2024年3月18日发(作者：初三第五章数学试卷)
2020-2021
学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期中数学试
卷
一、选择题（共
8
小题）
.
1
．命题
p
：∃
x
∈
R
，
2x+1
＞
0
的否定为（ ）
A
．∀
x
∈
R
，
2x+1
＜
0
C
．∀
x
∈
R
，
2x+1
＞
0
2
．下列各组数中方差最小的是（ ）
A
．
1
，
2
，
3
，
4
，
5
B
．
2
，
2
，
2
，
4
，
5
C
．
3
，
3
，
3
，
3
，
3
D
．
2
，
3
，
2
，
3
，
2
B
．∃
x
∈
R
，
2x+1
≤
0
D
．∀
x
∈
R
，
2x+1
≤
0
3
．已知直线过
A
（
3
，
m+1
），
B
（
4
，
2m+1
）两点且倾斜角为
A
．﹣
B
．
C
．﹣
，则
m
的值为（ ）
D
．
4
．一个等比数列的第
3
项和第
7
项分别为
8
和
18
，则它的第
5
项为（ ）
A
．
12
B
．﹣
12
C
．±
12
D
．
5
．已知某圆拱桥拱高
5
米，水面跨度为
30
米，则这座圆拱桥所在圆的半径为（ ）米
A
．
20
B
．
25
C
．
24
D
．
23
6
．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用
水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过
a
立方米的部分按
2.5
元
/
立方米
收费，超出
a
立方米的部分按
7
元
/
立方米收费，从该市随机调查了
10000
位居民，获得
了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
如果
a
为整数，那么根据此次调查，为使
80%
以上居民在该月的用水价格为
2.5
元
/
立方
米，
a
至少定为（ ）
A
．
2
B
．
2.5
C
．
3
D
．
4
7
．一个袋中装有
6
个大小形状完全相同的小球，其中有
4
个白球，
2
个黑球，现随机从袋
中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出
的球中至少有一个黑球的概率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．已知动点
M
到
A
（
1
，
1
），
B
（﹣
3
，
3
）两点的距离相等，
P
是圆（
x
﹣
3
）
2
+y
2
＝
5
上的
动点，则
|PM|
的最小值为（ ）
A
．
B
．
C
．
2
D
．
二、选择题（共
4
个小题）
9
．若
A
，
B
为互斥事件，
P
（
A
），
P
（
B
）分别表示事件
A
，
B
发生的概率，则下列说法正
确的是（ ）
A
．
P
（
A
）
+P
（
B
）＜
1
C
．
P
（
A
∪
B
）＝
1
B
．
P
（
A
）
+P
（
B
）≤
1
D
．
P
（
A
∩
B
）＝
0
10
．某设备的使用年限
x
（年）和所支出的维修费用
y
（万元）有如表的统计资料：
x
y
2
2.2
3
3.8
4
5
6.5
6
7.0
已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝
1.23x+0.08
．某位工作人员在查阅资料时发
现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（ ）
A
．所支出的维修费用与使用年限正相关
B
．估计使用
10
年维修费用是
12.38
万元
C
．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为
5
D
．点（
4
，
5
）一定在回归直线＝
1.23x+0.08
上
11
．下列命题为真命题的是（ ）
A
．“
a
，
A
，
b
成等差数列”的充要条件是“
2A
＝
a+b
”
B
．“
a
，
A
，
b
成等比数列”的充要条件是“
A
2
＝
ab
”
C
．“
a
＝﹣”是“方程（
6a
2
﹣
a
﹣
2
）
x+
（
3a
2
﹣
5a+2
）
y+a
﹣
1
＝
0
表示平行于
x
轴的直
线”的充分不必要条件
D
．已知直线
l
过点（
3
，
1
），则“直线
l
的斜率为”是“直线
l
与圆（
x
﹣
1
）
2
+
（
y
﹣
2
）
2
＝
4
相切”的充分不必要条件
12
．已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
A
．若首项
a
1
＝
1
，则数列
{a
n
}
的奇数项成等差数列
B
．若首项
a
1
＝
1
，则数列
{a
n
}
的偶数项成等差数列
C
．若首项
a
1
＝
1
，则
S
15
＝
477
，下列说法正确的是（ ）
D
．若首项
a
1
＝
a
，若对任意
n
∈
N
*
，
a
n
＜
a
n
+1
恒成立，则
a
的取值范围是（
3
，
5
）
三、填空题（共
4
个小题）
13
．若“
x
≤
a
”是“
x
≤
2
”的必要不充分条件，则实数
a
的取值范围为
．
14
．在所有
7
位自然数中任取一个数，则头两位都是
3
的概率为
15
．已知直线
l
1
：
mx+ny+5
＝
0
，
l
2
：
x+2y
﹣
5
＝
0
，
l
3
：
3x
﹣
y
﹣
1
＝
0
，若这三条直线交于一点，
则交点坐标为
，点（
m
，
n
）到原点的距离最小值为
．
16
．长为的线段
AB
的两个端点
A
和
B
分别在
x
轴和
y
轴上滑动，线段
AB
的中点
M
的
轨迹为曲线
C
，已知过定点
P
（
2
，
0
）的直线
l
与曲线
C
相交于
E
，
F
两点，
O
为坐标原
点，当△
EOF
的面积取到最大值时，直线
l
的斜率为
四、解答题：本大题共
6
小题，共
70
分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17
．（
10
分）已知
A
（
2
，
0
），
B
（
3
，
3
），
C
（﹣
1
，
1
）．
（
1
）求点
A
到直线
BC
的距离；
（
2
）求△
ABC
的外接圆的方程．
18
．（
12
分）在①
a
2
﹣
2
，
a
3
，
a
4
+6
成等比数列，②
a
3
+1
，
a
5
，
a
6
+1
成等差数列，③
a
2
，
a
4
+2
，
a
6
+10
成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并作答．
正项等差数列
{a
n
}
满足
a
1
＝
4
，且
______
．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）设，求数列
{b
n
}
的前
n
项和．
19
．（
12
分）由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在
家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表（单位：人）
是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，
其中成绩不低于
120
分为优秀，成绩不低于
90
分且小于
120
分的为及格，成绩小于
90
分的为不及格．
优秀
及格
不及格
学习态度端正
学习态度不端正
91
9
300
200
a
322
按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取
50
人，其中优秀的人数为
5
．
（
1
）求
a
的值；
（
2
）用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为
5
的样本．将该样本看成一个总
体，从中任取
2
人，求至少有
1
人学习不端正的概率；
（
3
）在及格的学生中随机抽取了
10
人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这
10
名学
生的平均分为
104.5
，求
a
＞
b
的概率．
20
．（
12
分）已知命题
p
：∃
x
∈
[2
，
3]
，使不等式
ax
2
﹣
ax
﹣
1
＜
0
成立；命题
q
：∀
x
1
∈
[
﹣
1
，
2]
，∃
x
2
∈
[1
，
2]
使不等式＜
0
成立．
（
1
）若命题
p
为真，求实数
a
的取值范围；
（
2
）若命题
p
和命题
q
一真一假，求实数
a
的取值范围．
21
．（
12
分）已知圆
C
：（
x
﹣
1
）
2
+
（
y
﹣
1
）
2
＝
25
，直线
l
：（
m+2
）
x+
（
m+1
）
y+4m+6
＝
0
．
（
1
）证明：不论实数
m
为何值，直线
l
与圆
C
始终相交；
（
2
）若直线
l
与圆
C
相交于
A
，
B
两点，设集合
M
＝
{x|x
＝
|AB|
且
x
∈
N}
，在集合
M
中任
取两个数，求这两个数都不小于
8
的概率．
22
．（
12
分）已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
＝
3a
n
﹣
3
，
（
1
）求数列
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式；
（
2
）记，若数列
{c
n
}
为递增数列，求λ的取值范围．
．
参考答案
一、选择题（共
8
小题）
.
1
．命题
p
：∃
x
∈
R
，
2x+1
＞
0
的否定为（ ）
A
．∀
x
∈
R
，
2x+1
＜
0
C
．∀
x
∈
R
，
2x+1
＞
0
B
．∃
x
∈
R
，
2x+1
≤
0
D
．∀
x
∈
R
，
2x+1
≤
0
解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀
x
∈
R
，
2x+1
≤
0
，
故选：
D
．
2
．下列各组数中方差最小的是（ ）
A
．
1
，
2
，
3
，
4
，
5
B
．
2
，
2
，
2
，
4
，
5
C
．
3
，
3
，
3
，
3
，
3
D
．
2
，
3
，
2
，
3
，
2
解：根据各个选项的数据，
显然选项
C
的方差是
0
，方差最小，
故选：
C
．
3
．已知直线过
A
（
3
，
m+1
），
B
（
4
，
2m+1
）两点且倾斜角为
A
．﹣
B
．
C
．﹣
，则
m
的值为（ ）
D
．
＝﹣
，
＝
m
，
解：根据题意，直线
AB
的倾斜角为，则其斜率
k
＝
tan
又由
A
（
3
，
m+1
），
B
（
4
，
2m+1
），则
AB
的斜率
k
＝
则有
m
＝﹣
故选：
C
．
，
4
．一个等比数列的第
3
项和第
7
项分别为
8
和
18
，则它的第
5
项为（ ）
A
．
12
B
．﹣
12
C
．±
12
D
．
解：∵
a
3
•
a
7
＝
8
×
18
，
∴
a
5
＝±＝±＝±
12
，
∵等比数列的奇数项的符号相同，
∴
a
5
＝
12
，
故选：
A
．
5
．已知某圆拱桥拱高
5
米，水面跨度为
30
米，则这座圆拱桥所在圆的半径为（ ）米
A
．
20
B
．
25
C
．
24
D
．
23
解：设圆的半径为
r
，由题意可得弦心距为
r
﹣
5
，半弦长为
15
，故有
15
2
+
（
r
﹣
5
）
2
＝
r
2
，
求得
r
＝
25
，
故选：
B
．
6
．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用
水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过
a
立方米的部分按
2.5
元
/
立方米
收费，超出
a
立方米的部分按
7
元
/
立方米收费，从该市随机调查了
10000
位居民，获得
了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
如果
a
为整数，那么根据此次调查，为使
80%
以上居民在该月的用水价格为
2.5
元
/
立方
米，
a
至少定为（ ）
A
．
2
B
．
2.5
C
．
3
D
．
4
解：由频率分布直方图得：
用水量在
[0
，
0.5
）的频率为
0.08
×
0.5
＝
0.04
，
用水量在
[0.5
，
1
）的频率为
0.16
×
0.5
＝
0.08
，
用水量在
[1
，
1.5
）的频率为
0.30
×
0.5
＝
0.15
，
用水量在
[1.5
，
2
）的频率为
0.44
×
0.5
＝
0.22
，
用水量在
[2
，
2.5
）的频率为
0.50
×
0.5
＝
0.25
，
用水量在
[2.5
，
3
）的频率为
0.28
×
0.5
＝
0.14
，
∵用水量在
[0
，
2.5
）的频率为：
0.04+0.08+0.15+0.22+0.25
＝
0.74
，
用水量在
[0
，
3
）的频率为：
0.04+0.08+0.15+0.22+0.25+0.14
＝
0.88
．
∴根据此次调查，为使
80%
以上居民在该月的用水价格为
2.5
元
/
立方米，
a
至少定为
3
元．
故选：
C
．
7
．一个袋中装有
6
个大小形状完全相同的小球，其中有
4
个白球，
2
个黑球，现随机从袋
中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出
的球中至少有一个黑球的概率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：一个袋中装有
6
个大小形状完全相同的小球，其中有
4
个白球，
2
个黑球，现随机从
袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色．
则两次摸球全是白球的概率为
×＝，
故两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为
1
﹣＝，
故选：
B
．
8
．已知动点
M
到
A
（
1
，
1
），
B
（﹣
3
，
3
）两点的距离相等，
P
是圆（
x
﹣
3
）
2
+y
2
＝
5
上的
动点，则
|PM|
的最小值为（ ）
A
．
B
．
C
．
2
D
．
解：由动点
M
到
A
（
1
，
1
），
B
（﹣
3
，
3
）两点的距离相等，得
M
在线段
AB
的垂直平
分线上，
∵
AB
的中点坐标为（﹣
1
，
2
），，
∴
AB
的垂直平分线方程为
y
﹣
2
＝
2
（
x+1
），即
2x
﹣
y+4
＝
0
．
P
是圆
C
：（
x
﹣
3
）
2
+y
2
＝
5
上的动点，如图：
∵圆心
C
到直线
2x
﹣
y+4
＝
0
的距离
d
＝
∴
|PM|
的最小值为
故选：
A
．
．
，
二、选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求
.
全部选对的得
5
分，有选错的得
0
分，部分选对的得
3
分
.
9
．若
A
，
B
为互斥事件，
P
（
A
），
P
（
B
）分别表示事件
A
，
B
发生的概率，则下列说法正
确的是（ ）
A
．
P
（
A
）
+P
（
B
）＜
1
C
．
P
（
A
∪
B
）＝
1
B
．
P
（
A
）
+P
（
B
）≤
1
D
．
P
（
A
∩
B
）＝
0
解：∵
A
，
B
为互斥事件，
P
（
A
），
P
（
B
）分别表示事件
A
，
B
发生的概率，
∴
P
（
A
）
+P
（
B
）≤
1
，
P
（
A
∩
B
）＝
0
，
故
A
错误，
B
正确，
C
错误，
D
正确．
故选：
BD
．
10
．某设备的使用年限
x
（年）和所支出的维修费用
y
（万元）有如表的统计资料：
x
y
2
2.2
3
3.8
4
5
6.5
6
7.0
已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝
1.23x+0.08
．某位工作人员在查阅资料时发
现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（ ）
A
．所支出的维修费用与使用年限正相关
B
．估计使用
10
年维修费用是
12.38
万元
C
．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为
5
D
．点（
4
，
5
）一定在回归直线＝
1.23x+0.08
上
解：由线性回归方程为＝
1.23x+0.08
，
回归系数为＞
0
，所支出的维修费用与使用年限正相关，选项
A
正确；
x
＝
10
时，＝
1.23
×
10+0.08
＝
12.38
，所以估计使用
10
年维修费用是
12.38
万元，选项
B
正确；
某设看不清的数字为
a
，
计算＝×（
2+3+4+5+6
）＝
4
，
＝×（
2.2+3.8+a+6.5+7.0
）＝
代入回归直线方程＝
1.23x+0.08
中，得
，
＝
1.23
×
4+0.08
，
解得
a
＝
5.5
，所以根据回归方程可推断出模糊不清的数据值为
5.5
，选项
C
错误；
样本中心点（
4
，
5
）在线性回归方程＝
1.23x+0.08
上，所以选项
D
正确．
故选：
ABD
．
【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了运算求解与推理
能力，是中档题．
11
．下列命题为真命题的是（ ）
A
．“
a
，
A
，
b
成等差数列”的充要条件是“
2A
＝
a+b
”
B
．“
a
，
A
，
b
成等比数列”的充要条件是“
A
2
＝
ab
”
C
．“
a
＝﹣”是“方程（
6a
2
﹣
a
﹣
2
）
x+
（
3a
2
﹣
5a+2
）
y+a
﹣
1
＝
0
表示平行于
x
轴的直
线”的充分不必要条件
D
．已知直线
l
过点（
3
，
1
），则“直线
l
的斜率为”是“直线
l
与圆（
x
﹣
1
）
2
+
（
y
﹣
2
）
2
＝
4
相切”的充分不必要条件
解：对于
A
：由
2A
＝
a+b
得
A
﹣
a
＝
b
﹣
A
，即
a
，
A
，
c
成等差数列，若
a
，
A
，
b
成等差数
列，则
A
﹣
a
＝
b
﹣
A
，即“
2A
＝
a+b
“是“
a
，
A
，
b
成等差数列”的充要条件，故
A
正确；
对于
B
：若
a
，
A
，
b
成等比数列，则
A
＝±
由
A
＝
（
ab
＞
0
），
，可得
a
，
A
，
b
成等比数列，或“
x
＝
0
且
a
与
b
中至少一个为
0
”，属于
a
，
A
，
b
成等比数列”的必要条件是“
A
2
＝
ab
”不对，故
B
错误；
对于
C
：当
a
＝﹣时，代入方程（
6a
2
﹣
a
﹣
2
）
x+
（
3a
2
﹣
5a+2
）
y+a
﹣
1
＝
0
，可得
k
＝
0
，
表示平行于
x
轴的直线”
当示平行于
x
轴的直线时，可得
6a
2
﹣
a
﹣
2
＝
0
，可得
a
＝﹣或
a
＝，所以
a
＝﹣”
是“方程（
6a
2
﹣
a
﹣
2
）
x+
（
3a
2
﹣
5a+2
）
y+a
﹣
1
＝
0
表示平行于
x
轴的直线”的充分不必
要条件；故
C
正确；
对于
D
：已知直线
l
过点（
3
，
1
），且直线
l
的斜率为”与圆（
x
﹣
1
）
2
+
（
y
﹣
2
）
2
＝
4
相切”，而过（
3
，
1
）与圆（
x
﹣
1
）
2
+
（
y
﹣
2
）
2
＝
4
相切”的直线
l
的斜率有两个值，所
以是充分不必要条件，故
D
正确；
故选：
ACD
．
【点评】本题等差等比的性质应用和直线方程以及圆的切线问题，属于中档题．
12
．已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足，下列说法正确的是（ ）
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