高中数学命题的基本概念

2023年12月23日发(作者：219高考数学试卷)

高中数学命题的基本概念

一、命题的基本概念

命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

真命题：判断为真的语句叫做真命题。

假命题：判断为假的语句叫做假命题。

命题的否定：就是对命题的结论加以否定。

二、四种命题的概念：

原命题

若，则

逆命题

若，则

否命题

若，则逆否命题

若，则

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。

一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。

四种命题的相互关系图

三、充分条件和必要条件的概念

1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。

，又有，就记作。此时，2、一般地，如果既有3、一般地，

我们说是的充分必要条件，简称充要条件。

若pÞq，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；

若p≠＞q，但q Þ p，则称p是q的必要但不充分条件；

若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。

四、重要结论

1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。

2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。

3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。

典型例题

知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系

例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数是素数，则是奇数；

（3）2小于或等于2；

（4）对数函数是增函数吗？

（5）；

（6）平面内不相交的两条直线一定平行；

（7）明天下雨。

【思路分析】

题意分析：本题考查命题的概念以及命题真假的判定。

解题思路：判断一个语句是不是命题关键看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

【解答过程】

（1）首先该语句是陈述句，能判定真假，所以是命题。再根据集合的有关知识，可以判定该命题是真命题。

（2）该语句是陈述句，能判定真假，是命题。由于素数是大于1，且只能被1及其本身整除的整数，但不一定是奇数，例如2是素数，但是偶数，所以是假命题。

（3）该语句是陈述句，能判定真假，是命题。而且我们知道2不大于2，因此是真命题。

（4）该语句不是陈述句，因此不是命题。

（5）该语句虽然是陈述句，但不能判定真假，因此不是命题。

（6）该语句是陈述句，能判定真假，是命题。结合平面内的两直线的位置关系分析，显然是真命题。

（7）该语句虽然是陈述句，但不能判定真假，因此不是命题。

【题后思考】命题的判定条件：①是否为陈述句，②是否可以判定真假，只要抓住这两个条件就可以判断语句是不是命题了。

例2、将下列命题改写成“若，则”的形式。

（1）两条直线相交有且只有一个交点；

（2）对顶角相等；

（3）全等的两个三角形面积也相等。

【思路分析】

题意分析：考查命题的改写

解题思路：先找到原命题的条件和结论，再将其改写为“若……，则……”的形式。

【解答过程】

（1）若两条直线相交，则它们有且只有一个交点。

（2）若两个角是对顶角，则它们相等。

（3）若两个三角形全等，则它们的面积相等。

例3、证明：若p2＋q2

＝2，则p＋q ≤2。

【思路分析】

题意分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑将其转化为对它的逆否命题的证明。

解题思路：将“若p2＋q2

＝2，则p＋q ≤2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p＋q＞2，则p2＋q2

≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的。

【解答过程】

证明：若p＋q＞2，则

p2＋q2

＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×2２＝2

所以p2＋q2≠2。（原结论成立）

【题后思考】通过证明可以看出，原命题的逆否命题为真命题，从而证明出原命题为真命题。由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

例4、写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假。

（1）函数（2）若（3）若【思路分析】

题意分析：本题考查四种命题的表示，以及它们真值的判定。

解题思路：先将每个命题都改写为“若……则……”的形式，再结合四种命题的定义进行书写。

【解答过程】

（1）若函数假命题

，那么这个函数有两个零点。

。逆命题：若一个函数有两个零点，那么这个函数为，则，则有两个零点；

；

全为0。

否命题：若函数不是假命题

，那么这个函数没有两个零点。逆否命题：若一个函数没有两个零点，则这个函数不是。真命题

（2）直接根据命题的定义写出即可。注意到“大于”的否定是“小于等于”即可。4个命题都真

（3）同理可以写出，注意到“全”的否定为“不全”，等于的否定为“不等于”。4个命题都真。

【题后思考】要写出四种命题，关键是先把原命题写为“若……则……”的形式。

【小结】

1、会判定命题的真假，并能把命题改写为“若……则……”的形式。同时能体会互为逆否命题的两个命题真值相同的运用。

2、四种命题中真值的个数为偶数0，2，4。

知识点二：充分条件和必要条件的判定和运用

例5、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？q是p的必要条件？

（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；

（2）若f（x）＝x，则f（x）为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数。

【思路分析】

题意分析：本题考查充分、必要条件的判定

解题思路：要判断p是否是q的充分条件，就要看从p能否推出q。

【解答过程】命题（1）（2）由条件都能推出结论，因此满足p是q的充分条件的要求，且q是p的必要条件。命题（3）不满足p是q的充分条件，但q是p的必要条件。

【题后思考】如果要否定一个结论，只要举出一个反例即可。

例6、从“（1）（3）

”、“”与“”中选出适当的符号填空：

；

。

”的正确使用。

，但不； （2） ； （4）”、“【思路分析】

题意分析：考查符号“”与“解题思路：利用集合的思想来判定两者的关系。

【解答过程】第（1）小题，如x＝－0.5，满足已知能推出，故填。

，如0＞－1，则就不能推出，故填写。

，故填。

第（2）小题，已知。

第（3）小题，第（4）小题，本身，故选，故填说明集合A是空集的子集，则集合中只有其【题后思考】该例题也可运用数轴法，不等式的性质，以及集合的关系直接判定。同时要明确若要否定一个命题，只需举出一个反例即可。

例7、指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）

（1）在（3）在（4）已知【思路分析】

题意分析：本题考查对充分条件与必要条件概念的判定

解题思路：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断。

【解答过程】

中，，，中，，，，，

或

（2）对于实数

（1）在∴所以，中，有正弦定理知道： 又由且，则，则且

即是的的充要条件。

”是真命题，故﹁q”是假命题，故﹁p不能推（2）因为命题“若﹁p，命题“若件。

（3）取（4）因为，出﹁q，所以﹁q是﹁p的充分不必要条件，即 是的充分不必要条，不能推导出；取或，，

，不能推导出，所以，是的既不充分也不必要条件。

所以，是的充分非必要条件。

【题后思考】以上各小题采用的是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法。那么，如果由命题不能很好判断的话，我们可以换一种方式，即根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断。

例8、判断方程组【思路分析】

题意分析：本例题考查结合不等式的性质进行条件的逻辑判定

解题思路：设p：件的定义判定。

【解答过程】

显然满足但不满足

，所以是的必要但不充分条件。

，但反之却不一定成立。例如取α＝1，β＝5，；q：，结合充分条件和必要条是的什么条件？并说明理由。

【题后思考】对于复杂的命题的判定既要结合所学的相关知识，同时又要能对抽象问题采用选取特殊值的方法来判定。

【小结】要判定p是q的什么条件？那么首先要弄清楚谁是p，谁是q，然后结合定义进行判定。如果把p，q弄反了，结论也就反了。

另外，我们经常会运用集合的思想解决该类试题。