数学史融入数学教学—以数学归纳法为例

2024年4月5日发(作者：八升九衔接班数学试卷)

数学史融入数学教学—以数学归纳法为例

中山女高苏俊鸿

一、前言

在高中数学的课程中，除了综合证法外，希望学生能学习的证明技巧有二种，

一是反证法；另一为数学归纳法，这两种证明的概念与形式均与综合证法有着颇

大的差异。无独有偶地，这两种证明技巧均出现在高一上的课程中，学生刚脱离

国中阶段(尤其这几年教改的大力简化)，马上面临严苛的证明训练，心中的不解

与苦恼，可想见一般。以数学归纳法为例，曾有国内研究指出：现职高中数学教

师估计所教过的学生中，平均只有38％的学生了解数学归纳法的本质，43％的

学生能正确解释数学归纳法的原理，31％的学生能掌握数学归纳法，并提出一个

具备结构的证明，54％的学生只对数学归纳法呈现片断性的了解。(朱绮鸿&谭

克平，民89)由此可见，在数学归纳法的教学上，仍然有值得我们努力的空间。

希望能在以数学史融入数学教学(HPM)的进路上，提供学生一种可行的学习策

略，达成有意义的学习。

二、教学指引

关于数学归纳法的教学问题，一般教学上采取的流程不外乎以下几种策略：

(1)呈现数学归纳法的步骤

(2)以证明级数和的公式作为示范例题

(3)给学生练习题以熟悉所教的技巧

当我们比较现行高中数学教材的编写，也大致与上述吻合。然而相关的研究也显

示“多数学生第一次接触数学归纳法是在级数和公式的证明，因而导致学生对数

学归纳法在其它情境的应用感到陌生。”(Ernest,1984)此种只强调数学归纳法的形

式与步骤的教学下，学生对数学归纳法的了解只限于表层技能方面，对于数学归

纳法的证明本质的体会不够深入。因此出现上述的现象便不足为奇。

据研究显示，高中学生在数学归纳法的学习上，在概念上较易出现的学习

困难的有几个部份：

(1)对「归纳法」与「数学归纳法」的差异不够了解；

(2)忽略「数学归纳法」中的奠基步骤的重要性；

(3)对「数学归纳法」中的递推步骤的逻辑性无法掌握。

面对这些学习上的障碍，多数的数学教育研究者认为找寻适当的启蒙例，让学生

能对「数学归纳法」的概念更加了解。

然而随着教改的政策执行，国中数学教材的精简，大量引入操作型定义及

种种因素的影响下，笔者在实务上观察发现：目前学生所面临「数学归纳法」概

念学习的困难，远比上述的研究结论来得基本。事实上，当学生在国中失去欧氏

几何证明的教学与演练的机会后，已经对数学上所谓的「证明」毫无认识与体会，

证明是什么？为何观察现象归纳所得出的性质需要证明为真？归纳法与数学归

纳法有何不同？这些问题都是教师们在「数学归纳法」的教学上，应需留意的部

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份。现有教材或研究论文所提的启蒙例都只着重在「归纳法与数学归纳法」的异

同或是对「数学归纳法中的递推步骤」的强调。但例子的设计上却多太过牵强与

做作，无法引起学生对「数学归纳法」学习的兴趣，因此透过这些例子解决上述

所提的学习障碍的成效就大大降低。本文的目的，便是希望透过数学史上对比的

例子，让学生能感受学习「数学归纳法」的必要性。期能弥补以往的不足，为「数

学归纳法」的教学，呈现另一种可能性。

三、学习单设计的理念

数学的发展是由「归纳」到「演绎」的，过程中两者交互作用，相辅相成。

所谓「归纳」，就是由一些特殊的例子中观察出一般性的规律；而「演绎」则是

从一些基本的规律出发，以逻辑推理得出新的结果，而「演绎」则是的想简单地

说，我们对归纳而得的性质，依循基本规律，利用逻辑去核证是否为真的活动，

就是「证明」。不过数学证明的主要并不全在核证命题，那不过是它作用的一部

份。在数学史中，我们处处可见，即使推论过程有些小错误或遗漏，伟大的数学

家凭着高超的数学直觉，仍能找到正确的结论。

那么证明的作用何在，关于这点，(2002)提出他的看法：

(1)证明是为了让人信服(Aproofthatconvinces)

(2)证明是为了说明(Aproofthatexplains)

(3)证明是为了正当化结构(Aproofthatjustifiesstructure)

(4)证明是为了阐明技术(Aprooftharillustratestechnique)

其中(3)(4)两项作用更是Weber在「证明」教学上所强调。换言之，数学证明主

要的积极意义在于让学习者能透过它去理解命题，及学习其中必要的技巧。

另一方面，(1)(2)两项作用则是传达「证明」这个数学活动的社会面向上的

意涵，英国数学家哈代(Hardy)说得好

严格来说，没有所谓证明这个东西，归根就底，我们只能指指点点。我与

利特尔伍德(Littlewood)把证明管叫‘气体’，它只是修辞雄辨，用以加强心理感受；

它只是讲课中在黑板上画的图画，用以激发学生的想象力。

讲解证明的是人，理解证明的也是人，所以知识传递本就是一种社会活动。也难

怪苏联的数学家曼宁(Manin)说“一个证明只当它通过被接纳为证明这项行为后，

它才算是证明。”

基于上述的看法，笔者选择JohnWallis(1616-1703)与Pascal(1623~1662)作

为对照的例子。Wallis在1655年牛津大学所出版的《Arithmeticainfinitorum》(无

穷算术)中，为了推出著名的π的无穷乘积公式，必须使用先导出以下的这个极限

值

0

k



1

k



2

k







n

k

1

lim

k



n



n



n

k



n

k







n

k

k



1

这个极限值是正确的，然而Wallis找到这个极限值的作法，却引起其它数学家的

批评，这正是Workcard1的内容。此外，问题讨论中也包含尤拉曾提出有关质数

的公式，正是希望学生思考与讨论归纳法的意涵及不足之处。

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