中，找到自己不熟悉的板块去查漏补缺，力求联赛取得更高的分数。

目标8:反复模拟训练进行联赛冲刺

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目标解读：联赛分一试和二试。一试8个填空题每个8分，3个大题分别16分，20分，10分，合计120分。二试分别对四个模块各出一道考题，两个40分，两个50分，合计180分。联赛冲刺前，要对历年的联赛情况有个大体的了解，也先做一做真题，粗略估计一下自己打算一试二试拿多少分才能达到自己心里的要求，然后朝着这个方向去努力，每次模拟测试都力求自己能达到这个要求。在模拟测试中发现自己的不足后，就对着自己的不足点去找相应的书和练习。这个阶段的冲刺，一是要使得自己能够适应联赛的考试节奏，把握好这样难度考试的时间安排；二是要找出自己的缺点，让自己的分数还能上升一小节。最后，到了联赛真正来临，放平心态不要紧张，勇敢地去思考，去解答，只要不到考试结束就不放弃思考没有做出的题目，不断换角度去想去推测，即使做不出也能写出大量的自己的思路和已有结论。如此一来，自己的分数就能最大化了。

推荐书目：

（1）《走向IMO》（每年都有一本）

简评：历年的重要考试的试题集，买一些近年的来做，一些比较难的考试如TST（国家集训队测试），IMO等等可以不用拿来自己测试，就抽空想想题对照对照答案看看，因为这些题里面的一些新题也可能被简化了用作下年联赛题，所以最近的题目还是都要了解的。

（2）《中等数学·增刊1》（每年一本）

简评：最容易找到的模拟题集，每年都是由许多竞赛教练新命的题，所以每年都可以有新题拿来做模拟训练，是非常不错的选择。不过，因为出题的老师的风格不同，可能会出现部分考试卷难度特别高的情况，这个时候没考好也不要慌张，和班上同学一对比就会发现，其实自己好像也没那么差只是题目整体太难而已。

（3）《全国高中数学联赛模拟试题精选》本书编委会

简评：这类似的模拟题集的书，尽量去找近年一点出版的书籍来做，这里是举了个例子，这本是最近出版的，所以选了这本，大家也可以自己去找，每年都找越靠近今年出版的书越好。

（4）从一些竞赛教练或者竞赛培训机构或竞赛委员会那里买模拟套题

简评：尽量去专业的老师或者机构手里买题，这样拿到的题目会比较贴合联赛一些，做了过后收获会比较大，比如“数学之窗”每年好像都会出模拟题。

阶段6 冬令营模拟训练（联赛考后）

阶段解读：对于已经进入了省队的同学，那么接下来会有两个月的时间去准备冬令营考试，这个阶段基本就是找比较好的老师带着自己去做模拟试题（冬令营阶段的模拟题市面上已经很难找到了，即使找到也很难是最新的，大多数要去找这方面的竞赛教练才能拿到），或者就是参加一些相关的培训。然后自己再巩固一下以前学的东西，以及学习更多的解题方法，攻坚一些之前觉得是联赛难度外所以没有太上心的模块和书籍。到了这个阶段的学生一般对自己的学习方法已经形成一个体系了，所以这里也就不多言了，要对自己有信心，再努力向更高更远的目标去冲刺。在这个阶段你也会结识到更多的大牛，多向他们获取经验和资源也是不错的捷径。

祝大家竞赛之路一路顺利，爱数学，学好数学，收获自己想要的未来

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