2024年1月8日发(作者：姜堰教师编制数学试卷)

小专题(九) 相似三角形的基本模型

下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们认识基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．

模型1 X字型及其变形

(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；

(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.

1．(恩施中考)如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于( )

A．1∶4

C．2∶3

B．1∶3

D．1∶2

BE2．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是________．

EC

3．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．

模型2 A字型及其变形

(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；

(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.

4．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长．

5．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠求证：＝.

AEAD

1116.如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.

ABCDEF

模型3 双垂型

直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.

7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为( )

A．36

C．95

B．15

D．3＋35

8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4, 那么CD＝______，AC＝______．

模型4 M字型

Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.

9．如图，已知：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长为( )

A．217

B．25

C．42

D．7

10．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．

11．(常州中考改编)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

参考答案

小专题(九) 相似三角形的基本模型

针对训练

1．D 2.3 3.∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝3BDDF8DF＝，即＝.∴DF＝4. 4.∵BE＝CECF42∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴2AB，AB＝3，∴BE＝6，AE＝9.∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AF.∴△EBC∽△EAF.∴BEBCAE·BC9×39＝.∴AF＝＝＝. 5.证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.又∵∠ADB＝AEAFBE62∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB.∴ABAC＝.又∵ABAEABABACEFDF＝AD，∴＝. 6.证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB.∴＝.又∵EF∥CD，∴AEADABBD△BEF∽△BCD.∴EFBFEFEFDFBFBD111＝.∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝. 7.B 8.6

CDBDABCDBDBDBDABCDEF313 9.A 10.∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥ABBCCE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴＝.又∵C是线段CDEDBD的中点，ED＝1，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∴AB＝4. 11.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3.∵△ABE∽△DEF，∴4－DE4AEAB＝，即＝.∴DE＝2.又∵ED∥CG，∴△DFDE1DEEDDFEDF∽△GCF.∴＝.∴GC＝6.∴BG＝BC＋CG＝10.

GCCF


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