2024年4月2日发(作者：初中亮点数学试卷难吗)
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2015年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个
空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁
U
Β= ．
2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c
1
﹣c
2
= ．
4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= ．
5．（4分）（2015•上海）抛物线y
2
=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．
6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小
为 ．
7．（4分）（2015•上海）方程log
2
（9
x1
﹣5）=log
2
（3
x1
﹣2）+2的解为 ．
8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教
师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9．（2015•上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为
双曲线C
1
和C
2
．若C
1
的渐近线方程为y=±x，则C
2
的渐近线方程为 ．
﹣﹣
10．（4分）（2015•上海）设f
1
（x）为f（x）=2
x2
+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f
1
（x）的最
﹣﹣﹣
大值为 ．
11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）
10
的展开式中，x
2
项的系数为 （结果用数值表
示）．
12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片
中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两
张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ
1
和ξ
2
分别表示赌客在一局
赌博中的赌金和奖金，则 Eξ
1
﹣Eξ
2
= （元）．
13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1
，x
2
，…，x
m
满足0≤x
1
＜x
2
＜…＜x
m
≤6π，且|f
（x
1
）﹣（fx
2
）|+|f（x
2
）﹣（fx
3
）|+…+|f（x
m
﹣
1
）﹣（fx
m
）|=12（m≥12，m∈N
*
），则m的最小值为 ．
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14．（2015•上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别
为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号
上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）（2015•上海）设z
1
，z
2
∈C，则“z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数”是“z
1
﹣z
2
是虚数”的（ ）
A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件
C． 充要条件 D．既 非充分又非必要条件
16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4
点B的纵坐标为（ ）
A． B．
，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则
C．
D．
17．（2015•上海）记方程①：x
2
+a
1
x+1=0，方程②：x
2
+a
2
x+2=0，方程③：x
2
+a
3
x+4=0，其中a
1
，a
2
，
a
3
是正实数．当a
1
，a
2
，a
3
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A． 方程①有实根，且②有实根 B． 方程①有实根，且②无实根
C． 方程①无实根，且②有实根 D．方 程①无实根，且②无实根
18．（5分）（2015•上海）设 P
n
（x
n
，y
n
）是直线2x﹣y=（n∈N
*
）与圆x
2
+y
2
=2在第一象限的交点，
则极限
A． ﹣1
=（ ）
B．
﹣
C． 1 D． 2
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤.
19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、
BC的中点，证明A
1
、C
1
、F、E四点共面，并求直线CD
1
与平面A
1
C
1
FE所成的角的大小．
20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现
甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲
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的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设
t=t
1
时乙到达C地．
（1）求t
1
与f（t
1
）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t
1
≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t
1
，
1]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x
2
+2y
2
=1，过原点的两条直线l
1
和l
2
分别于椭圆交于A、B和C、D，
记得到的平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
），用A、C的坐标表示点C到直线l
1
的距离，并证明S=2|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|；
（2）设l
1
与l
2
的斜率之积为﹣，求面积S的值．
22．（16分）（2015•上海）已知数列{a
n
}与{b
n
}满足a
n+1
﹣a
n
=2（b
n+1
﹣b
n
），n∈N
*
．
（1）若b
n
=3n+5，且a
1
=1，求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设{a
n
}的第n
0
项是最大项，即a≥a
n
（n∈N
*
），求证：数列{b
n
}的第n
0
项是最大项；
（3）设a
1
=λ＜0，b
n
=λ
n
（n∈N
*
），求λ的取值范围，使得{a
n
}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．
23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周
期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周
期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x
0
∈[a，b]，使得f（x
0
）=c；
（3）证明：“u
0
为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u
0
+T为方程cosf（x）=1在区间[T，
2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
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2015年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个
空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁
U
Β= {1，4} ．
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．
解答： 解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，
∴（∁
U
B）={x|x＞3或x＜2}，
∴A∩（∁
U
B）={1，4}，
故答案为：{1，4}．
点评： 本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本
题考查了推理判断的能力．
2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析：
设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
解答：
解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），
又3z+=1+i，
∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，
化为4a+2bi=1+i，
∴4a=1，2b=1，
解得a=，b=．
∴z=．
． 故答案为：
点评： 本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．
3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为
考点： 二阶行列式与逆矩阵．
专题： 矩阵和变换．
分析：
根据增广矩阵的定义得到
解为，则c
1
﹣c
2
= 16 ．
，是方程组的解，解方程组即可．
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解答：
解：由题意知，是方程组的解，
即，
则c
1
﹣c
2
=21﹣5=16，
故答案为：16．
点评： 本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 ．
考点： 棱锥的结构特征．
专题： 空间位置关系与距离．
分析：
由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．
解答：
解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高
为a，
∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，
故答案为：4．
点评： 本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
5．（4分）（2015•上海）抛物线y
2
=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
解答：
解：因为抛物线y
2
=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以=1，
所以p=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为
．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，
可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．
解答： 解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，
∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，
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∴l=2h，
设母线与轴的夹角为θ，
则cosθ==，
故θ=，
． 故答案为：
点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．
7．（4分）（2015•上海）方程log
2
（9
x1
﹣5）=log
2
（3
x1
﹣2）+2的解为 2 ．
考点： 对数的运算性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．
﹣﹣﹣﹣
解答：
解：∵log
2
（9
x1
﹣5）=log
2
（3
x1
﹣2）+2，∴log
2
（9
x1
﹣5）=log
2
[4×（3
x1
﹣2）]，
﹣﹣
∴9
x1
﹣5=4（3
x1
﹣2），
化为（3
x
）
2
﹣12•3
x
+27=0，
因式分解为：（3
x
﹣3）（3
x
﹣9）=0，
∴3
x
=3，3
x
=9，
解得x=1或2．
经过验证：x=1不满足条件，舍去．
∴x=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教
师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）．
考点： 排列、组合的实际应用．
专题： 计算题；排列组合．
分析： 根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选
法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
解答： 解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，
在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C
9
5
=126种；
其中只有女教师的有C
6
5
=6种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；
故答案为：120．
点评： 本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．
9．（2015•上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为
﹣﹣
双曲线C
1
和C
2
．若C
1
的渐近线方程为y=±x，则C
2
的渐近线方程为 ．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设C
1
的方程为y
2
﹣3x
2
=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C
2
的渐近线方程．
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解答：
解：设C
1
的方程为y
2
﹣3x
2
=λ，
设Q（x，y），则P（x，2y），代入y
2
﹣3x
2
=λ，可得4y
2
﹣3x
2
=λ，
∴C
2
的渐近线方程为4y
2
﹣3x
2
=0，即
故答案为：．
．
点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（4分）（2015•上海）设f
1
（x）为f（x）=2
x2
+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f
1
（x）的最
﹣﹣﹣
大值为 4 ．
考点： 反函数．
专题： 函数的性质及应用．
分析：
﹣﹣
由f（x）=2
x2
+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f
1
（x）在[]上为增函数，由
函数的单调性求得y=f（x）+f
1
（x）的最大值．
解答：
﹣
解：由f（x）=2
x2
+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[
﹣
]，
可得y=f
1
（x）在[
﹣
﹣
]上为增函数，
]上为增函数，
﹣
因此y=f（x）+f
1
（x）在[
﹣
∴y=f（x）+f
1
（x）的最大值为f（2）+f
1
（2）=1+1+2=4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．
11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）
10
的展开式中，x
2
项的系数为 45 （结果用数值表示）．
考点： 二项式系数的性质．
专题： 二项式定理．
分析：
先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x
2
项，然后写出第一项二项展开式
的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．
解答：
解：∵（1+x+）
10
=，
∴仅在第一部分中出现x
2
项的系数．
再由
x
2
项的系数为
，令r=2，可得，
．
故答案为：45．
点评： 本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片
中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两
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张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ
1
和ξ
2
分别表示赌客在一局
赌博中的赌金和奖金，则 Eξ
1
﹣Eξ
2
= 0.2 （元）．
考点： 离散型随机变量的期望与方差．
专题： 概率与统计．
分析： 分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．
解答： 解：赌金的分布列为
1 2 3 4 5
P
所以 Eξ
1
=（1+2+3+4+5）=3，
奖金的分布列为
1.4
P
=
2.8
=
4.2
=
5.6
=
所以 Eξ
2
=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，
则 Eξ
1
﹣Eξ
2
=3﹣2.8=0.2元．
故答案为：0.2
点评： 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题
的关键．
13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1
，x
2
，…，x
m
满足0≤x
1
＜x
2
＜…＜x
m
≤6π，且|f
（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m
﹣
1
）﹣f（x
m
）|=12（m≥12，m∈N
*
），则m的最小值为 8 ．
考点： 正弦函数的图象．
14．（2015•上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别
为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析：
由题意画出图形，结合面积求出cosA=
•= ﹣ ．
，，然后代入数量积公式得答案．
解答： 解：如图，
∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，
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考查,本题,运算,方程,上海,性质,面积,复数
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