数学建模常用模型01:.灰色预测法

2023年12月15日发(作者：高考数学试卷构成)

数学建模常用模型01：.灰色预测法

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基于灰色建模理论的灰色预测法，按照其预测问题的特征，可分为五种基本类型，即数列预测、灾变预测、季节灾变预测、拓扑预测和系统

综合预测。这五种类型的预测方法，都是区域开发研究中重要而且常用的预测方法。本节只对数列预测法进行介绍。

灰色预测模型使用范围：

①数据样本点个数少，6-15个

②数据呈现指数或曲线的形式

③只适合做中短期预测，不适合长期预测。

数列预测就是对某一指标的发展变化情况所作的预测，其预测的结果是该指标在未来各个时刻的具体数值。譬如，在地理学研究中，人口数

量预测、耕地面积预测、粮食产量预测、工农业总产值预测，等等，都是数列预测。

数列预测的基础，是基于累加生成数列的GM(1，1)模型。

设

一般而言，

对其进行预测。

如果对作依次累加生成处理，即

是所要预测的某项指标的原始数据。

是一个不平稳的随机数列，对于这样一个随机数列，如果数据趋势无规律可循，则无法用回归预测法

则得到一个新的数列。这个数列与原始数列

相比较，其随机性程度大大弱化，平稳程度大大增加。对于这样的新数列，其变化趋势可以近似地用如下微分方

程描述：

在(1)式中，a和u可以通过如下最小二乘法拟合得到：

在(2)式中，YM为列向量YM=[x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(M)]T；B为构造数据矩阵：

微分方程(1)式所对应的时间响应函数为：

(3)式就是数列预测的基础公式，由(3)式对一次累加生成数列的预测值

可以求得原始数的还原值：

在（4）式中，t=1,2,…,M,并规定。原始数据的还原值与其观测值之间的残差值ε(0)(t)和相对误差值q(t)如下：

对于预测公式(3)，我们所关心的问题是它的预测精度。这一预测公式是否达到精度要求，可按下述方法进行精度检验。

首先计算：

其次计算：方差比c=s2/s1

及小误差概率：

一般地，预测公式(3)的精度检验可由表10-2给出。如果p和c都在允许范围之内，则可以计算预测值。否则，需要通过对残差序列

的分析对(3)式进行修正，灰色预测常用的修正方法有残差序列建模法和周斯分析法两种。

表1 灰色预测精度检验等级标准

二、引入残差模型的数列预测

当灰色预测精度检验等级标准超出所允许的范围时，需引入残差模型对GM(1，1)模型进行修正。具体模型如下：

原始残差序列(预测数列与原始数列只差)

使用该数据序列 建立残差GM（1，1）模型，

引入残差模型的影响，得新的预测序列

表2 城市交通噪声数据/dB(A)

序号

1

2

3

4

年份

1986

1987

1988

1989

71.1

72.4

72.4

72.1

序号

5

6

7

年份

1990

1991

1992

71.4

72.0

71.6

该例题matlab源代码如下：

clc,clear

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]\';%注意这里为列向量

n=length(x0);

lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比

range=minmax(lamda\') %计算级比的范围

x1=cumsum(x0); %累加运算

B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)];

Y=x0(2:n);

u=BY

syms x(t)

x=dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1));%求微分方程的符号解

xt=vpa(x,6)%以小数格式显示微分方程的解

yuce1=subs(x,t,[0:n-1]);%式1 为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解。%%%这里，把[0:n-1]修改就可以了，如果预测后5年的，就改成n+4。

yuce1=double(yuce1);% 符号数转换成数值类型，否则无法做差分运算

yuce=[x0(1),diff(yuce1)] %差分运算，还原数据

yuce2=subs(x,t,[0:n+4]);%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解。

Yuce2=double(yuce2);%符号数转换成数值类型，否则无法做差分运算

yucexin=[x0(1),diff(yuce2)] %差分运算，还原数

epsilon=x0\'-yuce %计算残差

delta=abs(epsilon./x0\') %计算相对误差

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda\' %计算级比偏差值

%【直接把式1 总n-1修改，运算会提示错误，但是不影响，如果想消除错误提示，可以添加黄色区域的，计算出两个结果，一个结果是不预测的一个结果是预测的。】

这里再举一个例子：

假如有[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]这么一组数字，可以是连续几年的某商店收入，我们用灰色预测可以

预测出这组数据下一年的数值，通过把预测出的数据加入数组中，进而我们可以做到连续几年的预测

实现代码如下：

clc,clear

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]\';%注意这里为列向量

n=length(x0);

lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n); %计算级比

range=minmax(lamda\'); %计算级比的范围

x1=cumsum(x0); %累加运算

B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)];

Y=x0(2:n);

u=BY

syms x(t)

x=dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1));%求微分方程的符号解

xt=vpa(x,6)%以小数格式显示微分方程的解

yuce1=subs(x,t,[0:n-1]);%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解

yuce1=double(yuce1);%符号数转换成数值类型，否则无法做差分运算

yuce=[x0(1),diff(yuce1)]; %差分运算，还原数据

epsilon=x0\'-yuce; %计算残差

delta=abs(epsilon./x0\'); %计算相对误差

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda\';%计算级比偏差值