高中数学构造法求解题技巧

2024年3月27日发(作者：中考考什么数学试卷比较好)

高中数学构造法求解题技巧

高中数学构造法是一种解题思路和技巧，它通过构造

适当的数学结构，使得问题的求解变得更加简单明了。构

造方法在高中数学中应用广泛，可以用于解决各类题型，

包括代数题、几何题、概率题等等。

一、构造法的基本思想

构造法是一种通过建立合适的数学结构，简化问题的

解决方法和步骤的思想。通过构造一些符合题意的数学对

象，我们可以发现一些规律，从而提供问题的解答方式。

二、构造法的常见技巧

1.构造等差数列或等比数列

在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个等差

数列或者等比数列。通过构造这样的数列，我们可以找到

其中的规律，从而解决问题。

2.构造图形

在解决几何问题时，我们可以尝试构造一个与原图形

相似或者关联的图形。通过构造这样的图形，我们可以将

复杂的几何问题简化为一些基本的几何性质，从而解决问

题。

3.构造排列组合

在解决一些概率问题和组合问题时，我们可以尝试构

造排列组合。通过构造排列组合，我们可以得到一些计算

公式或者规律，从而解决问题。

4.构造方程组

在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个方程

组。通过构造这样的方程组，我们可以得到一些方程之间

的关系，从而解决问题。

5.构造递推公式

在解决一些数列问题时，我们可以尝试构造一个递推

公式。通过构造递推公式，我们可以找到数列中的规律，

从而解决问题。

三、构造法的实例分析

1.构造等差数列

例题：有一些连续的整数，它们的和是45，这些整数

中最小的是多少？

解析：我们可以假设这些连续的整数的首项是x，公差

是1，那么这些整数的和可以表示为：

x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)=45。通过求和公式，我们可以

得到(x+45)/(n+1)=45，进一步化简得到x=15-n。我们可

以发现，当n=30时，x=15-n=0，此时连续整数中的最小

值为0。

2.构造图形

例题：在平面直角坐标系中，有一条线l过点(0, 0)和

(1, 2)，线l与x轴、y轴以及x=y共同围成一个三角形，

求这个三角形的面积。

解析：我们可以尝试构造一个与原图形相似的图形，

即在(1, 2)处构造一条平行于x轴的线段l\'，并且使得l\'与x

轴、y轴以及y=x共同围成的图形与原图形面积相等。通

过计算可知，点(1, 2)与x轴、y轴以及y=x的交点分别为

(1, 0)、(0, 2)、(2, 1)，通过计算我们可以得到两个三角形

的面积为1和2，因此原图形的面积为1+2+1=4。

3.构造排列组合

例题：从1、2、3、4这四个数中任取两个数相加，求

和的结果是一个偶数的概率是多少？

解析：我们可以尝试构造一个排列组合，即从1、2、

3、4中任取两个数相加，假设这两个数分别是a和b，我

们可以列出所有可能的情况：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、

(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,3)、(3,4)、(4,4)，其中有6种情况

使得和是一个偶数，因此概率是6/10=3/5。

通过以上几个例题的分析，我们可以发现构造法在解

决高中数学题时的重要作用。通过构造合适的数学结构，

可以帮助我们找到问题的规律和解决方法。因此，在解题

过程中，我们应该积极尝试各种构造方法，以提升解题的

效率和准确性。